高中數(shù)學 探究導學課型 第一章 集合與函數(shù)的概念 1.2.2 函數(shù)的表示法 第2課時 分段函數(shù)及映射課件 新人教版必修1.ppt

第2課時分段函數(shù)及映射 自主預習 主題1 分段函數(shù)某市空調(diào)公共汽車的票價按下列規(guī)則制定 1 5千米以內(nèi) 含5千米 票價2元 2 5千米以上 每增加5千米 票價增加1元 不足5千米的按5千米計算 已知兩個相鄰的公共汽車站間相距1千米 沿途 包括起點站和終點站 有11個汽車站 請根據(jù)以上內(nèi)容 回答下面的問題 1 從起點站出發(fā) 公共汽車的行程x 千米 與票價y 元 間的函數(shù)關(guān)系是什么 提示 當0 x 5時 y 2 當5 x 10時 y 3 故y 2 這種函數(shù)關(guān)系的特征是什么 用文字語言描述 函數(shù)式是 呈現(xiàn)的 分段函數(shù)的定義 分段 在函數(shù)的定義域內(nèi) 對于自變量x的 不同取值范圍 函數(shù)有著不同的對應關(guān)系的函數(shù) 主題2 映射觀察下面的對應 它們有何共同特點 用文字語言描述 對于集合a中 一個元素 在集合b中都有 的元素與之對應 用符號語言描述 任何 唯一 f a b 映射的定義 設(shè)a b是兩個非空的集合 如果按某一 個確定的對應關(guān)系f 使對于集合a中的任意一個元素 x 在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應 那么就 稱對應f a b為從集合a到集合b的一個映射 深度思考 結(jié)合教材p22例7你認為怎樣判斷一個對應是否是映射 第一步 第二步 集合a中的每一元素 在集合b中是否都有元 素與之對應 集合a中任一元素在集合b中對應唯一元素 預習小測 1 下列對應是從集合a到集合b映射的是 a n b n f x x a n b n f y x 1 a b 1 f x x2 a 1 2 3 4 5 b 1 7 17 31 49 f y 2x2 1 a b c d 解析 選c a中元素0在集合b中無元素與之對應 故不是映射 a中元素1在b中無元素與之對應 故不是映射 符合定義 是映射 中x 1 2 3 4 5時 y分別是1 7 17 31 49 符合定義 是映射 2 已知f x y 是從集合a到集合b的映射 在集合b中與集合a中元素 1 2 對應的元素是 a 1 2 b c 2 1 d 解析 選b 因為集合a中的元素 x y 與集合b中的元素對應 故a中元素 1 2 與b中元素對應 3 已知f x 則f f 2 解析 因為2 1 所以f 2 4 3 1 1 所以f f 2 f 1 1 1 2 答案 2 4 函數(shù)f x 的定義域為 解析 分段函數(shù)的定義域為各段定義域的并集 即定義域為 0 1 1 2 2 0 答案 0 5 已知a 1 2 3 9 b r 從集合a到集合b的映射f x 1 與a中元素1相對應的b中的元素是 2 與b中元素相對應的a中的元素是 解析 1 因為x 1 所以相對應b中的元素為 2 由得x 4 答案 1 2 4 6 已知f x 且f a 4 求a的值 解析 當a 0時 由2 a 4 得a 2 當a 0時 由a 1 4 得a 3 所以a 2或3 互動探究 1 分段函數(shù)的定義域 值域與每段的定義域 值域有何關(guān)系 提示 分段函數(shù)的定義域是每段定義域的并集 分段函數(shù)的值域是每段值域的并集 2 從集合a到集合b的映射f a b與從集合b到集合a的映射f b a是不是相同映射 提示 映射f a b與映射f b a不是相同映射 3 映射一定是函數(shù)嗎 函數(shù)一定是映射嗎 提示 當集合a b為非空數(shù)集時 映射就是函數(shù) 否則不是 但函數(shù)都是映射 探究總結(jié) 知識歸納 方法總結(jié) 映射的判斷方法 1 在a中取元素的任意性 2 在b中對應元素的唯一性 注意事項 1 分段函數(shù)是一個函數(shù) 而不是幾個函數(shù) 2 作分段函數(shù)圖象時要注意銜接點的虛實 題型探究 類型一 分段函數(shù)的求值 典例1 2016 吉林高一檢測 函數(shù)f x 則的值為 解題指南 先求 再求 解析 f 3 32 3 3 3 所以所以答案 延伸探究 1 改變問法 本例條件不變 求f a 的值 解析 當a 1時 f a 1 a2 當a 1時 f a a2 a 3 2 增加條件 本例若增加條件f a f 1 3 求a的值 解析 因為 11時 f a f 1 a2 a 3 3 即a2 a 6 0 所以a 3或a 2 舍 所以a 3 規(guī)律總結(jié) 1 求分段函數(shù)值的方法先確定要求值的自變量屬于哪一段 然后代入該段的解析式求值 直到求出值為止 特別地 當出現(xiàn)f f x0 的形式時 應從內(nèi)到外依次求值 2 已知函數(shù)值求字母的值的四個步驟 1 討論 對字母的取值范圍分類討論 2 代入 由不同取值范圍 代入對應的解析式中 3 求解 通過解方程求出字母的值 4 檢驗 檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi) 鞏固訓練 2016 廣州高一檢測 已知f x 則f 2 f 2 的值為 a 8b 5c 4d 2 解析 選b f 2 22 4 f 2 f 2 1 f 1 f 1 1 f 0 f 0 1 f 1 1 所以f 2 f 2 4 1 5 類型二 