如何設正交.doc

如何設計基本的正交實驗設計人們在長期的實踐中發(fā)現(xiàn)，要得到理想的結果，并不需要進行全面試驗，即使因素個數(shù)、水平都不太多，也不必做全面試驗尤其對那些試驗費用很高，或是具有破壞性的試驗，更不要做全面試驗我們應當在不影響試驗效果的前提下，盡可能地減少試驗次數(shù)。正交設計就是解決這個問題的有效方法。正交設計的主要工具是正交表，用正交表安排試驗是一種較好的方法，在實踐中已得到廣泛的應用。1 正交表及其用法 正交表是一種特制的表格這里先介紹表的記號、特點及用法下面以L。(3)為例來說明這個正交表的格式如表1表1 正交表L9(34) 列號 1 2 3 4試驗號1 1 1 1 12 1 2 2 23 1 3 3 34 2 1 2 35 2 2 3 16 2 3 1 27 3 1 3 28 3 2 1 39 3 3 2 1L9(34)是什么意思呢?字母L表示正交表；數(shù)字9表示這張表共有9行，說明用這張表來安排試驗要做9次試驗；數(shù)字4表示這張表共有4列，說明用這張表最多可安排4個因素；數(shù)字3表示在表中主體部分只出現(xiàn)1，2，3三個數(shù)字，它們分別代表因素的3個水平，說明各因素都是3個水平的一般的正交表記為Ln(mk)，n是表的行數(shù)，也就是要安排的試驗次數(shù)；k是表中列數(shù)，表示因素的個數(shù)；m是各因素的水平數(shù)。常見的正交表如下：（1）2水平正交表L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)等。這幾張表中的數(shù)字2表示各因素都是2水平的；試驗要做的次數(shù)分別為4，8，12，16；最多可安排的因素分別為3，7，11，15。（2）3水平的正交表L9(34)，L27(313)。這兩張表中的數(shù)字3表示各因素都是3水平的，要做的試驗次數(shù)分別為9，27；最多可安排的因素分別為4，13。（3）4水平的正交表L14(45)。（4）5水平的正交表L25(56)。 正交表有下面兩條重要性質： (1)每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9(34)，每列中不同的數(shù)字是1，2，3，它們各出現(xiàn)3次； (2)在任意兩列中，將同一行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對時，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9(34)，有序數(shù)對共有9個：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，它們各出現(xiàn)一次。 由于正交表有這兩條性質，用它來安排試驗時，各因素的各種水平的搭配是均衡的，這是正交表的優(yōu)點。 下面通過具體例子來說明如何用正交表進行試驗設計。 例1 某煉鐵廠為了提高鐵水溫度，需要通過試驗選擇最好的生產(chǎn)方案。經(jīng)初步分析，主要有3個因素影響鐵水溫度，它們是焦比、風壓和底焦高度，每個因素都考慮3個水平，具體情況如表2。問對這3個因素的3個水平如何安排，才能獲得最高的鐵水溫度?表2 實驗因素與水平 因素水平AB C焦比 風壓/133Pa底焦高度/m 1 2 31:16 170 1.21:18 230 1.51:14 200 1.3解: 正交表L9(34) 列號 A B C 試驗號1 1 1 1 2 1 2 2 3 1 3 3 4 2 1 2 5 2 2 3 6 2 3 1 7 3 1 3 8 3 2 1 9 3 3 2 這九個實驗代表了全部27個實驗。按照9個實驗方案進行實驗，結果見表3。表3 按實驗方案實驗結果 試驗編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9鐵水溫度/ 136513951385139013951380139013901410為了便于分析，將結果與正交表合編，以便利于計算。