人教B版選修45 二維形式的柯西不等式 課后導(dǎo)練.doc

3.1 二維形式的柯西不等式課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知a,b,m,nr+,且m+n=1,設(shè)t=,q=,則( )a.tq b.tqc.tbc,則與的大小關(guān)系是( )a.b.c.bc,a-b,a-c,b-c0.由于()(a-c)=()2+()2()2+()2(1+1)2=4,()(a-c)4.答案:b4用柯西不等式證明()2.證明:(12+12)(a2+b2)(a+b)2,即2(a2+b2)(a+b)2,兩邊同除以4,即得()2.50x1,求證:(a+b)2.證明:x+(1-x)=1,=x+(1-x)()(a+b)2.綜合應(yīng)用6已知x,y,a,b為正數(shù),且a+b=10,=1,x+y的最小值為18,求a,b.解析:x+y=(x+y)()()2=a+b+=18,又a+b=10,因此a=2,b=8或者a=8,b=2.7x,y,a,br+,x2+y2=1,a2+b2=1,求證:|ax+by|1.證明:1=(a2+b2)(x2+y2)(ax+by)2,|ax+by|1.8已知a,b,c,d,x,y均為正數(shù),且x2=a2+b2,y2=c2+d2,求證:xy.證明:x2y2=(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,xyac+bd.又x2y2=(a2+b2)(d2+c2)(ad+bc)2,xyad+bc.得x2y2(ac+bd)(ad+bc),即xy.9設(shè)a,br+,且a+b=1,求證:(a+)2+(b+)2(用柯西不等式證明).證明:(12+12)(a+)2+(b+)2(a+)+(b+)2=1+(+)2=(1+)225(ab),(a+)2+(b+)2.拓展探究10求使直線xcos+ysin=2和橢圓x2+3y2=6有公共點(diǎn)的的取值范圍(0).解析:由柯西不等式22=(xcos+ysin)2=(xcos+ysin)2(x2+3y2)(cos2+sin2)=6cos2+2sin2.解得cos2,即cos或cos.因?yàn)?,所以0或.備選習(xí)題11a,b,cr+,且acos2+bsin2c,求證:cos2+sin20,由柯西不等式(1+)(1+)(1+)2=(1+)2(1+2n)2.14雙曲線9x2-16y2=r2(r0)與直線x+y=2有公共點(diǎn),求r的取值范圍.解析:要使直線與曲線有公共點(diǎn),由柯西不等式x2=(2-y)2=r+(-)4y2(+)(r2+16y2)=(+)9x2.消去非零x,整理得r2.由r0,那么0r.15求經(jīng)過(guò)x2+y2=r2上一點(diǎn)m(x0,y0)的切線方程.解析:由m(x0,y0)在圓上,得x02+y02=r2,由柯西不等式r4=(x2+y2)(x02+y02)(x0x+y0y)2.所以x0x+y0y=r2.因?yàn)辄c(diǎn)m(x0,y0)滿足x0x+y0y=r2,所以x0x+y0y=r2為要求的切線方程.16已知a2+b2=2,則asin+bcos的最大值是( )a.1 b.2 c.