第5課時 二項式定理.doc

10.5 二項式定理一、內容歸納1 知識精講：（1）二項式定理：（）其通項是 （r=0,1,2,n），知4求1，如：亦可寫成：（）特別地：（）其中，二項式系數。而系數是字母前的常數。（2）二項展開式系數的性質：對稱性,在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即增減性與最大值：在二項式展開式中，二項式系數先增后減，且在中間取得最大值。如果二項式的冪指數是偶數，中間一項的二項式系數最大，即偶數：；如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并且最大，即。所有二項式系數的和用賦值法可以證明等于即；奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等，即（3）二項式定理的應用：近似計算和估計、證不等式，如證明：取的展開式中的四項即可。2重點難點: 二項式定理，和二項展開式的性質。3思維方式:一般與特殊的轉化，賦值法的應用。4特別注意:二項式的展開式共有n+1項，是第r+1項。通項是 （r=0,1,2,n）中含有五個元素，只要知道其中四個即可求第五個元素。注意二項式系數與某一項系數的異同。當n不是很大，|比較小時可以用展開式的前幾項求的近似值。二、問題討論例1（1）等于 （ ）A B。 C。 D.（2）若為奇數，則被9除得的余數是 （ ）A0 B。2 C。7 D.8解：（1）設，于是：=故選D（2）=因為為奇數，所以原式=所以，其余數 為7，選C例2（1）(優(yōu)化設計P179例1)如果在 的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中的有理項。（2）(優(yōu)化設計P179例2)求的展開式的常數項。（3）在的展開式中，求的系數（即含的項的系數）解：（1）展開式中前三項的系數分別為1， ， 由題意得：2=1+得=8。設第r+1項為有理項，則r是4的倍數，所以r=0，4，8。有理項為?！舅季S點撥】 求展開式中某一特定的項的問題時，常用通項公式，用待定系數法確定r。（2）法一：，其展開式的通項為，令得所以，常數項為法二：解析：=得到常數的情況有：三個括號中全取-2，得（-2）3 一個括號取，一個括號取，一個括號取-2，得=-12，因此常數項為-20。（3）=含的項為 ,即含的項的系數為240 【思維點撥】 密切注意通項公式的使用。練習：(優(yōu)化設計P180思考討論)（1）在的展開式中，求的系數。（2）求的展開式中的常數項。（3）求的展開式中的系數。解:（1）原式=,展開式中的系數為（2）=，展開式中的常數項為（3）方法一：原式= 的系數為。方法二：展開式中的系數為：例3(優(yōu)化設計P180例3)、設an1qq2qn1(nN*，q1)，AnCa1Ca2Can.(1) 用q 和n 表示An(2) 當時,求解：q1，an.AnCa1Ca2Can CCC(CCCC)(CqCq2CqnC)(2) 因為且q1，所以所以=【思維點撥】：本題逆用了二項式定理及CCC2n，這些重要的數學模型常常運用于解題過程中.例4、若=，求（1）的值。（2）的值。【解析】：（1）在使用賦值法前，應先將變形為：=才能發(fā)現應取什么特殊值：令= 1，則=令=1則=因此：=1（2）因為=，而所以，=16 【思維點撥】 用賦值法時要注意展開式的形式。思考題：設則 解: 所以, =0備用題：例5已知。（1） 若展開式中第5項、第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大項的系數。（2） 若展開式前三項的二項式系數和等于79，求展開式中系數最大的項?！窘狻浚?）=7或=14。當=7時，展開式中二項式系數最大的項是T4和T5T4的系數=；T5的系數=當=14時展開式中二項式系數最大是項是T8，T8的系數=。（2） 由=79，可得=12，設頂的系數最大。，9.41，求證證明: 從而【思維點撥】這類是二項式定理的應用問題，它的取舍根據題目而