分段函數(shù)的圖象及應用問題 典例2 1 2016 周口高一檢測 下列圖象是函數(shù)y 的圖象的是 2 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況 在一般情況下 大橋上的車流速度v 單位 千米 小時 是車流密度x 單位 輛 千米 的函數(shù) 當橋上的車流密度達到200輛 千米時 造成堵塞 此時車流速度為0 當車流密度不超過20輛 千米時 車流速度為60千米 小時 研究表明 當20 x 200時 車流速度v是車流密度x的一次函數(shù) 當0 x 200時 求函數(shù)v x 的表達式 解題指南 1 根據(jù)當x 0時 y x2 為拋物線的一段 當x 0時 y x 1為射線判斷 2 分0 x 20和20 x 200兩種情況 分別求解析式 最后分段表示 解析 1 選c 當x 0時 y x2 為拋物線y x2在y軸左側(cè)的部分 當x 0時 y x 1 為射線且與y軸交于 0 1 2 由題意 當0 x 20時 v x 60 當20 x 200時 設(shè)v x ax b 故函數(shù)v x 的表達式為 規(guī)律總結(jié) 1 作分段函數(shù)圖象的方法作分段函數(shù)的圖象時 分別作出各段的圖象 在作每一段圖象時 先不考慮范圍的限制 作出其圖象 再保留對應范圍內(nèi)的一段圖象即可 作圖時要特別注意銜接點處點的虛實 保證不重不漏 2 利用分段函數(shù)求解實際應用題的策略 明確條件 將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言 建立恰當?shù)姆侄魏瘮?shù)模型解決問題 鞏固訓練 2015 松原高一檢測 水 這個曾經(jīng)被人認為取之不盡 用之不竭的資源 竟然到了嚴重制約我國經(jīng)濟發(fā)展 影響人民生活的程度 因為缺水 每年給我國工業(yè)造成的損失達2000億元 給我國農(nóng)業(yè)造成的損失達1500億元 嚴重缺水困擾著全國三分之二的城市 為了節(jié)約用水 某市打算出臺一項水費政策 規(guī)定每季度每人用水量不超過5噸時 每噸水費1 2元 若超過5噸而不超過6噸時 超過部分的水費按原價的200 收費 若超過6噸而不超過7噸時 超過部分的水費按原價的400 收費 如果某人本季度實際用水量為x x 7 噸 試計算本季度他應交的水費y 單位 元 解析 由題意知 當0 x 5時 y 1 2x 當5 x 6時 y 1 2 5 x 5 1 2 2 2 4x 6 當6 x 7時 y 1 2 5 6 5 1 2 2 x 6 1 2 4 4 8x 20 4 所以 y 類型三 映射的概念及應用 典例3 1 2016 重慶高一檢測 設(shè)集合a x 1 x 2 b y 1 y 4 則下述對應關(guān)系f中 不能構(gòu)成a到b的映射的是 a f x y x2b f x y 3x 2c f x y x 4d f x y 4 x2 2 2016 吉安高一檢測 已知集合a b r x a y b f x y ax b 若6和9在f作用下分別與4和10對應 則19在f作用下與對應 解題指南 1 根據(jù)映射的定義 判斷a中的每一個元素在對應關(guān)系f的作用下 在集合b中是否都有唯一的元素與之對應 2 根據(jù)6和9在f作用下與4和10對應 建立關(guān)于a b的方程組 求出y ax b的解析式 再將x 19代入可解y的值 解析 1 選d f x y x2 1 4 f x y 3x 2 1 4 f x y x 4 2 3 1 4 f x y 4 x2 0 3 2 由題意可得解得所以y 2x 8 當x 19時 y 30 答案 30 規(guī)律總結(jié) 判斷一個對應是不是映射的方法判斷一個對應是不是映射 看兩點 1 任意性 集合a中任一元素在b中都有元素與之對應 2 唯一性 對應應是多對一或一對一 鞏固訓練 2016 惠陽高一檢測 下列分別為集合a到集合b的對應 其中 是從a到b的映射的是 a 1 2 b 1 2 3 c 1 2 4 d 1 2 3 4 解析 選a 映射關(guān)系中可以是一對一的關(guān)系 可以是多對一的關(guān)系 不能是一對多的關(guān)系 因此 1 2 構(gòu)成映射關(guān)系 鞏固訓練 a b為實數(shù) 集合a b a 0 f x 2x表示把集合a中的元素x映射到集合b中為2x 求a b的值 解析 由題意 a中的元素1只能對應集合b中的a 故a 2 所以b 2 0 而a中的可能對應b中的2或0 當對應2時 1 此時a中有兩個相同元素 不合題意 當對應0時 應有 0 則b 0 此時a 0 1 符合題意 綜上 a 2 b 0 a b 2 拓展類型 映射與函數(shù)的關(guān)系 典例 判斷下列對應是不是從集合a到集合b的映射 是不是從集合a到集合b的函數(shù) 1 a n b n 對應關(guān)系f x x 3 2 a 平面內(nèi)的圓 b 平面內(nèi)的矩形 對應關(guān)系f 作圓的內(nèi)接矩形 3 a 高一 1 班的男生 b r 對應關(guān)系f 每個男生對應自己的身高 4 a x 0 x 2 b y 0 y 6 對應關(guān)系f x y x 解題指南 根據(jù)映射與函數(shù)的概念 對每一小題逐一判斷 解析 1 a中元素3在對應關(guān)系f的作用下為0 而0 b 故不是映射 也不是函數(shù) 2 因為一個圓有無數(shù)個內(nèi)接矩形 即集合a中任何一個元素在