由于鐵水溫度數(shù)值較大，可把每一個鐵水溫度的值減去1350，得到9個較小的數(shù)，這樣使計算簡單（表4）。表4 因素試驗號A B C鐵水溫度/鐵水溫度值減去13501234567891 1 11 2 21 3 32 1 22 2 32 3 13 1 33 2 13 3 2136513951385139013951380139013901410154535404530404060K1K2K3 95 95 85 115 130 145 140 125 120K1=K1/3K2=K2/3K3=K3/3 31.7 31.7 28.3 38.3 43.3 48.3 46.7 41.7 40.0極差 15.0 11.6 20.0優(yōu)方案 A3 B2 C2 表4中下面的8行是分析計算過程中需要分析的內(nèi)容。K1這一行的3個數(shù)，分別是因素A，B，C的第1水平所在的試驗中對應的鐵水溫度(減去1350以后)之和。比如對因素A(第1列)，它的第l水平安排在第1，2，3號試驗中，對應的鐵水溫度值(減去1350以后)分別為15，45，35，其和為95，記在K1這一行的第1列中。對于因素B(第2列)，它的第1水平安排在第1，4，7號試驗中，對應的鐵水溫度值(減去1350以后)分別為15，40，40，其和為95，記在K1這一行的第2列中。對于因素C(第3列)，它的第l水平安排在第1，6，8號試驗中，對應的鐵水溫度值(減去1350以后)分別為15，30，40，其和為85，記在K1這一行的第3列中。類似地，K2這一行的3個數(shù)，分別是因素A，B，C的第2水平所在的試驗中對應的鐵水溫度(減去1350以后)之和。K3這一行的3個數(shù)，分別是因素A，B，C的第3水平所在的試驗中對應的鐵水溫度(減去1350以后)之和K1，k2，k3這3行的3個數(shù)，分別是K1，K2，K3這3行中的3個數(shù)除以3所得的結果，也就是各水平所對應的平均值.同一列中，K1，k2，k3這3個數(shù)中的最大者減去最小者所得的差叫做極差。一般地說，各列的極差是不同的，這說明各因素的水平改變時對試驗指標的影響是不同的。極差越大，說明這個因素的水平改變時對試驗指標的影響越大。極差最大的那一列，則那個因素的水平改變時對試驗指標的影響就最大，那個因素就是我們要考慮的主要因素。這里算出3列的極差分別為15.0，11.6，20.0，顯然第3列即因素C的極差20.0最大。這說明因素C的水平改變時對試驗指標的影響最大，因此因素C是我們要考慮的主要因素。它的3個水平所對應的鐵水溫度(減去1350以后)平均值分別為28.3，48.3，40.O，第2水平所對應的數(shù)值48.3最大，所以取它的第2水平最好。第1列即因素A的極差為15.0，僅次于因素C，它的3個水平所對應的數(shù)值分別為317，38.3，46.7，第3水平所對應的數(shù)值46.7最大，所以取它的第3水平最好。第2列即因素B的極差為11.6，是3個因素中極差最小的，說明它的水平改變時對試驗指標的影響最小，它的3個水平所對應的數(shù)值分別為31.7，43.3，41.7，第2水平所對應的數(shù)值43.3最大，所以取它的第2水平最好。從以上分析可以得出結論：各因素對試驗指標(鐵水溫度)的影響按大小次序來說應當是C(底焦高度)A(焦比)B(風壓)；最好的方案應當是C2A3B2，即 C2：底焦高度，第2水平，1.5， A3：焦比，第3水平，1:14， B2：風壓，第2水平，230?？梢钥闯?，這里分析出來的最好方案在已經(jīng)做過的9次試驗中沒有出現(xiàn)，與它比較接近的是第9號試驗在第9號試驗中只有風壓B不是處在最好水平，而且風壓對鐵水溫度的影響是3個因素中最小的。從實際做出的結果看出，第9號試驗中的鐵水溫度是1410，是9次試驗中最高的，這也說明我們找出的最好方案是符合實際的。為了最終確定上面找出的試驗方案C2A3B2是否為最好方案，可以按這個方案再試驗一次，看是否會得出比第9號試驗更好的結果。若比第9號試驗的效果好，就確定上述方案為最好方案，若不比第9號試驗的效果好，可以取第9號試驗為最好方案。