三年高考（2016-2018）高考數(shù)學(xué)習(xí)題分項(xiàng)版解析專題20圓錐曲線的綜合問題文（含解析）.docx

專題20 圓錐曲線的綜合問題 文1.定值與最值及范圍問題掌握與圓錐曲線有關(guān)的最值、定值、參數(shù)范圍問題掌握解答題2.存在性問題了解并掌握與圓錐曲線有關(guān)的存在性問題掌握解答題分析解讀1.會(huì)處理動(dòng)曲線(含直線)過定點(diǎn)的問題.2.會(huì)證明與曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問題.3.會(huì)按條件建立目標(biāo)函數(shù),研究變量的最值問題及變量的取值范圍問題,注意運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”“幾何法”求某些量的最值.4.能與其他知識(shí)交匯,從假設(shè)結(jié)論成立入手,通過推理論證解答存在性問題.5.本節(jié)在高考中圍繞直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,展開對(duì)定值、最值、參數(shù)取值范圍等問題的考查,注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查,分值約為12分,難度偏大.2018年高考全景展示1【2018年江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為_【答案】3【解析】分析：先根據(jù)條件確定圓方程，再利用方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)平面向量的數(shù)量積求結(jié)果.點(diǎn)睛：以向量為載體求相關(guān)變量的取值或范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.2【2018年浙江卷】如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上（）設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；（）若P是半橢圓x2+=1(xb0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為.()求橢圓C的方程；()動(dòng)直線l:y=kx+m(m0)交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N是M關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn),圓N的半徑為|NO|. 設(shè)D為AB的中點(diǎn),DE,DF與圓N分別相切于點(diǎn)E,F,求EDF的最小值.【答案】();()的最小值為.【解析】試題分析：()得所,由橢圓C截直線y=1所得線段的長度為得,求得橢圓的方程為；()（2由,解得,確定,所以,由此可得的最小值為的最小值為.（）設(shè)，聯(lián)立方程得，由 得 （*）且 ，因此 ，所以 ，又 ，所以 整理得： ，因?yàn)?所以 令 故 所以 .故，設(shè)，則 ，所以得最小值為.從而的最小值為，此時(shí)直線的斜率時(shí).綜上所述：當(dāng)，時(shí)，取得最小值為.【考點(diǎn)】圓與橢圓的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、 【名師點(diǎn)睛】圓錐曲線中的兩類最值問題：涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題常見解法：幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解2.【2017天津，文20】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為.（I）求橢圓的離心率；（II）設(shè)點(diǎn)在線段上，延長線段與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程.【答案】（） （）（） （）【解析】試題分析：（）根據(jù)圖象分析出， 再結(jié)合，求得離心率；（）（）首先設(shè)直線的方程是，再寫出直線的方程，方程聯(lián)立得到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)得到的值，求得直線的斜率；（）直線的方程和橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再求，確定直線和都垂直于直線，根據(jù)平面幾何關(guān)系求面積，求，解橢圓方程.（）（）依題意，設(shè)直線FP的方程為，則直線FP的斜率為.由（）知，可得直線AE的方程為，即，與直線FP的方程聯(lián)立，可解得，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直線FP的斜率為.【考點(diǎn)】1.橢圓方程；2.橢圓的幾何性質(zhì)；3.直線與橢圓的位置關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題重點(diǎn)考察了計(jì)算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力，解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓離心率是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，一般都是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解題，但本題需求解交點(diǎn)坐標(biāo)，再求解過程逐步發(fā)現(xiàn)四邊形的幾何關(guān)系，從而求解面積，計(jì)算結(jié)果，本題計(jì)算量比較大 3.【2017浙江，21】（本題滿分15分）如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，拋物線上的點(diǎn)過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q（）求直線AP斜率的取值范圍；（）求的最大值【答案】（）；（）【解析】試題分析：（）由兩點(diǎn)求斜率公式可得AP的斜率為，由，得AP斜率的取值范圍；（）聯(lián)立直線AP與BQ的方程，得Q的橫坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)與的長度，通過函數(shù)求解的最大值（）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，因?yàn)閨PA|=|PQ|= ，所以|PA|PQ|=令，因?yàn)椋?f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=時(shí)，取得最大值 【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力，通過表達(dá)與的長度，通過函數(shù)求解的最大值2016年高考全景展示1. 