構造法在角平分線中的應用.doc

構造法在角平分線中的應用角的平分線在幾何當中有著重要的作用，因此，當題目中有角的平分線時，可以進行如下構造，從而使問題得到解答。一、過角平分線上一點作兩邊的垂線段構造全等三角形例1 如圖1，ABCD，E為AD上一點，且BE、CE分別平分ABC、BCD求證：AE=ED分析：由于角平分線上一點到角的兩邊的距離相等，而點E是兩條角平分線的交點，因此，我們聯(lián)想到過點E分別作AB、BC、CD的垂線段AGCHDEF圖1B證明：過點E作EFAB，交BA的延長線于點F，作EGBC，垂足為G，作EHCD，垂足為HBE平分ABC，EFAB，EGBC，EF=EG同理EG =EHEF=EHABCD，FAE=DEFAB，EHCD，AFE=DHE=90 在AFE和DHE中，AFE=DHE，EF=EH，FAE=D AFEDHEAE=ED二、以角的平分線為對稱軸構造對稱圖形例2 如圖2，在ABC中，AD平分BAC，C=2B求證：AB=AC+CD分析：由于角平分線所在的直線是這個角的對稱軸，因此在AB上截取AE=AC，連結DE，我們就能構造出一對全等三角形，從而將線段AB分成AE和BE兩段，只需證明BE=CD就可以了證明：在AB上截取AE=AC，連結DEBACDE圖2AD平分BAC，EAD=CAD 在EAD和CAD中，EAD=CAD，AD=AD，AE=AC，EADCADAED=C，CD=DEC=2B，AED=2BAED=B+EBD，B=EDBBE=EDBE=CDAB=AE+BE，AB=AC+CD三、延長角平分線的垂線段，使角平分線成為垂直平分線例3 如圖3，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求證：ACE=B+ECDABDCEF圖3分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延長CE交AB于點F，即可構造全等三角形證明：延長CE交AB于點FAD平分BAC，FAE=CAECEAD，FEA=CEA=90在FEA和CEA中，FAE=CAE，AE=AE，FEA=CEAFEACEAACE=AFEAFE=B+ECD，ACE=B+ECDABDEC圖4四、利用角的平分線構造等腰三角形如圖4，在ABC中，AD平分BAC，過點D作DEAB，DE交AC于點E易證AED是等腰三角形因此，我們可以過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構造等腰三角形 例4 如圖5，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于點E求證：CD=BE分析：要證CD=BE，可將BE分成兩條線段，然后再證明CD與這兩條線段都相等ABCDFE12345圖5證明：過點D作DFAB交BC于點FBD平分ABC，1=2DFAB，1=3，4=ABC 2=3，DF=BFDEBD，2+DEF=