我國機構(gòu)學(xué)位置分析數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用現(xiàn)狀.pdf

我國機構(gòu)學(xué)位置分析數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用現(xiàn)狀 陳延強 林海波 李玉如 四川理工學(xué)院 機械工程學(xué)院 四川 自貢搖 643000 摘搖 要 機構(gòu)位置分析是機構(gòu)學(xué)的基本研究內(nèi)容 其核心問題是求解一組非線性方程組 自機構(gòu)學(xué)成為一門獨立的 學(xué)科以來 數(shù)學(xué)一直在機構(gòu)學(xué)研究中發(fā)揮著重要作用 以我國在機構(gòu)位置分析問題求解中采用的數(shù)學(xué)方法為對象 論述了各種方法在機構(gòu)學(xué)位置分析中的具體應(yīng)用 分析了它們的思路及優(yōu)缺點 以期起到拋磚引玉和對機構(gòu)位置分 析問題應(yīng)用者引導(dǎo)的作用 關(guān)鍵詞 機構(gòu)學(xué) 機構(gòu)位置分析 消元法 同倫法 中圖分類號 TH112搖 搖 搖 搖 搖 搖 文獻標(biāo)志碼 A搖 搖 搖 搖 搖 搖 文章編號 1007 4414 2014 05 0190 05 Application Status of Mathematical Methodology on the Position Analysis of Mechanism in China CHEN Yan qiang LIN Hai bo LI Yu ru College of Mechanical Engineering Sichuan University of Science position analysis of mechanism elimination method homotopy method 0搖 引搖 言 機構(gòu)是由兩個或兩個以上構(gòu)件通過活動聯(lián)接形 成的構(gòu)件系統(tǒng) 機構(gòu)是現(xiàn)實中任何復(fù)雜機器的基本組 成單元 機構(gòu)學(xué)的基本問題是機構(gòu)分析和機構(gòu)綜合 機構(gòu)分析又是機構(gòu)綜合的基礎(chǔ) 必須系統(tǒng) 深入的分 析已有的各種機構(gòu) 掌握它們實現(xiàn)運動變換的規(guī)律和 范圍 才能較好的設(shè)計出新的機構(gòu)和機器 1 其中 機構(gòu)位置分析是求解機構(gòu)的輸入和輸出構(gòu)件間的位 置關(guān)系 又是機構(gòu)運動和動力學(xué)分析的基礎(chǔ) 其核心 問題是求解一組非線性方程組 自機構(gòu)學(xué)成為一門 獨立的學(xué)科以來 數(shù)學(xué)一直在機構(gòu)學(xué)研究中發(fā)揮著重 要作用 特別是當(dāng)機構(gòu)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)代機構(gòu)學(xué)階段 對 裝備的自主創(chuàng)新設(shè)計要求越來越高 數(shù)學(xué)的作用也變 得越來越突出 2 在總結(jié)前人研究著作的基礎(chǔ)上 將機構(gòu)位置分析 的方法大致分為圖解法和解析法 解析法應(yīng)用最廣 泛 下面來逐一介紹 1搖 圖解法 圖解法以研究對象的幾何關(guān)系為基礎(chǔ)作圖求解 問題 直觀簡便 對于平面機構(gòu)來說 一般也較簡單 通過直尺 圓規(guī)就可以進行復(fù)雜的機構(gòu)分析 3 用 圖解法取得的結(jié)果可用于檢查 核對用程序計算出來 的數(shù)值 這在程序調(diào)試時十分重要 有時圖解法取得 的數(shù)值還可作為機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計程序的初始值 1 不 足之處 精度不高 由于測量等原因 結(jié)果必然會有誤 差 有時誤差還比較大 而且就機構(gòu)的一系列位置進 行分析時 需要反復(fù)作圖 也相當(dāng)繁瑣 此外 圖解法 對三維空間機構(gòu)問題的求解往往是無能失力的 隨 著計算機技術(shù)的普及和對現(xiàn)代工業(yè)高精度的要求 圖 解法使用場合顯著減少 