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2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運算課堂探究探究一 軸上向量的坐標(biāo)運算首先利用數(shù)軸上點的坐標(biāo),計算出兩點所對應(yīng)向量的坐標(biāo),特別要注意向量坐標(biāo)運算公式的順序,還要注意模運算中可能會出現(xiàn)的兩種情形【例1】 已知數(shù)軸上四點a,b,c,d的坐標(biāo)分別是4,2,c,d(1)若ac5,求c的值;(2)若|bd|6,求d的值;(3)若3,求證:34分析:解答本題首先根據(jù)條件表示出兩點所對應(yīng)的向量的坐標(biāo),然后求解或證明解:(1)因為ac5,所以c(4)5所以c1(2)因為|bd|6,所以|d(2)|6,即d26或d26,所以d4或d8(3)證明:因為,而3,所(3)4所以312又44(3)12,故34探究二 平行向量基本定理的應(yīng)用證明三點共線可以利用向量共線來解決,注意選取的向量要有公共點,利用向量共線條件求參數(shù),主要是根據(jù)ab列出方程(組)、解方程(組)【例2】 (1)已知兩個非零向量e1,e2不共線,如果2e13e2,6e123e2,4e18e2求證:a,b,d三點共線(2)設(shè)e1,e2是兩個不共線向量,已知2e1ke2,設(shè)e13e2,2e1e2,若有a,b,d三點共線,求k值分析:(1)若a,b,d三點共線,只需證明(2)由列出方程組求k(1)證明:因為(2e13e2)(6e123e2)(4e18e2)12e118e26(2e13e2),又2e13e2,所以6所以與共線又因為ab,ad有公共點a,所以a,b,d三點共線(2)解:(2e1e2)(e13e2)e14e2,因為a,b,d共線,所以,共線,所以存在使所以2e1ke2(e14e2),所以所以k8點評 由以上解答可以看出,三點共線與向量共線是可以相互轉(zhuǎn)化的但是注意選取的兩個向量一定要有一個公共點探究三 利用平行向量基本定理證明幾何問題應(yīng)用向量共線定理證明直線平行或三點共線問題時,關(guān)鍵是把一個向量用有關(guān)向量線性表示出來,即確定向量等式ba(a0),再結(jié)合圖形完成證明【例3】 如圖所示,已知在梯形abcd中,abdc,e,f分別是ad,bc的中點,用向量法證明efab,ef (abdc)分析:首先結(jié)合圖形與所求證的問題,將幾何條件向向量條件轉(zhuǎn)化,再充分利用向量的線性運算與共線向量定理求證證明:延長ef到點m,使得fm=ef,連接cm,bm,ec,eb得ecmb,由平行四邊形法則得=因為abdc,所以,共線且同向,根據(jù)向量共線定理知,存在正實數(shù),使=由三角形法則得=+,=+,且+=0所以 () () (),所以,由于,沒有公共點,所以efdcab,又| (|),所以ef (abdc),所以結(jié)論得證探究四 易錯辨析易錯點:因忽視0與任何向量平行而致誤【例5】 已知e10,r,ae1e2,b2e1,若ab,則()a0 be20ce1e2 de1e2或0錯解:因為ab,所以e1e22ke1,所以(2k1)e1e2所以 e1e2故選c錯解分析:沒有考慮2k1可能為零而漏解正解:因為ab,b0,所以存在實數(shù)k,使得akb,即(2k1)e1e2因為e1
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