高考數(shù)學(xué) 第四章 第一節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算課件 文 北師大版.ppt

第四章平面向量 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算 1 向量的有關(guān)概念 1 定義 既有 又有 的量統(tǒng)稱為向量 2 表示方法 用 來(lái)表示 有向線段的長(zhǎng)度表示向量的 用箭頭所指的方向表示向量的 用黑體小寫字母如a b 來(lái)表示 3 模 向量的 叫作向量的模 記作 a b 或 大小 方向 有向線段 大小 方向 長(zhǎng)度 2 特殊向量 0 任意的 單位1 平行 重合 任一向量 相同 相反 3 向量的加法與減法 三角形 平行四邊形 b a a b c 三角形 4 向量的數(shù)乘與向量共線的判定定理和性質(zhì)定理 1 向量的數(shù)乘 一般地 實(shí)數(shù) 與向量a的積 a是一個(gè)向量 其 長(zhǎng)度 a 方向 當(dāng) 0時(shí) a的方向與a的方向 當(dāng) 0時(shí) a的方向與a的方向 當(dāng) 0時(shí) a 其方向是任意的 a 相同 相反 0 2 向量數(shù)乘的運(yùn)算律 設(shè) 為實(shí)數(shù) 則 a a a b a a a a b 3 向量共線的判定定理和性質(zhì)定理 向量共線的判定定理 a是一個(gè)非零向量 若存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使得 則向量b與非零向量a共線 即 a 0 r a b 向量共線的性質(zhì)定理 若向量b與非零向量a共線 則存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使得 即a b a 0 b a b a b a b a r 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 向量與有向線段是一樣的 因此可以用有向線段來(lái)表示向量 2 兩向量不能比較大小 3 若向量a b共線 則向量a b的方向相同或相反 4 a b 與a b的方向無(wú)關(guān) 5 6 共線向量定理b a中 當(dāng)a 0時(shí) 則實(shí)數(shù) 不唯一 解析 1 錯(cuò)誤 向量是可以自由平移的 而有向線段是有端點(diǎn)的 端點(diǎn)不同 則有向線段不同 故向量與有向線段不同 但向量可用有向線段來(lái)表示 故不正確 2 正確 由于向量是具有大小和方向的量 因此無(wú)法比較大小 故正確 3 錯(cuò)誤 當(dāng)a b中有一個(gè)為0時(shí) 其方向是不確定的 故不正確 4 正確 a b 時(shí) 說(shuō)明a b的模相等 與方向無(wú)關(guān) 故正確 5 正確 首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量 故正確 6 錯(cuò)誤 當(dāng)a 0且b 0時(shí) 則實(shí)數(shù) 可為任意實(shí)數(shù) 故不唯一 當(dāng)a 0且b 0時(shí) 不存在 故不正確 答案 1 2 3 4 5 6 1 d是 abc的邊ab上的中點(diǎn) 則向量等于 a b c d 解析 選a 如圖 2 判斷下列四個(gè)命題 若a b 則a b 若 a b 則a b 若 a b 則a b 若a b 則 a b 其中正確的個(gè)數(shù)是 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 選a 中兩向量共線 但這兩向量的方向 模均不一定相同 故不一定相等 中兩向量的模相等 但方向不一定相同 故這兩向量不一定相等 中兩向量的模相等 但兩向量不一定共線 中兩向量相等 則模一定相等 故正確 3 若o e f是不共線的任意三點(diǎn) 則以下各式中成立的是 解析 選b 4 如圖 正六邊形abcdef中 a 0 b c d 解析 選d 5 設(shè)a b是兩個(gè)不共線的向量 且向量a b與2a b共線 則 解析 由題意知a b k 2a b 則有答案 考向1平面向量的有關(guān)概念 典例1 1 下列命題中 時(shí)間 速度 加速度都是向量 向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù) 所有的單位向量都相等 共線向量一定在同一直線上 其中真命題的個(gè)數(shù)是 a 0 b 1 c 2 d 3 2 下列結(jié)論中 不正確的是 a 向量共線與向量意義相同 b 向量則向量 c 若a b b c 則a c d 若向量a b滿足 a b 則向量a與b的方向相同 3 給出下列命題 兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量 一定是共線向量 若a與b同向 且 a b 則a b 為實(shí)數(shù) 若 a b 則a與b共線 其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為 思路點(diǎn)撥 1 根據(jù)向量及其有關(guān)概念分析解題即可 2 根據(jù)向量共線 相等的定義逐一分析即可 3 根據(jù)共線向量的概念逐一分析判斷可得結(jié)論 規(guī)范解答 1 選a 中時(shí)間不是向量 不正確 中向量的?？