北師大版選修45 1.2.1絕對(duì)值不等式 學(xué)案.doc

2.1絕對(duì)值不等式1理解含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)2掌握絕對(duì)值不等式的定理及絕對(duì)值的幾何意義3能利用絕對(duì)值不等式證明不等式及求最值等簡(jiǎn)單問(wèn)題，并認(rèn)識(shí)不等式證法的多樣性、靈活性1實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的概念(1)定義：|a|(2)|a|的幾何意義：|a|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的_(3)兩個(gè)重要性質(zhì)：()|ab|_；_；()|a|b|a2_b2(4)|xa|的幾何意義：數(shù)軸上實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的_，或數(shù)軸上表示xa的點(diǎn)到_的距離(5)|xa|的幾何意義：數(shù)軸上實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的_，或數(shù)軸上表示xa的點(diǎn)到原點(diǎn)的_【做一做1】解不等式|x1|2x3|22絕對(duì)值不等式的定理(1)定理：對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有|ab|_，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立(2)定理的另一種形式：對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，等號(hào)成立(1)絕對(duì)值不等式的完整形式：|a|b|ab|a|b|；|a|b|ab|a|b|(2)絕對(duì)值不等式的一般形式：|a1a2an|a1|a2|an|(nn)【做一做2】已知|xa|，|yb|，求證：|(xy)(ab)|c3|ab|a|b|的幾何意義(1)如圖所示，當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，它們位于原點(diǎn)的同一邊，此時(shí)a與b的距離_它們到原點(diǎn)的距離_(2)如圖所示，當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，它們分別位于原點(diǎn)的兩邊，a與b的距離_a與b到原點(diǎn)的距離_【做一做3】若不等式|x4|x3|a對(duì)一切xr恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案：1(1)a0a(2)距離(3)()|a|b|()(4)距離原點(diǎn)(5)距離距離【做一做1】分析：解含有絕對(duì)值的不等式，利用|a|將不等式中的絕對(duì)值符號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化成與之同解的不含絕對(duì)值的不等式(組)，再去求解解：令x10，得x1令2x30，得x，如圖(1)當(dāng)x1時(shí)，原不等式可化為(x1)(2x3)2，解得x2，與條件矛盾，無(wú)解(2)當(dāng)1x時(shí)，原不等式可化為x1(2x3)2，解得x0，故0x(3)當(dāng)x時(shí)，原不等式可化為x12x32，解得x6，故x6綜上，原不等式的解集為x|0x62(1)|a|b|(2)ab0【做一做2】分析：利用不等式的性質(zhì)證明即可證明：|(xy)(ab)|(xa)(yb)|xa|yb|xa|，|yb|，|xa|yb|c由，得|(xy)(ab)|c3(1)等于之和(2)小于之和【做一做3】1，)設(shè)f(x)|x4|x3|，則f(x)a對(duì)一切xr恒成立，只需af(x)max因?yàn)閨x4|x3|(x4)(x3)|1，當(dāng)且僅當(dāng)x3時(shí)等號(hào)成立，即f(x)max1，所以a11對(duì)絕對(duì)值不等式的理解剖析：絕對(duì)值不等式實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)數(shù)的和差的絕對(duì)值與絕對(duì)值的和差的關(guān)系，我們可以類比得到另外一種形式：|a|b|ab|a|b|和差的絕對(duì)值與絕對(duì)值的和差的關(guān)系是由ab0，ab0，ab0三種情況 確定的，其本質(zhì)是敘述兩個(gè)實(shí)數(shù)的符號(hào)在各種情形下得到的結(jié)果，即這個(gè)定理本身就是一個(gè)分類討論問(wèn)題“數(shù)”分正、負(fù)、零等不同情況討論，往往在所難免，因此，對(duì)絕對(duì)值的認(rèn)識(shí)要有分類討論的習(xí)慣2絕對(duì)值不等式的幾何意義剖析：用向量a，b替換實(shí)數(shù)a，b時(shí)，問(wèn)題就從一維擴(kuò)展到二維，當(dāng)向量a，b不共線時(shí)，ab，a，b構(gòu)成三角形，有|ab|a|b|當(dāng)向量a，b共線時(shí)，a，b同向(相當(dāng)于ab0)時(shí)，|ab|a|b|；a，b異向(相當(dāng)于ab0)時(shí)，|ab|a|b|，這些都是利用了三角形的性質(zhì)定理，如兩邊之和大于第三邊等，這樣處理，可以形象地描繪絕對(duì)值三角不等式，更易于記憶，并有利于定理的應(yīng)用題型一利用絕對(duì)值不等式證明不等式【例1】設(shè)m等于|a|，|b|和1中最大的一個(gè)，當(dāng)|x|m時(shí)，求證：2分析：本題的關(guān)鍵是對(duì)題設(shè)條件的理解和運(yùn)用判斷|a|，|b|和1這三個(gè)數(shù)中哪個(gè)最大如果兩兩比較大小，將十分復(fù)雜，但我們可以得到一個(gè)重要的信息：m|a|、m|b|、m1從而利用這一條件證題反思：分析題目時(shí)，題目中的語(yǔ)言文字是我們解題信息的重要 與依據(jù)，而解題時(shí)的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言也往往需要從文字語(yǔ)言“翻譯”轉(zhuǎn)化而 ，那么準(zhǔn)確理解題目中的文字語(yǔ)言，適時(shí)準(zhǔn)確地進(jìn)行轉(zhuǎn)化也就成了解題的關(guān)鍵，如本題中題設(shè)條件中的文字語(yǔ)言“m等于|a|，|b|和1中最大的一個(gè)”轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言“m|a|，|m|b|，m1”，這是證明本題的關(guān)鍵題型二利用絕對(duì)值不等式求最值【例2】求函數(shù)y|x1|x4|的最大值和最小值分析：可以利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形 解，也可以把絕對(duì)值號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，分別求出最值，最后取并集反思：對(duì)于含有兩個(gè)及兩個(gè)以上的絕對(duì)值代數(shù)式，把其利用各零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，再利用分段函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行分析是很好的方法答案：【例1】證明：|x|m|a|，|x|m|b|，|x|m1，|x|2|b|2故原不等式成立【例2】解：解法一：5，5|x1|x4|5當(dāng)且僅當(dāng)即x4時(shí)，|x1|x4|5中的等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)即x1時(shí)，|x1|x4|5中的等號(hào)成立ymax5，ymin5解法二：把函數(shù)看作分段函數(shù)y|x1|x4|當(dāng)1x4時(shí)，52x35y5,5，ymax5，ymin51若|xa|m，|ya|n，則下列不等式一定成立的是()a|xy|2m b|xy|2n c|xy|nm d|xy|nm2設(shè)ab0，下面四個(gè)不等式中，正確的是()|ab|a|；|ab|b|；|ab|ab|；|ab|a|b|a和 b和 c和 d和3若a，br，且滿足|a2b|b|，則下列各式中正確的是()aa3b bab c|a|b| d|b|a|3|b|4求證：答案：1d|xy|xa(ya)|xa|ya|mn2cab0，a，b同號(hào)，|ab|a|b|，和正確3d|b