如果出現(xiàn)后一種情況，說明我們的理論分析與實踐有一些差距，最終還是要接受實踐的檢驗?，F(xiàn)將利用正交表安排試驗并分析試驗結果的步驟歸納如下：(1)明確試驗目的，確定要考核的試驗指標。(2)根據(jù)試驗目的，確定要考察的因素和各因素的水平。要通過對實際問題的具體分析選出主要因素，略去次要因素，這樣可使因素個數(shù)少些。如果對問題不太了解，因素個數(shù)可適當?shù)囟嗳∫恍?，?jīng)過對試驗結果的初步分析，再選出主要因素。因素被確定后，隨之確定各因素的水平數(shù)。以上兩條主要靠實踐來決定，不是數(shù)學方法所能解決的。(3)選用合適的正交表，安排試驗計劃。首先根據(jù)各因素的水平選擇相應水平的正交表。同水平的正交表有好幾個，究竟選哪一個要看因素的個數(shù)。一般只要正交表中因素的個數(shù)比試驗要考察的因素的個數(shù)稍大或相等就行了。這樣既能保證達到試驗目的，又使試驗的次數(shù)不至于太多，省工省時。(4)根據(jù)安排的計劃進行試驗，測定各試驗指標。(5)對試驗結果進行計算分析，得出合理的結論。上述方法一般稱為直觀分析法這種方法比較簡單，計算量不大，是一種很實用的分析方法。 最后再說明一點，這種方法的主要工具是正交表，而在因素及其水平都確定的情況下，正交表并不是惟一的。2 多指標的分析方法在上節(jié)的問題中，試驗指標只有一個，考察起來比較方便但在實際問題中，需要考察的指標往往不止一個，可能有兩個、三個，甚至更多，這都是多指標的問題下面介紹兩種解決多指標試驗的方法：綜合平衡法和綜合評分法這兩種方法都能找出使每個指標都盡可能好的試驗方案。2.1 綜合平衡法下面通過具體例子來說明這種方法例2 為提高某產(chǎn)品質量，要對生產(chǎn)該產(chǎn)品的原料進行配方試驗要檢驗3項指標：抗壓強度、落下強度”和裂紋度，前兩個指標越大越好，第3個指標越小越好。根據(jù)以往的經(jīng)驗，配方中有3個重要因素：水分、粒度和堿度它們各有3個水平，具體數(shù)據(jù)如表2.1所示。試進行試驗分析，找出最好的配方方案。解這是3因素3水平問題，應當選用正交表L9(34)來安排試驗。把這里的3個因素依次放在L9(34)表的前3列(第4列不要)，把各列的水平和該列相應因素的具體水平對應起來，得出一張具體的試驗方案表。按照這個方案進行試驗，測出需要檢驗的指標的結果，列在表2.2中，然后用直觀分析法對每個指標分別進行計算分析。表2.1 因素水平水分A（%） 粒度B（%） 堿度C（%）123 8 4 1.1 9 6 1.3 7 8 1.5表2.2 因素實驗號1 2 3A B C各指標實驗結果抗壓強度 （kg/個）落下強度（0.5m/次）裂紋度1234567891 1 11 2 21 3 32 1 22 2 32 3 13 1 33 2 13 3 211.54.511.07.08.018.59.08.013.41.13.64.61.11.615.11.14.620.2344320321抗壓強度K1K2K327 27.5 3833.520.524.930.4 42.928k1k2k39.09.212.711.26.88.310.114.39.3極差2.2 7.5 4.4列 號優(yōu)方案A2B3C11A 2B 3C裂紋度K1K2K311 9 55 8 86 5 9落下強度K1K2K39.3 3.3 20.817.8 9.8 24.925.9 39.9 7.3k1k2k33.7 3.0 1.71.7 2.7 2.72.0 1.7 3.0k1k2k33.1 1.1 6.95.9 3.3 8.38.6 13.3 2.4極差2.0 1.3 1.3極差5.5 12.2 5.9優(yōu)方案A2B3C1優(yōu)方案A3 B3 C2圖 2.1 用和例1.1完全一樣的方法，對3個指標分別進行計算分析，得出3個好的方案：對抗壓強度和裂紋度都是A2B3C1；對落下強度是A3B3C3。這3個方案不完全相同，對一個指標是好方案，而對另一個指標卻不一定是好方案。如何找出對各個指標都較好的一個共同方案呢?