例談積分計(jì)算中對(duì)稱性的應(yīng)用開題報(bào)告.doc

本科學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 開題報(bào)告 題 目 例談積分計(jì)算中對(duì)稱性的應(yīng)用 姓 名 學(xué) 號(hào)_院 系_專 業(yè)_ _指導(dǎo)教師_職 稱_ _年月日論文（設(shè)計(jì)）題目例談積分計(jì)算中對(duì)稱性的應(yīng)用學(xué)科分類（二級(jí)）110.34題目來源（a.教師擬題；b.學(xué)生自擬；c.教師科研課題；d.其他）a本選題的根據(jù)：1）說明本選題的研究意義和應(yīng)用價(jià)值2）簡述本選題的研究現(xiàn)狀和自己的見解1、 本選題的研究意義和應(yīng)用價(jià)值數(shù)學(xué)分析是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)本科生最重要的基礎(chǔ)課之一，而積分計(jì)算又是數(shù)學(xué)分析中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，其重要性是不言而喻的。對(duì)稱性不僅是數(shù)學(xué)美的重要特征，運(yùn)用在積分求解的方法中又是一個(gè)非常重要的方法，因而探討對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用就非常必要。在某些復(fù)雜的積分計(jì)算和證明的過程中，特別是涉及二重和三重的積分計(jì)算問題用常規(guī)的方法解決十分困難，.若能注意并充分利用積分區(qū)域的對(duì)稱性、被積函數(shù)的奇偶性以及積分變量的輪換對(duì)稱性探求積分計(jì)算的簡化途徑，利用其結(jié)果計(jì)算，可以簡化計(jì)算過程，提高解題效率，對(duì)于有些原本并不具有對(duì)稱性的問題，我們要善于根據(jù)問題的特點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱性，從而達(dá)到簡化問題的目的。積分計(jì)算中對(duì)稱性在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，例如天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)等。在現(xiàn)實(shí)生活中我們運(yùn)用對(duì)稱性可以輕松的解決一些實(shí)際問題，例如求某些面積、體積、弧長等。在學(xué)習(xí)過程中，常常發(fā)現(xiàn)自己在計(jì)算積分時(shí)，把簡單的問題復(fù)雜化而增加了積分計(jì)算的難度，若在積分的計(jì)算中能充分利用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性以及輪換對(duì)稱性，（重復(fù)，再修改）就能簡化積分計(jì)算過程，從而能節(jié)省更多的時(shí)間，也使得學(xué)習(xí)更輕松、更具科學(xué)性、有效性。二、本選題的研究現(xiàn)狀和自己的見解 1、研究現(xiàn)狀 積分概念是由求某些面積、體積和弧長引起的，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在拋物線求積法中利用窮竭法求出拋物線弓形的面積，人們沒有用極限，是“ 有限”開工的窮竭法。阿基米德的貢獻(xiàn)真正成為積分學(xué)的萌芽。經(jīng)過18、19 世紀(jì)一大批數(shù)學(xué)家的努力，特別是在法國數(shù)學(xué)家柯西首先成功地建立了極限理論之后，以極限的觀點(diǎn)定義了微積分的基本概念，并簡潔而嚴(yán)格地證明了微積分基本定理即牛頓萊布尼茨公式，才給微積分建立了一個(gè)基本嚴(yán)格的完整體系。積分的計(jì)算求解方法有很多種，在這里我主要討論的是運(yùn)用對(duì)稱性求解積分的方法。積分計(jì)算中對(duì)稱性的應(yīng)用問題可分為三類來討論，即一重積分、二重積分和三重積分。對(duì)于積分計(jì)算中對(duì)稱性的應(yīng)用問題，研究到現(xiàn)在有： 對(duì)稱性在一重積分的計(jì)算中的應(yīng)用1）利用函數(shù)的奇偶性求定積分函數(shù)在區(qū)間-a,a上可積，若為奇函數(shù)，則；若為偶函數(shù)，則。