梢詾? 故不正確 中單位向量的模相等 但方向不一定相同 故不正確 中共線向量所在的直線可能平行 故不正確 綜上選a 2 選d 向量的共線與向量的平行是同義的 故a正確 根據(jù)相反向量的概念可得b正確 由向量相等的概念可知c正確 當(dāng)兩向量的模相等時(shí) 方向不一定相同 故d不正確 3 不正確 雖然終點(diǎn)相同 但兩個(gè)向量也可能不共線 如圖 a b不共線 不正確 向量不能比較大小 不正確 當(dāng) 0時(shí) a與b可為任意向量 不一定共線 綜上 都不正確 答案 拓展提升 平面向量中常用的幾個(gè)結(jié)論 1 相等向量具有傳遞性 非零向量的平行也具有傳遞性 2 向量可以平移 平移后的向量與原向量是相等向量 3 a是非零向量 則是a方向上的單位向量 變式訓(xùn)練 1 設(shè)a是任一向量 e是單位向量 且a e 則下列表示形式中正確的是 a b a a e c a a e d a a e 解析 選d 對(duì)于a 當(dāng)a 0時(shí) 沒(méi)有意義 錯(cuò)誤 對(duì)于b c d當(dāng)a 0時(shí) 選項(xiàng)b c d都對(duì) 當(dāng)a 0時(shí) 由a e可知 a與e同向或反向 選d 2 給出下列命題 若a b c d是不共線的四點(diǎn) 則是四邊形abcd為平行四邊形的充要條件 0 a 0 a b的充要條件是 a b 且a b 若a與b均為非零向量 則 a b 與 a b 一定相等 其中正確命題的序號(hào)是 解析 正確 數(shù)與向量的積為向量 而不是數(shù) 故不正確 當(dāng)a b時(shí) a b 且a b 反之不成立 故錯(cuò)誤 當(dāng)a b不同向時(shí)不成立 故錯(cuò)誤 答案 考向2平面向量的線性運(yùn)算 典例2 1 如圖 d e f分別是 abc的邊ab bc ca的中點(diǎn) 則 2 已知p a b c是平面內(nèi)四點(diǎn) 且那么一定有 3 已知 任意四邊形abcd中 e f分別是ad bc的中點(diǎn) 求證 思路點(diǎn)撥 1 利用平面向量的線性運(yùn)算并結(jié)合圖形求解 2 將向量ac分解為以點(diǎn)p為起點(diǎn)的兩向量的差 然后化簡(jiǎn)即可 3 結(jié)合圖形 利用向量加法的法則可證得結(jié)論 規(guī)范解答 1 選a 即 2 選d 由題意得即 3 如圖所示 e f分別是ad與bc的中點(diǎn) 又 同理 由 得 拓展提升 1 向量線性運(yùn)算的幾個(gè)關(guān)系 1 當(dāng)向量a b不共線時(shí) a b的方向與a b的方向都不相同 且滿足 a b b 則a b與a同向 且 a b a b 若 a b 則a b與b同向 且 a b b a 若 a b 則a b與a b 同向 且 a b 0 2 兩個(gè)結(jié)論 1 若p為線段ab中點(diǎn) 則 2 向量加法的多邊形法則 提醒 向量加法的平行四邊形法則與三角形法則在本質(zhì)上是一致的 但當(dāng)兩個(gè)向量共線 平行 時(shí) 平行四邊形法則就不適用了 變式訓(xùn)練 1 在 abc中 若點(diǎn)d滿足則 a b c d 解析 選a 2 若a b c d是平面內(nèi)任意四點(diǎn) 給出下列式子 其中正確式子的序號(hào)為 解析 由得 從而即故不正確 由得 即故正確 由得即故正確 綜上可得 正確 答案 考向3共線向量定理及其應(yīng)用 典例3 1 已知向量a b c中任意兩個(gè)都不共線 并且a b與c共線 b c與a共線 那么a b c等于 a a b b c c d 0 2 2013 西安模擬 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線 若求證 a b d三點(diǎn)共線 試確定實(shí)數(shù)k 使ka b和a kb共線 思路點(diǎn)撥 1 根據(jù)向量共線的充要條件得到向量的關(guān)系式 比較系數(shù)可得結(jié)論 2 先證明共線 再說(shuō)明它們有一個(gè)公共點(diǎn) 從而得證 利用共線向量定理列出方程組求k 規(guī)范解答 1 選d a b與c共線 a b 1c 又 b c與a共線 b c 2a 由 得 b 1c a b c 1 1 c a 2a 即 a b c c c 0 2 共線 又與有公共點(diǎn)b a b d三點(diǎn)共線 ka b與a kb共線 存在實(shí)數(shù) 使ka b a kb k 1 互動(dòng)探究 本例 2 條件不變 結(jié)論若改為 若向量ka b和向量a kb共線且反向 則k的值如何 解析 ka b與a kb共線反向 存在實(shí)數(shù) 使ka