人教A版選修11 3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 課件（32張）.ppt

3 3 2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 1 函數(shù)極值的概念 名師點(diǎn)撥1 函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處一定不可能取得極值 即端點(diǎn)一定不是函數(shù)的極值點(diǎn) 2 在一個(gè)給定的區(qū)間上 函數(shù)可能有若干個(gè)極值點(diǎn) 也可能不存在極值點(diǎn) 函數(shù)可以只有極大值 沒有極小值 或者只有極小值沒有極大值 也可能既有極大值 又有極小值 極大值不一定比極小值大 極小值不一定比極大值小 做一做1 下列說法不正確的是 a 函數(shù)y x2有極小值b 函數(shù)y sinx有無數(shù)個(gè)極值c 函數(shù)y 2x沒有極值d x 0是函數(shù)y x3的極值點(diǎn)答案 d 2 函數(shù)極值的求法 做一做2 函數(shù)f x 2x3 3x2 1的極小值與極大值分別等于 a 0 1b 1 0c 2 1d 1 2解析 f x 6x2 6x 6x x 1 令f x 0得x 0或x 1 當(dāng)x 0 時(shí) f x 0 當(dāng)x 1 時(shí) f x 0 所以當(dāng)x 0時(shí)函數(shù)取極小值f 0 1 當(dāng)x 1時(shí)函數(shù)取極大值f 1 2 答案 d 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打 錯(cuò)誤的打 1 導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn) 2 函數(shù)的極大值一定大于極小值 3 在定義域上的單調(diào)函數(shù)一定沒有極值 4 對(duì)于任意函數(shù) 極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值一定等于0 5 三次函數(shù)f x x3 ax2 bx c最多有兩個(gè)極值 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思維辨析 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 例1 求下列函數(shù)的極值 思路點(diǎn)撥 按照求函數(shù)極值的步驟 借助表格進(jìn)行求解 探究一 探究二 探究三 思維辨析 自主解答 1 函數(shù)的定義域?yàn)閞 f x x2 2x 3 令f x 0 得x 3或x 1 當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值時(shí) 一般應(yīng)首先確定函數(shù)的定義域 然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 得到使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) 這些點(diǎn)將整個(gè)定義域分為若干個(gè)區(qū)間 然后將x f x f x 在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個(gè)表格中 考查導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的左 右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值是否異號(hào) 若異號(hào) 則是極值 否則就不是極值 這樣通過表格可以清楚地判斷在哪個(gè)點(diǎn)處取得極值 是極大值還是極小值 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的極值 1 f x x3 3x 解 1 函數(shù)f x 的定義域?yàn)閞 f x 3x2 3 令f x 0得x 1 當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 所以函數(shù)在x 1處取得極大值f 1 2 在x 1處取得極小值f 1 2 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 與函數(shù)極值有關(guān)的參數(shù)問題 例2 已知函數(shù)f x x3 ax2 ax b 1 若函數(shù)在x 2取得極值5 求實(shí)數(shù)a b的值 2 若函數(shù)在r上不存在極值 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 思路點(diǎn)撥 1 可利用f 2 0 f 2 5建立a b的方程組求解 2 根據(jù)方程f x 0不存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根求解 自主解答 1 因?yàn)楹瘮?shù)f x x3 ax2 ax b 所以f x 3x2 2ax a 依題意可得f 2 0 f 2 5 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 f x 3x2 2ax a 若方程f x 0沒有實(shí)數(shù)根 則函數(shù)在r上不存在極值 這時(shí) 2a 2 12a0 所以f x 在r上不存在極值 當(dāng)a 0時(shí) f x 3x2 雖有f 0 0 但當(dāng)x 0時(shí)總有f x 0 所以f x 在r上不存在極值 若方程f x 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1 x2 x10 解得a0 可以驗(yàn)證函數(shù)f x 在x1 x2處分別取得極大值和極小值 綜上 若函數(shù)在r上不存在極值 必有 3 a 0 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 