這正是我們下面要解決的問題。 為便于綜合分析，我們將各指標隨因素水平變化的情況用圖形表示出來，畫在圖2.1中(為了看得清楚，將各點用線段連起來，實際上并不是直線)。 把圖2.1和表2.2結合起來分析，看每一個因素對各指標的影響。 (1)粒度B對各指標的影響從表2.2看出，對抗壓強度和落下強度來講，粒度的極差都是最大的，也就是說粒度是影響最大的因素，從圖2.1看出，顯然取8最好；對裂紋度來講，粒度的極差不是最大，即不是影響最大的因素，但也是取8最好?？傊?，對3個指標來講，粒度都是取8最好。(2)堿度C對各指標的影響從表2.2看出，對于3個指標，堿度的極差都不是最大的，也就是說，堿度不是影響最大的因素，是較次要的因素。從圖2.1看出，對抗壓強度和裂紋度來講，堿度取1.1最好，對落下強度來講，堿度取1.3最好，但取1.1也不是太差，對3個指標綜合考慮，堿度取1.1為好。(3)水分A對各指標的影響從表2.2看出，對裂紋度來講，水分的極差最大，即水分是影響最大的因素從圖2.1看出，水分取9最好，但對抗壓強度和落下強度來講，水分的極差都是最小的，即是影響最小的因素。從圖2.1看出，對抗壓強度來講，水分取9最好，取7次之；對落下強度來講，水分取7最好，取9次之對3個指標綜合考慮，應照顧水分對裂紋度的影響，還是取9為好。通過各因素對各指標影響的綜合分析，得出較好的試驗方案是 B3：粒度，第3水平，8； Cl：堿度，第1水平，1.1； A2：水分，第2水平，9。由此可見，分析多指標的方法是：先分別考察每個因素對各指標的影響，然后進行分析比較，確定出最好的水平，從而得出最好的試驗方案，這種方法叫做綜合平衡法。對多指標的問題，由于各指標的重要性不同，即所處的地位不同，要做到真正好的綜合平衡，是很困難的，這是綜合平衡法的缺點。下面要介紹的綜合評分法，在一定意義上講，可以克服綜合平衡法的這個缺點。2.2 綜合評分法例3 某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品需要檢驗兩個指標：核酸純度和回收率，這兩個指標都是越大越好。有影響的因素有4個，各有3個水平，具體情況如表2.3所示。試通過試驗分析找出較好方案，使產(chǎn)品的核酸含量和回收率都有提高。表2.3 因素水平A B C D時間（h） 加料中核酸含量 pH值 加水量123 25 7.5 5.0 1:6 5 9.0 6.0 1:4 1 6.0 9.0 1:6解這是4因素3水平的試驗，可以選用正交表L9(34)。和例1.1一樣，按L9(34)表排出方案(這里有4個因素，正好將表排滿)，進行試驗，將得出的試驗結果列入表2.4中。表2.4 因素實驗號1 2 3 4A B C D各指標實驗結果綜合評分純 度回收率1234567891 1 1 11 2 2 21 3 3 32 1 2 32 2 3 12 3 1 23 1 3 23 2 1 33 3 2 117512060804540857045300412600242510584310205735100892840562690744650485915K1K2K3273.2 221.2 222.9 260.5196.6 206.7 236.9 228.6205.0 249.9 218.9 188.7 677.8 k1k2k391.1 73.7 74.3 86.865.5 68.9 79.0 76.268.3 83.9 72.7 62.9極差25.6 14.4 6.3 23.9優(yōu)方案A1 B3 C2 D1 綜合評分法就是根據(jù)各個指標重要性的不同，按照得出的試驗結果綜合分析，給每一個試驗評出一個分數(shù)，作為這個試驗的總指標，根據(jù)這個總指標(分數(shù))，利用例1.1的方法(直觀分析法)作進一步的分析，從而選出較好的試驗方案。 這個方法的關鍵是如何評分，下面著重介紹評分的方法。 在這個試驗中，兩個指標的重要性是不同的，根據(jù)實踐經(jīng)驗知道，純度的重要性比回收率的重要性大，如果化成數(shù)量來看，從實際分析，可認為純度是回收率的4倍，也就是說，論重要性若將回收率看成1，純度就是4。