有趣的 “黃金分割”.doc

有趣的 “黃金分割”江蘇 唐耀庭ABCD圖（1）我們已經(jīng)知道，如果線段AB被點C分成線段AC和BC，且，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比。通過計算可知黃金比為。下面我們在從數(shù)學(xué)的角度看一看“黃金分割”的幾個有趣的結(jié)論 （1）對稱性：我們可以得出，如果線段AB上另有一點D，滿足BD=BAAD，那么D點也是AB的黃金分點，因此，一條線段的黃金分割點應(yīng)該有兩個：其中一個靠近這個端點，而另一個靠近另一個端點 （2）有趣的數(shù)量關(guān)系設(shè)C、D為線段AB的黃金分割點，AB長為a（如圖1），則不難由定義證明（設(shè)C點靠近B點）： ；BC=AD=；CD=；僅以上面二式為例加以證明：BC=AD= （3）有趣的比例關(guān)系式如前面的圖（1）所示，有0.618 再由定義可以知道，點C不僅是AB的黃金分割點，還是BD的黃金分割點，同樣，點D不僅是AB的黃金分割點，也是AC的黃金分割點。將上式分子、分母顛倒后又得到：0.618由此，又可以得到一個有趣的結(jié)論：0.618與1.618可近似地看成倒數(shù)關(guān)系，也就是說，方程x(1+x)=1的正的近似解約是0.618，而方程x（x1）=1的正的近似解約是1.618（4） “黃金角度”生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)植物種類繁多、葉子形態(tài)各異，但是葉子在莖上的排列卻有著特殊的規(guī)律.我們從某種植物的頂端往下看，便會發(fā)現(xiàn)上下層相鄰的兩片葉子之間所構(gòu)成的角約為137.50,如果每層葉子只畫一片來表示，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度約為137.50,以后二層到三層、三層到四層、四層到五層兩葉之間都成這個角度，這個角度對葉子的通風(fēng)和采光最為有利.這葉子之間的137.50角與黃金數(shù)又有什么聯(lián)系呢？我們知道，一周為3600，137.50： =137.50：222.500.618.也就是說，各種植物葉子的生長規(guī)律中自然隱藏著黃金數(shù).（5）黃金三角形頂角為36的等腰三角形叫黃金三角形其底與腰之比為黃金數(shù)，底角平分線與腰的交點為腰的黃金分割點如圖（2），ABC中，A=36，AB=AC，ACB的平分線CD交腰AB于D，則BC=DC=AD，且ABCCBD，.即AD=BDAB，AD=BC=AB再作B的平分線交CD于，作BDC的平分線交于，得到、，均為黃金三角形，如此下去則可得到一系列的黃金三角形DABCDD圖（2）ABDEPNMRCQ圖（3）感興趣的同學(xué)，利用上述結(jié)論解決下列問題：找出五角星中所有的黃金分割點和黃金三角形（如圖3）（有五個黃金分割點P、Q、R、M、N和個黃金三角形）可以巧用“黃金比” 妙畫五角星若上圖的第一個黃金三角形的腰，底邊與腰之比為,第二個黃金三角形為，依次類推，第2008 個黃金三角形的周長為多少？(,的周長為；的周長為；的周長為；依次類推，第2008 個黃金三角形的周長為對于頂角為108等腰三角形又可稱之為“亞黃金三角形”,它在分割出黃金三角形后也能無數(shù)次的分割得到新的等腰三角形。（6）黃金矩形一個矩形如果兩邊之比具有黃金比值，則稱這種矩形為黃金矩形它是由一個正方形和另一個小黃金矩形組成。事實上，如圖（4），如果設(shè)大黃金矩形的兩邊為a、b，則=，分出一個正方形后，所余小矩形的兩邊分別為（ba）和a，它們的比為（ba）：a圖（4）baba=1=這表明小的矩形也是黃金矩形。上述黃金矩形的性質(zhì)說明:黃金矩形中，以短邊為一邊作正方形后得到的另一矩形，都是黃金矩形或以短邊為一邊作正方形后得到的另一矩形，都是相似矩形，相似比為可以把一個黃金矩形分解為無限個正方形之和，圖（4）也表明了分解過程（7） “黃金分割線”類似“黃金分割”得定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線問題1：在中，若點為邊上的黃金分割點（如圖5），則直線是的黃金分割線 過點任作一條直線交于點，再過點作直線，交于點，連接（如圖6），則直線也是的黃金分割線ADB圖5CADB圖6CFE分析過程：直線是的黃金分割線理由如下：設(shè)的邊上的高為,直線是的黃金分割線 因為，所以和的公共邊上的高也相等，所以有 設(shè)直線與交于點所以所以，又因為，所以 因此，直線也是的黃金分割線 問題2：）如圖7，點E是ABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作EF/AD，交DC于點F，顯然直線EF是ABCD的黃金分割線請你畫一條ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過ABCD各邊黃金分割點分析過程：畫法不惟一，現(xiàn)提供兩種畫法；畫法一：如圖5，取EF的中點G，再過點G作一條直線分別交AB，DC于M，N點，則直線MN就是ABCD的黃金分割線畫法二：如圖6，在DF上取一點N，連接EN，再過點F作FM/NE交AB于點M，連接MN，則直線MN就是ABCD的黃金分割線EFCBDA圖7 圖8 圖9（8）“黃金分割面”類似“黃金分割”得定義：截面將一個體積為的圖形分成體積為、的兩個圖形，且，則稱直線為該圖形的黃金分割面如圖10，長方體ABCD-EFGH中，T是線段AB上的黃金分割點，那么經(jīng)過T點且平行于平面BCGF的截面QRST是長方體的黃金分割面BADC