高考數(shù)學一輪復習 9.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理精品課件 理 新人教A版.ppt

9 1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 1 分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案 在第1類方案中有m種不同的方法 在第2類方案中有n種不同的方法 那么完成這件事共有n 種不同的方法 2 分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟 做第1步有m種不同的方法 做第2步有n種不同的方法 那么完成這件事共有n 種不同的方法 m n mn 考點分析 在所有的兩位數(shù)中 個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個 分析 該問題與計數(shù)有關 可考慮選用兩個基本原理來計算 完成這件事 只要兩位數(shù)的個位 十位確定了 這件事就算完成了 因此可考慮安排十位上的數(shù)字情況進行分類 考點一分類加法計數(shù)原理 題型分析 解析 方法一 按十位數(shù)上的數(shù)字分別是1 2 3 4 5 6 7 8的情況分成8類 在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個 7個 6個 5個 4個 3個 2個 1個 由分類加法計數(shù)原理知 符合題意的兩位數(shù)的個數(shù)共有 8 7 6 5 4 3 2 1 36 個 方法二 按個位數(shù)字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8類 在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個 2個 3個 4個 5個 6個 7個 8個 所以按分類加法計數(shù)原理共有 1 2 3 4 5 6 7 8 36 個 評析 分類加法計數(shù)原理是對涉及完成某一件事的不同方法種數(shù)的計數(shù)方法 每一類的各種方法都是相互獨立的 每一類中的每一種方法都可以獨立完成這件事 解決這類問題應從簡單入手分類討論 要做到不重不漏 盡量做到一題多解 從不同角度考慮問題 高三 一班有學生50人 男30人 女20人 高三 二班有學生60人 男30人 女30人 高三 三班有學生55人 男35人 女20人 1 從高三 一班或二班或三班選一名學生任學生會主席 有多少種不同的選法 2 從高三 一班 二班的男生中或從高三 三班的女生中選一名學生任學生會體育部長 有多少種不同的選法 對應演練 1 分三類 學生會主席產生在高三 一班有50種不同方法 學生會主席產生在高三 二班有60種不同方法 學生會主席產生在高三 三班有55種不同方法 由分類加法計數(shù)原理得50 60 55 165 種 即所求不同選法有165種 2 類似 1 得30 30 20 80 種 即所求不同選法有80種 現(xiàn)要排一份5天的值班表 每天有一個人值班 共有5個人 每個人都可以值多天班或不值班 但相鄰兩天不準由同一個人值班 問此值班表共有多少種不同的排法 分析 該問題是計數(shù)問題 完成的一件事是排值日表 因而需一天一天地排 用分步乘法計數(shù)原理 分步進行 考點二分步乘法計數(shù)原理 解析 先排第一天 可排5人中的任一人 有5種排法 再排第二天 此時不能排第一天已排的人 有4種排法 再排第三天 此時不能排第二天已排的人 仍有4種排法 同理 第四 五兩天均各有4種排法 由分步乘法計數(shù)原理可得值班表共有不同排法數(shù)為5 4 4 4 4 1280 種 答 共有1280種排法 評析 使用分步乘法計數(shù)原理做題時 必須是各步全部完成事情才算完成 注意缺步問題 將 a1 a2 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 展開后的項數(shù)是 a 9b 11c 12d 24 d 這里要完成一件事是 計算乘積 a1 a2 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 展開后的項數(shù) 由于展開后的每一項需從三個括號各取一個因數(shù)相乘 完成這件事需要分成三個步驟 第一步從第一個括號取出一個數(shù)有2種不同取法 第二步從第二個括號取出一個數(shù)有3種不同取法 第三步從第三個括號取出一個數(shù)有4種不同取法 由分步乘法計數(shù)原理可知 展開式中共有n 2 3 4 24項 故應選d 對應演練 d 將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色 并使同一條棱上的兩端點異色 如果只有5種顏色可供使用 求不同的染色方法總數(shù) 分析 可分兩大步進行 先將四棱錐一側面的三頂點染色 然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù) 用乘法原理即可得出結論 考點三計數(shù)原理的綜合應用 解析 如圖所示 由題設 四棱錐s abcd的頂點s a b所染顏色互不相同 它們共有5 4 3 60 種 染色方法 當s a b已染好時 不妨設其顏色分別為1 2 3 若c染顏色4 則d可染顏色3或5 有2種染法 若c染顏色5 則d可染顏色3或4 也有2種染法 若c染顏色2 則d可染顏色3或4或5 有3種染法 可見 當s a b已染好時 c與d還有7種染法 根據(jù)乘法原理 可以有60 7 420種染法 評析 運用兩個原理解答時是先分類后分步 還是先分步后分類應視具體問題而定 另外為了問題的簡化和表達的方便 數(shù)學中經(jīng)常將具有實際意義的事物符號化 數(shù)字化 廣雅中學2011 2012學年度上學期期中考 用n種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色 如圖所示 要求在a b c d四個區(qū)域中相鄰 有公共邊的 區(qū)域不用同一種顏色 1 若n 6 為 著色時共有多少種不同的方法 2 若為 著色時共有120種不同的方法 求n 對應演練 1 為a著色有6種方法 為b著色有5種方法 為c著色有4種方法 為d著色也有4種方法 所以 共有著色方法6 5 4 4 480 種 2 與 1 的區(qū)別在于與d相鄰的區(qū)域由兩塊變成了三塊 同理 不同的著色方法數(shù)是n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3 120 又120 480 可分別將n 4 5代入得n 5時上式成立 1 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的本質區(qū)別在于分類和分步 分類用分類計數(shù)