這個4和1分別叫兩個指標的權，按這個權給出每個試驗的總分為： 總分 = 4純度+1回收率根據(jù)這個算式，算出每個試驗的分數(shù)，列在表2.4最右邊。再根據(jù)這個分數(shù)，用直觀分析法作進一步的分析，整個分析過程都記錄在表2.4中。 根據(jù)綜合評分的結果，直觀上看，第1號試驗的分數(shù)是最高的，那么能不能肯定它就是最好的試驗方案呢?還要作進一步的分析。 從表2.4看出，A，D兩個因素的極差都很大，是對試驗影響很大的兩個因素，還可以看出，A，D都是第l水平為好；B因素的極差比A，D的極差小，對試驗的影響比A，D都小，B因素取第3水平為好；C因素的極差最小，是影響最小的因素，C取第2水平為好。綜合考慮，最好的試驗方案應當是A1B3C2D1，按影響大小的次序列出應當是 A1：時間，第1水平，25h， D1：加水量，第1水平，1:6， B3：料中核酸含量，第3水平，6.O， C2：pH值，第2水平，6.0。 可以看出，這里分析出來的最好方案，在已經(jīng)做過的9個試驗中是沒有的?？梢园催@個方案再試驗一次，看能不能得出比第1號試驗更好的結果，從而確定出真正最好的試驗方案。 總的來講，綜合評分法是將多指標的問題，通過加權計算總分的方法化成一個指標的問題，這樣對結果的分析計算都比較方便、簡單但是，如何合理地評分，也就是如何合理地確定各個指標的權，是最關鍵的問題，也是最困難的問題這一點只能依據(jù)實際經(jīng)驗來解決，單純從數(shù)學上是無法解決的。3混合水平的正交試驗設計前兩節(jié)介紹的多因素試驗中，各因素的水平數(shù)都是相同的，解決這類問題還是比較簡單的。但是在實際問題中，由于具體情況不同，有時各因素的水平數(shù)是不相同的，這就是混合水平的多因素試驗問題。解決混合水平這類問題一般比較復雜。在這里介紹兩個主要的方法：(1)直接利用混合水平的正交表；(2)擬水平法把水平不同的問題化成水平數(shù)相同的問題來處理。 3.1 混合水平正交表及其用法混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表。這種正交表有好多種，比如L8(4124)就是一個混合水平的正交表，如表3.1。表3.1 列號實驗號1 2 3 4 5123456781 1 1 1 11 2 2 2 22 1 1 2 22 2 2 1 13 1 2 1 23 2 1 2 14 1 2 2 14 2 1 1 2 這張L8(4124)表有8行，5列(注意5=1+4)，表示用這張表要做8次試驗，最多可安排5個因素，其中一個是4水平的(第1列)，4個是2水平的(第2列到第5列)。 L8(4124)表有兩個重要特點： (1)每一列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相同的。例如，第1列中有4個數(shù)字1，2，3，4，它們各出現(xiàn)兩次；第2列到第5列中，都只有兩個數(shù)字1，2，它們各出現(xiàn)4次。(2)每兩列各種不同的水平搭配出現(xiàn)的次數(shù)是相同的。但要注意一點：每兩列不同水平的搭配的個數(shù)是不完全相同的。比如，第1列是4水平的列，它和其他任何一個2水平的列放在一起，由行組成的不同的數(shù)對一共有8個：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，它們各出現(xiàn)1次；第2列到第5列都是2水平列，它們之間的任何兩列的不同水平的搭配共有4個：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，它們各出現(xiàn)兩次。 由這兩點看出，用這張表安排混合水平的試驗時，每個因素的各水平之間的搭配也是均衡的。其他混合水平的正交表還有L16(41212)，L16(4229)，L18(2137)等(見附表6)，它們都具有上面所說的兩個特點。例3.1 某農(nóng)科站進行品種試驗。共有4個因素：A(品種)、B(氮肥量)、C(氮、磷、鉀肥比例)、D(規(guī)格)。