一元一次方程建模設(shè)未知數(shù)支招例析.doc

一元一次方程建模中設(shè)未知數(shù)支招例析德江縣合興中學(xué) 教師：劉世友對(duì)于剛進(jìn)入初中七年級(jí)的同學(xué)來(lái)講，數(shù)學(xué)建模是一種全新的數(shù)學(xué)思想與方法。一元一次方程模型的建立的過(guò)程中未知數(shù)設(shè)法至關(guān)重要。結(jié)合本人的教學(xué)實(shí)踐，我發(fā)現(xiàn)不少同學(xué)在設(shè)未知數(shù)這一環(huán)節(jié)存在一些困惑，甚至?xí)霈F(xiàn)不少錯(cuò)誤。為了幫助同學(xué)們解決這個(gè)困惑，更好的掌握用方程模型的思想與方法解決問(wèn)題的能力，從而增強(qiáng)同學(xué)們學(xué)好初中數(shù)學(xué)的信心，從中體會(huì)找到解決問(wèn)題方法的樂(lè)趣。特總結(jié)設(shè)未知數(shù)支招例析。誠(chéng)望對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā)。誠(chéng)然，建立方程模型的前提是：1、認(rèn)真研讀題目，2、理解題意（熟悉問(wèn)題環(huán)境、抓住關(guān)鍵語(yǔ)詞、弄清已知與未知）。然后考慮如何設(shè)未知數(shù)的問(wèn)題？現(xiàn)支招例析如下：支招一：直接設(shè)未知數(shù)法。什么是直接設(shè)未知數(shù)法呢？簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是問(wèn)什么，設(shè)什么。例1 某工廠去年的生產(chǎn)總值是545萬(wàn)元，比5年前的10倍還多18萬(wàn)元，那么5年前這個(gè)工廠的年產(chǎn)值是多少萬(wàn)元？解 設(shè)5年前這個(gè)工廠的年產(chǎn)值是萬(wàn)元，根據(jù)題意，得 10+18=545解這個(gè)方程，得 =52.7答 5年前這個(gè)工廠的年產(chǎn)值是52.7萬(wàn)元。支招二：設(shè)一個(gè)、表一個(gè)。什么是“設(shè)一個(gè)、表一個(gè)”呢？就是要求的問(wèn)題有兩個(gè)或兩個(gè)以上，設(shè)其中一個(gè)為，而另一個(gè)問(wèn)題用含的代數(shù)式表示。例2 一架飛機(jī)飛行在兩城市之間，當(dāng)順風(fēng)飛行時(shí)需2.9h，當(dāng)逆風(fēng)飛行時(shí)需3h。已知風(fēng)速為20km/h。求無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度和兩城市之間的距離。分析 認(rèn)真審題，弄清題意。要求的有兩個(gè)問(wèn)題，（1）無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度；（2）兩城市之間的距離。解 設(shè)無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度為km/h,那么順風(fēng)航行的速度為（+20）km/h、逆風(fēng)航行的速度為（-20）km/h、兩城市之間的距離為2.9（+20）km,根據(jù)題意，得3（-20）=2.9（+20）解這個(gè)方程，得=1180.當(dāng)=1180時(shí)，2.9（+20）=2.9（1180+20）=3480.答（1）無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度為1180km/h；（2）兩城市之間的距離為3480km。又如、問(wèn)題3 一塊金與銀的合金重250g,放在水中稱減輕了16g，已知金在水中稱重量減輕，銀在水中稱重量減輕。求這塊合金中含金、銀各多少克？類似上述問(wèn)題的解法，解 設(shè)這塊合金中含金xg,那么銀就為(250-x) g,根據(jù)題意，得x+(250-x)=16解這個(gè)方程，得x=190.所以250-x=250-190=60.答 這塊合金中含金190g、含銀60g.支招三：間接設(shè)未知數(shù)法。什么是間接設(shè)未知數(shù)法呢？就是不直接設(shè)要求的問(wèn)題為未知數(shù)x,而是設(shè)與之相關(guān)的某個(gè)量為x,這樣有利于建立等量關(guān)系、從而列出方程，進(jìn)行間接求解。例4 一個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之和為6，如果將個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字對(duì)調(diào)后再加上18，仍得原數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)。分析 如果設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為x,則方程就不好建立，從而給我們解決本題設(shè)下了障礙。想一想，此路不通！還是到此為止吧。遇到這種情形時(shí)，我們不妨采用間接設(shè)未知數(shù)法。解 設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x,那么十位數(shù)字就為（6-x），根據(jù)題意，得10x+(6-x)+18=10（6-x）+x解這個(gè)方程，得x=2當(dāng)x=2時(shí)，十位數(shù)字為6-x=6-2=4因此，這個(gè)兩位數(shù)是42.答 這個(gè)兩位數(shù)是42.例5 兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比都是2：1，大長(zhǎng)方形的寬比小長(zhǎng)方形的寬多3cm，大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是小長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的2倍，求兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積。這道題目就可以使用上面的間接設(shè)未知數(shù)法求解。解 設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為xcm,那么小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2xcm；大長(zhǎng)方形的寬為（x+3）cm、長(zhǎng)為2（x+3）cm。根據(jù)題意，得2(x+3)+2（x+3）=4(x+2x)解答略。支招四：參數(shù)法。何為參數(shù)法呢？就是為了解決問(wèn)題的需要，設(shè)參數(shù)、用參數(shù)、最后再消參數(shù)。進(jìn)而獲得實(shí)際問(wèn)題求解的過(guò)程。例6 如果某商品的進(jìn)貨價(jià)降低8，而售價(jià)不變，那么利潤(rùn)率可由目前的m增加到（m+10）。求m的值。解 令進(jìn)貨價(jià)為a元、售貨價(jià)為b元，根據(jù)題意，得= m （1） （2）由（1），得b=ma+a (3)再把（3）代入（2），化簡(jiǎn)，得100（m+8）=92(m+10)解這個(gè)關(guān)于m的方程，得m=15答 m的值為15.例7 5名教師帶領(lǐng)若干名學(xué)生旅游（旅游費(fèi)統(tǒng)一支付），他們聯(lián)系了標(biāo)價(jià)相同的兩家旅行社，經(jīng)洽談，A旅行社給的優(yōu)惠條件是：教師全額付費(fèi)，學(xué)生按七折付費(fèi)；B旅行社給的優(yōu)惠條件是：全部八折付費(fèi)。(1) 學(xué)生有多少人時(shí),兩家旅行社的收費(fèi)相等?(2) 現(xiàn)有學(xué)生20人,那么他們到哪家旅行社費(fèi)用少些呢?分析 (1)設(shè)學(xué)生有x人時(shí)，兩家旅行社收費(fèi)相等，由于旅行社的收費(fèi)標(biāo)價(jià)不知道，但是在找等量關(guān)系的時(shí)候又要用到，此時(shí)不妨令標(biāo)價(jià)為a元，進(jìn)而用參數(shù)法協(xié)同求解。解 (1)設(shè)學(xué)生有x人時(shí)，兩家旅行社收費(fèi)相等，并且令標(biāo)價(jià)為a元，根據(jù)題意，得 5a+0.7ax=0.8a(x+5)即為5+0.7x=0.8(x+5)解這個(gè)方程，得x=10.(3) 當(dāng)x=20時(shí)，到A旅行社要付費(fèi)5a+14a=19a元；到B旅行社要付費(fèi)20a元 ，19a20a,因此，他們到A旅行社費(fèi)