數(shù)學(xué)物理方程-第2章-2012.ppt

數(shù)學(xué)物理方程 2 1熱傳導(dǎo)方程及其定解問(wèn)題的導(dǎo)出 第二章熱傳導(dǎo)方程 物理背景 熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散等物理現(xiàn)象 因?yàn)闇夭疃鸬臒崃枯斶\(yùn)過(guò)程稱為熱傳導(dǎo) 由于熱量的傳導(dǎo)過(guò)程總是表現(xiàn)為溫度隨時(shí)間和位置的變化 所以 解決熱傳導(dǎo)問(wèn)題都要?dú)w結(jié)為求物體內(nèi)溫度的分布 下面 考察空間某個(gè)物體G的傳導(dǎo)問(wèn)題 以函數(shù)u x y z t 表示物體G在位置 x y z 及時(shí)刻t的溫度 根據(jù)傳熱學(xué)中的傅立葉實(shí)驗(yàn)定律 物體在無(wú)窮小時(shí)段dt內(nèi)沿法線方向n流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積dS的熱量dQ與物體溫度沿曲面法線方向的方向?qū)?shù) u n成正比 即 其中 k x y z 稱為物體在點(diǎn) x y z 處的熱傳導(dǎo)系數(shù) 它應(yīng)取正值 1 1 中的負(fù)號(hào)出現(xiàn)是由于熱量總是從溫度高的一側(cè)流向低的一側(cè) 因此dQ與 u n異號(hào) 1 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 在物體G內(nèi)任取一閉曲面 它所包圍的區(qū)域記為 由 1 1 式從時(shí)刻t1到t2流入此閉曲面的全部熱量為 這里 u n表示u沿 上單位外法線方向n的方向?qū)?shù) 這里規(guī)定熱量流入為正 流入的熱量使得物體內(nèi)部溫度發(fā)生變化 在時(shí)間間隔 t1 t2 中物體溫度從u x y z t1 變化到u x y z t2 它所應(yīng)該吸收的熱量是 其中c為比熱 為密度 因此有下式成立 假設(shè)溫度分布函數(shù)u關(guān)于變量x y z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 關(guān)于具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 利用格林公式 可以把 1 3 式化為 于是 得到 由于 t1和t2都是任意取定的 因此我們得到 上式稱為非均勻各項(xiàng)同性體的熱傳導(dǎo)方程 如果物體的質(zhì)地是均勻的 那么k c和 均為常數(shù) 記k c a2 可得 如果所考察的物體內(nèi)部有熱源 那么熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)中還需要考慮熱源的影響 若設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)單位體積中所產(chǎn)生的熱量為F x y z t 則在考慮熱平衡時(shí) 1 3 式左邊需要添加一項(xiàng) 于是 相應(yīng)于 1 6 的熱傳導(dǎo)方程應(yīng)改為 1 6 式稱為齊次熱傳導(dǎo)方程 而 1 7 稱為非齊次熱傳導(dǎo)方程 2 定解問(wèn)題的提法 從物理學(xué)角度來(lái)看 如果知道了物體在邊界上的溫度狀況 或熱交換狀況 和物體在初始時(shí)刻的溫度 就可以完全確定物體在以后時(shí)刻的溫度分布 因此熱傳導(dǎo)方程最自然的一個(gè)定解問(wèn)題就是在給定的初始條件和邊界條件下求問(wèn)題的解 由于方程中只有時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 因此初始條件的提法很簡(jiǎn)單 即 其中 為物體的邊界曲面 g x y z t 是定義在該曲面上關(guān)于時(shí)間的已知函數(shù) u x y z 0 x y z 下面著重討論邊界條件的提法 最簡(jiǎn)單的情形為物體的表面溫度是已知的 這個(gè)條件的數(shù)學(xué)形式為 1 9 與前面波動(dòng)方程一樣 邊界條件 1 10 式稱為第一類邊界條件或狄利克雷 Dirichlet 邊界條件 我們考慮另外一種邊界情況 在物體的表面上知道的不是它的表面溫度 而是熱量在表面各點(diǎn)的流速 也就是說(shuō)表面各點(diǎn)處單位時(shí)間單位面積上流過(guò)的熱量Q已知 根據(jù)傅立葉定律 這種情況實(shí)際上表示溫度u在表面上的法向?qū)?shù)是已知的 這種邊界條件的數(shù)學(xué)形式為 這種邊界稱為熱傳導(dǎo)方程的第二類邊界條件 又稱諾依曼 Neumann 邊界條件 接下來(lái)我們考察第三種情況 物體在邊界上與其他傳熱介質(zhì)接觸 我們能測(cè)量到的是與物體接觸的介質(zhì)的溫度u1 它和物體表面上的溫度u往往并不相同 在這種情況下 邊界條件的提法中還必須利用物理學(xué)中的另一個(gè)熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)定律 