【2016高考山東文數(shù)】(本小題滿分14分)已知橢圓C:（ab0）的長軸長為4，焦距為2.（I）求橢圓C的方程；()過動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(m0)的直線交x軸與點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長線QM交C于點(diǎn)B.(i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k，證明為定值.(ii)求直線AB的斜率的最小值.【答案】() .()(i)見解析；(ii)直線AB 的斜率的最小值為 .【解析】試題分析：()分別計(jì)算即得.()(i)設(shè)，利用對(duì)稱點(diǎn)可得 得到直線PM的斜率，直線QM的斜率，即可證得.(ii)設(shè)，分別將直線PA的方程，直線QB的方程與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到、及用表示的式子，進(jìn)一步應(yīng)用基本不等式即得. ()(i)設(shè)，由，可得 所以 直線PM的斜率 ，直線QM的斜率.此時(shí)，所以為定值.(ii)設(shè)，直線PA的方程為，直線QB的方程為.聯(lián)立 ，整理得.由可得 ，所以，由，可知，所以 ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.此時(shí)，即，符號(hào)題意.所以直線AB 的斜率的最小值為 . 考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.基本不等式.【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到參數(shù)的解析式或方程是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分析問題解決問題的能力等.2.【2016高考天津文數(shù)】（設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中 為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（）求橢圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率.【答案】（）（）【解析】試題分析：（）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量，由，得，再利用，可解得，（）先化簡條件：，即M再OA中垂線上，再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求；利用兩直線方程組求H，最后根據(jù)，列等量關(guān)系解出直線斜率.（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)，由方程組 消去，整理得，解得或，由題意得，從而，由（1）知，設(shè)，有，由，得，所以，解得，因此直線的方程為，設(shè)，由方程組 消去，得，在中，即，化簡得，即，解得或，所以直線的斜率為或. 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程【名師點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷、有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對(duì)函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，一直是高考考查的重點(diǎn)，特別是焦點(diǎn)弦和中點(diǎn)弦等問題，涉及中點(diǎn)公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數(shù)學(xué)思想方法的熱點(diǎn)題型3.【2016高考四川文科】（本小題滿分13分）已知橢圓E：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.()求橢圓E的方程；()設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【解析】試題分析：（）由橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中可減少一個(gè)參數(shù)，再利用在橢圓上，可解出b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）首先設(shè)出直線方程為，同時(shí)設(shè)交點(diǎn)，把方程與橢圓方程聯(lián)立后消去得的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，得，由求得（用表示），由方程具體地得出坐標(biāo)，也可計(jì)算出，從而證得相等試題解析：（I）由已知，a=2b.又橢圓過點(diǎn)，故，解得.所以橢圓E的方程是.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.在涉及到直線與橢圓（圓錐曲線）的交點(diǎn)問題時(shí)，一般都設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，同時(shí)把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后，可得，再把用表示出來，并代入剛才的，這種方法是解析幾何中的“設(shè)而不求”法可減少計(jì)算量，簡化解題過程4.【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系中,直線l:y=t(t0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C：于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長交C于點(diǎn)H.（I）求；（II）除H以外,直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說明理由.【答案】（I）2（II）沒有【解答】試題分析：先確定,的方程為,代入整理得,解得,得,由此可得為的中點(diǎn),即.（II）把直線的方程,與聯(lián)立得,解得,即直線與只有一個(gè)公共點(diǎn),所以除以外直線與沒有其它公共點(diǎn). （）直線與除以外沒有其它公共點(diǎn).理由如下：直線的方程為,即.代入得,解