這種方法首先要是判斷函數(shù)在區(qū)間上是否可積，再利用函數(shù)的對(duì)稱性來求積分。它主要用于奇函數(shù)和偶函數(shù)的積分計(jì)算。2）利用第一類曲線積分的對(duì)稱性定理求積分 設(shè)平面內(nèi)光滑曲線,與關(guān)于（或）軸對(duì)稱，函數(shù)在上連續(xù)，根據(jù)函數(shù)關(guān)于（或）的奇偶性求積分。 設(shè)平面內(nèi)光滑曲線,與關(guān)于軸對(duì)稱且方向相反，函數(shù)在上連續(xù)，那么： （）若是關(guān)于的偶函數(shù)，則（）若是關(guān)于的奇函數(shù)，則, 設(shè)是平面上關(guān)于直線對(duì)稱的一條曲線弧的問題。3）利用第二類曲線積分的對(duì)稱性求積分 主要討論投影元素的正負(fù)，考察在對(duì)稱點(diǎn)上的符號(hào)。 積分曲線T關(guān)于,具輪換對(duì)稱性問題。 設(shè)是平面上關(guān)于對(duì)稱的一條光滑曲線弧，任意,有，討論，在軸（y軸）投影方向求積分的問題。 對(duì)稱性在二重積分的計(jì)算中的應(yīng)用1）利用二重積分的對(duì)稱性定理求積分 對(duì)于函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)的問題，考慮是關(guān)于（或）的奇函數(shù)或偶函數(shù)。 討論有界閉區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸均對(duì)稱，函數(shù)在D上連續(xù)且關(guān)和均為偶函數(shù)的問題。 對(duì)于有界閉區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)在上連續(xù)的問題，判斷函數(shù)的奇偶性。2） 利用第一類曲面積分的對(duì)稱性定理求積分若積分曲面可以分成對(duì)稱的兩部分，在對(duì)稱點(diǎn)上被積函數(shù)的絕對(duì)值相等即光滑曲面關(guān)于(或,或)坐標(biāo)面對(duì)稱?？紤]關(guān)于 (或,或)為奇函數(shù)還是偶函數(shù)。3） 利用第二類曲面積分的對(duì)稱性定理求積分利用對(duì)稱性計(jì)算第二類曲面積分同樣需要注意投影元素的符號(hào)，我以曲面積分為例來討論，當(dāng)曲面指定側(cè)上動(dòng)點(diǎn)的法線方向與軸正向成銳角時(shí)，面積元素在面上的投影為正；當(dāng)曲面指定側(cè)上動(dòng)點(diǎn)的法線方向與軸正向成鈍角時(shí)，面積元素在面上的投影為負(fù)。在利用對(duì)稱性時(shí)，我們必須考慮積分路線的方向和曲面的側(cè)，確定投影元素的符號(hào)。 對(duì)稱性在三重積分的計(jì)算中的應(yīng)用利用對(duì)稱性求三重積分時(shí)，要注意（1）積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性，（2）被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)的奇偶性。一般地，當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于平面對(duì)稱，且被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，則三重積分為零；若被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，則三重積分為在平面上的半個(gè)閉區(qū)域的三重積分的兩倍。1、 2、自己的見解積分計(jì)算中對(duì)稱性的應(yīng)用問題給我們的學(xué)習(xí)和計(jì)算積分帶來很大的方便。在學(xué)習(xí)中從大一開始就接觸數(shù)學(xué)分析，接觸積分的計(jì)算，它是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，考試中占有很大的比重，也是貫穿于整個(gè)大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。運(yùn)用對(duì)稱性求積分是簡便計(jì)算的一種常用方法，在做積分的計(jì)算習(xí)題時(shí)，用常規(guī)的方法解決十分困難，.