b a kb 0 k 1 又 0 k 1 故當(dāng)k 1時(shí)兩向量共線反向 拓展提升 三點(diǎn)共線的表示a p b三點(diǎn)共線 o為平面內(nèi)任一點(diǎn) t r o為平面內(nèi)任一點(diǎn) x r y r x y 1 變式備選 已知點(diǎn)g是 abo的重心 m是ab邊的中點(diǎn) 1 求 2 若pq過(guò) abo的重心g 且求證 解析 1 又 2 顯然因?yàn)間是 abo的重心 所以由p g q三點(diǎn)共線 得所以 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) 使而 所以又因?yàn)閍 b不共線 所以消去 整理得3mn m n 故 易錯(cuò)誤區(qū) 忽視題目中的條件致誤 典例 2013 鄭州模擬 已知向量a b不共線 且c a b d a 2 1 b 若c與d同向 則實(shí)數(shù) 的值為 誤區(qū)警示 解答本題時(shí) 由于對(duì)兩個(gè)向量共線 同向 反向等概念理解不清 混淆它們之間的關(guān)系 導(dǎo)致錯(cuò)解 規(guī)范解答 由于c與d同向 所以c kd k 0 于是 a b k a 2 1 b 整理得 a b ka 2 k k b 由于a b不共線 所以有整理得2 2 1 0 所以 1或又因?yàn)閗 0 所以 0 故 1 答案 1 思考點(diǎn)評(píng) 1 準(zhǔn)確理解向量共線的概念兩個(gè)向量共線 是指兩個(gè)向量的方向相同或相反 也稱平行向量 因此共線包含兩種情況 同向共線和反向共線 2 共線定理的理解 1 若a b 那么a與b共線 2 若a b 則當(dāng) 0時(shí) a與b同向 當(dāng) 0時(shí) a與b反向 1 2013 安康模擬 已知o a b是平面上的三個(gè)點(diǎn) 直線ab上有一點(diǎn)c 滿足則等于 a b c d 解析 選a 2 2013 蚌埠模擬 o是平面上一定點(diǎn) a b c是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn)p滿足 0 則點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò) abc的 a 重心 b 垂心 c 內(nèi)心 d 外心 解析 選a 由題意得 令則ad與bc互相平分 則即p點(diǎn)在直線ad上 而ad在bc邊的中線上 所以p點(diǎn)的軌跡必經(jīng)過(guò) abc的重心 3 2013 寶雞模擬 已知向量a b不共線 c ka b k r d a b 如果c d 那么 a k 1且c與d同向 b k 1且c與d反向 c k 1且c與d同向 d k 1且c與d反向 解析 選d 由c d得c d 即ka b a b k 1 向量c與d共線反向 4 2013 大連模擬 設(shè)a b都是非零向量 則下列四個(gè)條件 a b a b a 2b a b 其中可作為使成立的充分條件的有 a 0個(gè) b 1個(gè) c 2個(gè) d 3個(gè) 解析 選b 對(duì)于 當(dāng)a b時(shí) 與方向顯然不同 故不成立 對(duì)于 當(dāng)a b時(shí) a b不一定同向 故等式不一定成立 對(duì)于 當(dāng)a 2b時(shí) 等式成立 對(duì)于 與的方向不一定相同 故等式不一定成立 綜上只有 可作為充分條件 5 2013 九江模擬 給出下列命題 向量長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等 兩個(gè)有共同起點(diǎn)且長(zhǎng)度相等的向量 其終點(diǎn)必相同 兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量 一定是共線向量 向量則a b c d必在一條直線上 其中真命題的序號(hào)為 寫出所有真命題的序號(hào) 解析 真命題 假命題 起點(diǎn)相同長(zhǎng)度相等的兩向量方向不一定相同 故不正確 假命題 向量的終點(diǎn)相同并不能說(shuō)明向量的方向相同或相反 假命題 時(shí) 直線ab cd可能平行也可能重合 綜上可得 命題 為真命題 答案 1 設(shè)a b為不共線的非零向量 那么 a 與同向 且 b 與同向 且 c 與反向 且 d 解析 選a 又 與同向 且 2 已知o是三角形abc的重心 動(dòng)點(diǎn)p滿足則點(diǎn)p一定為三角形abc的 a ab邊中線的中點(diǎn) b ab邊中線的三等分點(diǎn) 非重心 c 重心 d ab邊的中點(diǎn) 解析 選b 取ab的中點(diǎn)d 則故故點(diǎn)p為中線cd的三等分點(diǎn) 非重心 3 對(duì)于非零向量m n 定義運(yùn)算 m n m n sin 其中 為m n的夾角 有兩兩不共線的三個(gè)向量a b c 若a b a c 則b c a b b a 若a b 0 則a b a b c a c b c a b a b 其中正確的個(gè)數(shù)有