根據(jù)函數(shù)極值的定義可知 如果一個(gè)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù) 那么在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)必然為零 即對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y f x f x0 0是x0為極值點(diǎn)的必要條件 當(dāng)已知可導(dǎo)函數(shù)在某一點(diǎn)處取得極值時(shí) 該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值一定為零 據(jù)此可建立關(guān)于參數(shù)的方程進(jìn)行求解 2 對(duì)于三次函數(shù)f x ax3 bx2 cx d a 0 其導(dǎo)數(shù)f x 3ax2 2bx c 方程3ax2 2bx c 0的判別式 4b2 12ac 則有以下結(jié)論 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 根據(jù)圖象判斷函數(shù)的極值 例3 已知函數(shù)y xf x 的圖象如右圖所示 其中f x 是函數(shù)f x 的導(dǎo)函數(shù) 給出以下說法 函數(shù)f x 在區(qū)間 1 上是增函數(shù) 函數(shù)f x 在x 1處取得極大值 函數(shù)f x 在處取得極大值 函數(shù)f x 在x 1處取得極小值 其中正確的說法有 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解析 從圖象上可以發(fā)現(xiàn) 當(dāng)x 1 時(shí) xf x 0 于是f x 0 故f x 在區(qū)間 1 上是增函數(shù) 正確 當(dāng)x0 當(dāng) 10 所以f x 0 故函數(shù)f x 在x 1處取得極大值 正確 當(dāng)x 1 1 時(shí) f x 0 所以函數(shù)f x 在區(qū)間 1 1 上是單調(diào)遞減函數(shù) 錯(cuò) 當(dāng)0 x 1時(shí) xf x 0 于是f x 0 故f x 在區(qū)間 0 1 上是減函數(shù) 而在區(qū)間 1 上是增函數(shù) 所以函數(shù)f x 在x 1處取得極小值 故 正確 答案 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟這類函數(shù)圖象問題是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題中較為常見的一種題型 解答這類問題的關(guān)鍵是選準(zhǔn)出發(fā)點(diǎn) 對(duì)于導(dǎo)函數(shù)的圖象 我們重點(diǎn)考查其在哪個(gè)區(qū)間上為正 哪個(gè)區(qū)間上為負(fù) 在哪個(gè)點(diǎn)處與x軸相交 在該點(diǎn)附近導(dǎo)函數(shù)的值是怎樣變化的 若是由正值變?yōu)樨?fù)值 則該點(diǎn)處取得極大值 若由負(fù)值變?yōu)檎?則該點(diǎn)處取得極小值 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f x ax3 bx2 c 其導(dǎo)函數(shù)f x 的圖象如圖所示 則函數(shù)f x 的極大值是 a 2a cb 4a cc 3ad c解析 由導(dǎo)函數(shù)f x 的圖象 知當(dāng)00 當(dāng)x 2時(shí) f x 0 當(dāng)x 2時(shí) f x 0 又f x 3ax2 2bx 所以b 3a f x ax3 3ax2 c 所以函數(shù)f x 的極大值為f 2 4a c 故選b 答案 b 探究一 探究二 探究三 思維辨析 忽視極值存在的條件致誤 典例 已知函數(shù)f x x3 6mx2 4nx 8m2在x 2處取得極值 且極值為0 求m 4n的值 易錯(cuò)分析 本題常見錯(cuò)誤是根據(jù)f 2 0 f 2 0求得m n的兩組值后 不根據(jù)極值存在的條件進(jìn)行驗(yàn)證取舍 導(dǎo)致增解 自主解答 f x 3x2 12mx 4n 當(dāng)m 1 n 3時(shí) f x 3x2 12x 12 3 x 2 2 0 所以f x 在r上單調(diào)遞增無極值 不合題意 當(dāng)m 2 n 9時(shí) f x 3x2 24x 36 3 x 2 x 6 當(dāng) 6 2時(shí) f x 0 故f x 在x 2處取得極值 符合題意 綜上 m 2 n 9 所以m 4n 38 探究一 探究二 探究三 思維辨析 糾錯(cuò)心得 f x0 0 是 f x0 為極值的必要不充分條件 因此由f x0 0求得m n的值以后要驗(yàn)證在x x0左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)是否相反 才能確定是否真正在x0點(diǎn)處取得極值 在已知函數(shù)的極值點(diǎn)與極值的條件下 求參數(shù)值時(shí) 務(wù)必注意這一點(diǎn) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 1 函數(shù)y 2x3 3x2 a 在x 0取極大值 無極小值b 在x 1取極小值 無極大值c 在x 0取極大值 在x 1取極小值d 以上都不對(duì)解析 y 6x x 1 令y 0得x 0 1 當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下 所以當(dāng)x 0時(shí)極大值f 0 0 當(dāng)x 1時(shí)極小值f 1 1 答案 c 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 已知定義在 a b 上的可導(dǎo)函數(shù)f x 的導(dǎo)函數(shù)f x 的圖象如圖所示 則f x 的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)