因素A是4水平的，另外3個因素都是2水平的，具體數(shù)值如表3.2所示。試驗指標是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好。試用混合正交表安排試驗，找出最好的試驗方案。表3.2 因素水平A品種B氮肥量（kg）C氮、磷、鉀肥比例D規(guī)格1234甲乙丙丁25303:3:12:1:26677解 這個問題中有4個因素，1個是4水平的，3個是2水平的，正好可以選用混合正交表L8(4124)，因素A為4水平，放在第1列，其余3個因素B，C，D，都是2水平的，順序放在2，3，4列上，第5列不用。按這個方案進行試驗，將得出的試驗結果放在正交表L8(4124)的右邊，然后進行分析，整個分析過程記在表3.3中。 表3.3 因素實驗號1 2 3 4A B C D實驗指標（產(chǎn)量）（kg）減去20012345678 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 3 1 2 1 3 2 1 2 4 1 2 2 4 2 1 1195205220225210215185190-5520251015-15-10K1K2K3K4 0 10 20 2045 35 35 2525-25k1k2k3k40 2.5 5.0 5.022.5 8.8 6.3 6.312.5-12.5極差35.0 6.3 1.3 1.3優(yōu)方案A2 B2 C2 D2這里分析計算的方法和例1.1基本上相同。但是要特別注意，由于各因素的水平數(shù)不完全相等，各水平出現(xiàn)的次數(shù)也不完全相等，因此計算各因素各水平的平均值k1，k2，k3，k4時和例1.1中有些不同。比如，對于因素A，它有4個水平，每個水平出現(xiàn)兩次，它的各水平的平均值k1，k2，k3，k4是相應的K1，K2，K3，K4分別除以2得到的。而對于因素B，C，D，它們都只有兩個水平，因此，只有兩個平均值k1，k2，又因為每個水平出現(xiàn)4次，所以它們的平均值k1，k2是相應的K1，K2分別除以4得到的。這樣得出的平均值才是合理的。從表3.3看出，因素A的極差最大，因此因素A對試驗的影響最大，并且以取2水平為好；因素B的極差僅次于因素A，對試驗的影響比因素A小，也是以取2水平為好；因素C，D的極差都很小，對試驗的影響也就很小，都是以取2水平為好?？偟恼f來，試驗方案應以A2B2C2D2為好。但這個方案在做過的8個試驗中是沒有的。按理應當照這個方案再試驗一次，從而確定出真正最好的試驗方案。但是，因為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)受節(jié)氣的制約，只有到第二年再試驗。事實上，在這里因為因素D的影響很小，這個方案與8個試驗中的第4號試驗A2B2C2D1很接近，從試驗結果看出，第4號試驗是8個試驗中產(chǎn)量最高的，因此完全有理由取第4號試驗作為最好的試驗方案加以推廣。3.2 擬水平法 例3.2 現(xiàn)有某一試驗，試驗指標只有一個，它的數(shù)值越小越好。這個試驗有4個因素A，B，C，D，其中因素C是2水平的，其余3個因素都是3水平的，具體數(shù)值如表3.4所示。試安排試驗，并對試驗結果進行分析，找出最好的試驗方案。表3.4 因素水平 A B C D123 350 15 60 65 250 5 80 75 300 10 85解這個問題是4個因素的試驗，其中因素C是2水平的，因素A，B，D是3水平的。這種情況沒有合適的混合水平正交表，因此不能用例3.1的方法解決對這個問題我們可以設想：假若因素C也有3個水平，那么這個問題就變成4因素3水平的問題，因此可以選正交表L9(34)來安排試驗。但是實際上因素C只有兩個水平，不能隨便安排第3個水平。如何將c變成3水平的因素呢？我們是從第1、第2兩個水平中選一個水平讓它重復一次作為第3水平，這就叫做虛擬水平。取哪個水平作為第3水平呢？一般來講，都是根據(jù)實際經(jīng)驗，選取一個較好的水平。比如，如果認為第2水平比第1水平好，就選第2水