若能注意并充分利用積分區(qū)域的對(duì)稱性、被積函數(shù)的奇偶性以及積分變量的輪換對(duì)稱性探求積分計(jì)算的簡化途徑，利用其結(jié)果計(jì)算，可以簡化計(jì)算過程，提高解題效率，對(duì)于有些原本并不具有對(duì)稱性的問題，我們要善于根據(jù)問題的特點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱性，從而達(dá)到簡化問題的目的。研究的主要內(nèi)容：研究的內(nèi)容主要為：對(duì)稱性在積分計(jì)算的應(yīng)用中的一些定理和對(duì)稱性在積分計(jì)算的應(yīng)用中的一些例題。一、對(duì)稱性在一重積分的計(jì)算中的定理及應(yīng)用1、函數(shù)的奇偶性求定積分2、第一類曲線積分的對(duì)稱性定理求積分（一）函數(shù)的奇偶性求定積分1、函數(shù)的奇偶性求定積分的相關(guān)定理2、舉例應(yīng)用（二）第一類曲線積分的對(duì)稱性求積分1、第一類曲線積分的對(duì)稱性求積分的相關(guān)定理2、舉例應(yīng)用（三）第二類曲線積分的對(duì)稱性求積分1、第二類曲線積分的對(duì)稱性求積分的相關(guān)定理 2、舉例應(yīng)用二、對(duì)稱性在二重積分的計(jì)算中的定理及應(yīng)用（一）二重積分的對(duì)稱性定理求積分1、二重積分的對(duì)稱性求積分的相關(guān)定理2、舉例應(yīng)用（二）第一類曲面積分的對(duì)稱性定理求積分1、第一類曲面積分的對(duì)稱性定理2、舉例應(yīng)用（三）第二類曲面積分的對(duì)稱性定理求積分1、第二類曲面積分的對(duì)稱性定理2、舉例應(yīng)用三、對(duì)稱性在三重積分的計(jì)算中的定理及應(yīng)用 1、對(duì)稱性在三重積分的計(jì)算中的相關(guān)定理 2、舉例應(yīng)用 參考文獻(xiàn)：1 殷錫鳴等.高等數(shù)學(xué)（下）M. 上海：華東理工大學(xué)出版社.2005.304-331.2 吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解（六）M.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社.2002.105-144.3 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.（下）M.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社.2003.306-321.4 劉玉鏈，付沛東.數(shù)學(xué)分析講義（下）M.北京：高等數(shù)學(xué)教育出版社，1996.5 林源渠.高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)語與典型例題題分析M.機(jī)械工業(yè)出版社，2002.6 伍勝健.數(shù)學(xué)分析（第一冊(cè)）M.北京：北京大學(xué)出版社.2009.8.7 伍勝健.數(shù)學(xué)分析（第二冊(cè)）M.北京：北京大學(xué)出版社.2010.2.8 伍勝健.數(shù)學(xué)分析（第三冊(cè)）M.北京：北京大學(xué)出版社.2010.8.主要研究方法：1.調(diào)查法：通過圖書館和互聯(lián)網(wǎng)查找論文信息。2.文獻(xiàn)研究法：通過查閱文獻(xiàn)和書籍，認(rèn)真研讀論文設(shè)計(jì)中將會(huì)用到的理論和方法，了解本選題的發(fā)展趨勢，了解積分計(jì)算中對(duì)稱性的應(yīng)用問題的方法。3.描述性研究法：將已有的解法、理論通過自己的理解和驗(yàn)證，敘述并解釋出來。4.思維方法：對(duì)積分計(jì)算中對(duì)稱性的應(yīng)用問題的求解方法進(jìn)行歸納演繹、類比推理、抽象概括、思辯想象、分析各種解法及舉例說明。研究進(jìn)度計(jì)劃：2013年5月28日-2013年6月24日 確定畢業(yè)論文題目2013年6月25日-2013年7月5日 在教師的指導(dǎo)下完成開題報(bào)告2013年8月21日-2013年8月25日 將畢業(yè)論文開題報(bào)告終稿交指導(dǎo)老師審核2013年9月2日-2013年9月3日 論文開題報(bào)告答辯2013年9月4日-2013年10月9日 論文初稿的撰寫和修改2013年11月7日-2013年11月11日 論文終稿審核2013年11月12號(hào)-201