牛頓定律 從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者的溫度差成正比 這里的比例常數(shù)k1稱為熱交換系數(shù) 它也取正值 考察流過(guò)物體表面 的熱量 從物質(zhì)內(nèi)部來(lái)看它由傅立葉定律決定 而從介質(zhì)方面來(lái)看則應(yīng)由牛頓定律決定 因此成立著以下關(guān)系式 由于k和k1都是正數(shù) 因此這種邊界條件的數(shù)學(xué)形式可以寫成 這種邊界稱為熱傳導(dǎo)方程的第三類邊界條件 與弦振動(dòng)方程比較 這三類邊界條件雖然從不同的物理角度分別歸結(jié)出來(lái) 但在數(shù)學(xué)形式上是完全一樣的 同樣的 如果所考察的物體體積很大 而所需要知道的是較短時(shí)間和較小范圍內(nèi)的溫度變化情況 邊界條件產(chǎn)生的影響可以忽略 那么就不妨把所考察的物體視為充滿整個(gè)空間 于是定解問(wèn)題就變?yōu)榭挛鲉?wèn)題 此時(shí)的初始條件為 注意 熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題中 初始條件只能給出一個(gè) 在適當(dāng)?shù)那闆r下 方程中描述空間坐標(biāo)的獨(dú)立變量數(shù)目還可以減少 例如對(duì)于側(cè)面絕熱的均勻細(xì)桿 溫度函數(shù)僅與坐標(biāo)及時(shí)間有關(guān) 我們就得到了一維熱傳導(dǎo)方程 同樣考慮薄片狀物體的熱傳導(dǎo)問(wèn)題 可得二維熱傳導(dǎo)方程 3 擴(kuò)散方程 擴(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出過(guò)程極為相似 只要將擴(kuò)散方程所滿足的物理規(guī)律與熱傳導(dǎo)方程所滿足的物理規(guī)律作一個(gè)類比 擴(kuò)散方程就自然可以得出 在熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)過(guò)程中 起作用的基本規(guī)律是傅立葉定律和熱量守恒定律 在考慮擴(kuò)散問(wèn)題時(shí) 起作用的基本規(guī)律是擴(kuò)散定律和質(zhì)量守恒定律 它們的形式是 N表示擴(kuò)散物質(zhì)的濃度 D x y z 代表擴(kuò)散系數(shù) 對(duì)比前面的基本規(guī)律 它們的數(shù)學(xué)形式極其相似 于是我們可以立刻寫出擴(kuò)散方程為 如果擴(kuò)散系數(shù)D x y z 為常數(shù) 那么擴(kuò)散方程可以寫為與 1 6 式相同的形式 擴(kuò)散方程也可以提出相應(yīng)的柯西問(wèn)題和初邊值問(wèn)題等定解問(wèn)題 分離變量法對(duì)熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題也是適用的 以下以熱傳導(dǎo)方程在邊界上分別取第一和第三邊界條件的初邊值問(wèn)題為例詳細(xì)討論其求解過(guò)程 利用分離變量法求解如下的初邊值問(wèn)題 其中h為正的常數(shù) 用分離變量法求解 令u x t X x T t 這里X x 和T t 分別表示僅與x有關(guān)和僅與t有關(guān)的函數(shù) 把它代入方程 2 1 得到 這個(gè)等式只有在兩邊均等于常數(shù)時(shí)才能成立 令該常數(shù)為 則有 2 2初邊值問(wèn)題的分離變量法 首先考慮方程 2 6 的求解 根據(jù)邊界條件 2 3 和 2 4 X x 應(yīng)當(dāng)滿足邊界條件 對(duì)于邊值問(wèn)題 2 6 和 2 7 通過(guò)與前一章類似的討論可得 1 當(dāng) 0時(shí) 利用邊界條件X 0 0得A 0 于是由 2 7 的第二個(gè)邊界條件可以得到 為了使X x 為非平凡解 應(yīng)滿足 即 是以下超越方程的正解 令則 2 11 式變?yōu)槔脠D解法或數(shù)值解法可以得出這個(gè)方程的根 由右圖可知 方程有可列舉的無(wú)窮多個(gè)正根 k 0 k 1 2 滿足 k 1 2 k k 因此 特征值問(wèn)題 2 6 和 2 7 存在無(wú)窮多個(gè)固有值 以及固有函數(shù) 把前面得到的代入方程 2 5 可得 于是我們得到一列可分離變量的特解 由于方程 2 1 和邊界條件 2 3 和 2 4 都是齊次的 所以可以利用疊加原理構(gòu)造級(jí)數(shù)形式的解 以下的任務(wù)是利用初始條件 2 2 來(lái)決定常數(shù)Ak 為了使在t 0時(shí)u x t 取到初值 x 應(yīng)成立 為了確定系數(shù)Ak 須先證明固有函數(shù)系在 0 l 上正交 設(shè)固有函數(shù)Xn和Xm分別對(duì)應(yīng)于不同的固有值 n和 m 即 以Xn和Xm分別乘以上面第一和第二式 相減后在 0 l 積分 利用Xn和Xm都滿足邊界條件 2 3 2 4 就得到 由于 n和 m不等 故得到固有函數(shù)系的正交性 于