高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何8_6量空間向及其運(yùn)算課件

8 6量空間向及其運(yùn)算 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 課時訓(xùn)練 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 空間向量的有關(guān)概念 知識梳理 0 1 相同 相等 相反 相等 平行或重合 平面 2 空間向量中的有關(guān)定理 1 共線向量定理空間兩個向量a與b b 0 共線的充要條件是存在實(shí)數(shù) 使得a b 2 共面向量定理共面向量定理的向量表達(dá)式 p 其中x y R a b為不共線向量 3 空間向量基本定理如果三個向量a b c不共面 那么對空間任一向量p 存在有序?qū)崝?shù)組 x y z 使得p a b c 叫做空間的一個基底 xa yb xa yb zc 3 空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 1 數(shù)量積及相關(guān)概念 兩向量的夾角已知兩個非零向量a b 在空間任取一點(diǎn)O 作則 AOB叫做向量a b的夾角 記作 其范圍是 若 a b 則稱a與b 記作a b a b 0 a b 互相垂直 兩向量的數(shù)量積已知空間兩個非零向量a b 則叫做向量a b的數(shù)量積 記作 即a b 2 空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 結(jié)合律 a b 交換律 a b 分配律 a b c 4 空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a b cos a b a b cos a b a b a b b a a b a c a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 0 判斷下列結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 空間中任意兩非零向量a b共面 2 在向量的數(shù)量積運(yùn)算中 a b c a b c 3 對于非零向量b 由a b b c 則a c 4 兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同 5 若A B C D是空間任意四點(diǎn) 則有 考點(diǎn)自測 答案 解析 2 2016 大連模擬 向量a 2 3 1 b 2 0 4 c 4 6 2 下列結(jié)論正確的是A a b a cB a b a cC a c a bD 以上都不對 因?yàn)閏 4 6 2 2 2 3 1 2a 所以a c 又a b 2 2 3 0 1 4 0 所以a b 故選C 答案 解析 3 與向量 3 4 5 共線的單位向量是 答案 解析 4 教材改編 正四面體ABCD的棱長為2 E F分別為BC AD中點(diǎn) 則EF的長為 答案 解析 題型分類深度剖析 題型一空間向量的線性運(yùn)算 答案 解析 2 三棱錐O ABC中 M N分別是OA BC的中點(diǎn) G是 ABC的重心 用基向量 解答 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量來表示未知向量 一定要結(jié)合圖形 以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵 要正確理解向量加法 減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量 在立體幾何中三角形法則 平行四邊形法則仍然成立 思維升華 跟蹤訓(xùn)練1 2016 青島模擬 如圖所示 在空間幾何體ABCD A1B1C1D1中 各面為平行四邊形 設(shè)M N P分別是AA1 BC C1D1的中點(diǎn) 試用a b c表示以下各向量 解答 解答 題型二共線定理 共面定理的應(yīng)用 例2 2016 天津模擬 已知E F G H分別是空間四邊形ABCD的邊AB BC CD DA的中點(diǎn) 1 求證 E F G H四點(diǎn)共面 證明 2 求證 BD 平面EFGH 證明 證明 思維升華 跟蹤訓(xùn)練2已知A B C三點(diǎn)不共線 對平面ABC外的任一點(diǎn)O 若點(diǎn)M滿足 解答 2 判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi) 解答 由 1 知共面且基線過同一點(diǎn)M M A B C四點(diǎn)共面 從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi) 題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 例3 2016 濟(jì)南模擬 已知平行六面體ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD是邊長為1的正方形 AA1 2 A1AB A1AD 120 1 求線段AC1的長 解答 2 求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值 解答 3 求證 AA1 BD 證明 1 利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系 也可以利用垂直關(guān)系 通過向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置 2 利用夾角公式 可以求異面直線所成的角 也可以求二面角 3 可以通過 a 將向量的長度問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題求解 思維升華 跟蹤訓(xùn)練3如圖 在平行六面體ABCD A1B1C1D1中 以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1 且兩兩夾角為60 解答 解答 典例 14分 如圖 已知直三棱柱ABC A1B1C1 在底面 ABC中 CA CB 1 BCA 90 棱AA1 2 M N分別是A1B1 A1A的中點(diǎn) 坐標(biāo)法在立體幾何中的應(yīng)用 思想與方法系列20 利用向量解決立體幾何問題時 首先要將幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題 通過建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解 規(guī)范解答 思想方法指導(dǎo) 課時訓(xùn)練 1 在下列命題中 若向量a b共線 則向量a b所在的直線平行 若向量a b所在的直線為異面直線 則向量a b一定不共面 若三個向量a b c兩兩共面 則向量a b c共面 已知空間的三個向量a b c 則對于空間的任意一個向量p總存在實(shí)數(shù)x y z使得p xa yb zc 其中正確命題的個數(shù)A 0B 1C 2D 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 a與b共線 a b所在的直線也可能重合 故 不正確 根據(jù)自由向量的意義知 空間任意兩向量a b都共面 故 不正確 三個向量a b c中任意兩個一定共面 但它們?nèi)齻€卻不一定共面 故 不正確 只有當(dāng)a b c不共面時 空間任意一向量p才能表示為p xa yb zc 故 不正確 綜上可知四個命題中正確的個數(shù)為0 故選A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 鄭州模擬 已知a 2 1 3 b 1 2 3 c 7 6 若a b c三向量共面 則 等于A 9B 9C 3D 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 已知a 2 1 3 b 1 2 1 若a a b 則實(shí)數(shù) 的值為 由題意知a a b 0 即a2 a b 0 所以14 7 0 解得 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 如圖 在大小為45 的二面角A EF D中 四邊形ABFE CDEF都是邊長為1的正方形 則B D兩點(diǎn)間的距離是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知a b是異面直線 A B a C D b AC b BD b且AB 2 CD 1 則異面直線a b所成的角等于A 30 B 45 C 60 D 90 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 A B C D是空間不共面四點(diǎn) 且則 BCD的形狀是 三角形 填銳角 直角 鈍角中的一個 銳角 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2016 南京模擬 設(shè)O ABC是四面體 G1是 ABC的重心 G是OG1上的一點(diǎn) 且OG 3GG1 若則x y z的值分別為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 如圖 在平行六面體ABCD A1B1C1D1中 點(diǎn)M P Q分別為棱AB CD BC的中點(diǎn) 若平行六面體的各棱長均相等 則 A1M D1P A1M B1Q A1M 平面DCC1D1 A1M 平面D1PQB1 以上正確說法的個數(shù)為 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 如圖所示 已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1 點(diǎn)E F G分別是AB AD CD的中點(diǎn) 計算 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 3 EG的長 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 異面直線AG與CE所成角的余弦值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 沈陽模擬 直三棱柱ABC A B C 中 AC BC AA ACB 90 D E分別為AB BB 的中點(diǎn) 1 求證 CE A D 證明 1 2 3