2搖 解析法 與圖解法不同 解析法是把機構(gòu)中已知的尺寸參 數(shù)和位置變量與未知的位置變量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué) 式表達出來 然后求解方程組 3 由于解析法的可 編程性 所以其可以非常方便的利用計算機求解并通 過接口與數(shù)控機床直接相連 實現(xiàn)了真正的設(shè)計與制 造的一體化 解析法成為解決機構(gòu)位置分析問題的主 流 運用解析法過程中 主要有兩方面的問題 方程 組的建立和求解 根據(jù)建立方程組的思想或工具的 不同 有坐標(biāo)變換矩陣法 矢量法 復(fù)向量法 四元數(shù) 法等 建立方程組之后 根據(jù)解方程組選取方法的不 同可以分為 消元法 數(shù)值迭代法等 關(guān)于機構(gòu)位置分析問題時建立數(shù)學(xué)方程組的理 論已經(jīng)非常成熟 各種方法有繁有簡 進行機構(gòu)位置 091 綜搖 搖 述搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖2014 年第 5 期 第 27 卷 總第 133 期 機械研究與應(yīng)用 收稿日期 2014 08 11 作者簡介 陳延強 1990 男 河南新鄉(xiāng)人 在讀研究生 研究方向 機械設(shè)計及理論 分析建模時采用哪種方法最適宜 這個問題很有意 義 2 1搖 坐標(biāo)變換矩陣法 坐標(biāo)變換矩陣法利用坐標(biāo)變換的思想和強大的 矩陣工具進行機構(gòu)位置分析 不僅適用于平面機構(gòu)的 分析 也適合空間機構(gòu) 是機構(gòu)學(xué)中最常用的數(shù)學(xué)工 具 但在利用矩陣解決復(fù)雜機構(gòu)計算問題 坐標(biāo)變換 次數(shù)太多 且多個矩陣連乘 運算過程相對繁瑣 參考文獻 4 利用球面環(huán)路方程和方向余弦矩 陣法 提出了對含四桿閉鏈的球面機構(gòu)位置分析的一 般方法 獲得機構(gòu)位置分析的符號解或數(shù)字 符號 解 并用 Stephenson III 型球面機構(gòu)驗證其正確性 2 2搖 矢量法 矢量法基本原理是把連桿機構(gòu)視為一個封閉的 矢量多邊形 由此建立位移方程式 并通過它在各直 角坐標(biāo)軸上的投影式求解運動參量 矢量法將平面 機構(gòu)及空間機構(gòu)的位置分析問題歸結(jié)為一系列平面 矢量三角形和空間矢量四面體問題 之后可將各種三 角形或四面體編成子程序 就可適用各種機構(gòu)的求 解 但由于三角函數(shù)的大量使用 容易造成多解問題 張威等 5 運用空間矢量法對 3 RTT 并聯(lián)機器人 結(jié)構(gòu)進行分析 建立位置輸入輸出方程 獲得該機器 人的位置正解和位置反解 求出了機構(gòu) 2 組正解和 8 組反解的表達式 文獻 6 7 則是利用矢量回歸 法建立回歸公式進行機構(gòu)位置分析 該方法不需要坐 標(biāo)變換 不必采用矩陣環(huán)路方程式 從而減少了計算 量 并且沒有復(fù)雜的技巧 只要具有矢量基本代數(shù)運 算知識即可 易于掌握 比坐標(biāo)變換法應(yīng)用廣泛 2 3搖 復(fù)向量法 建立位置方程式的方法與矢量法相同 但每一矢 量均以復(fù)數(shù)形式表示 并可以通過復(fù)數(shù)運算來求解運 動參量 復(fù)向量的旋轉(zhuǎn)具有坐標(biāo)變換的功能 描述其 旋轉(zhuǎn)的幅角的變化就相當(dāng)于二階矩陣 這種方法運 算方便 物理概念清楚 便于編制程序 是國外應(yīng)用最 廣泛的解析法 但復(fù)向量法對于空間機構(gòu)問題 只能 解決極特殊的情況 為此 趙國文提出了類復(fù)矢量 法 類復(fù)向量方法可以完全消除坐標(biāo)變換 可以使計 算過程成幾倍乃至十幾倍地簡化 8 文獻 9 詳細(xì)論述了類復(fù)向量法的定義 運算法 則 并以 RRPRR 操作器機構(gòu)為例 運用類復(fù)向量法 列出該機構(gòu)位置的類復(fù)向量方程 求解 侯季理 等 10 分別用矩陣坐標(biāo)變換法 向量回轉(zhuǎn)法 類復(fù)向量 法對空間 RSSR 機構(gòu)進行位移分析 證明類復(fù)向量算 法最為簡便 2 4搖 四元數(shù)法 對于確定一個剛體在空間的位置和姿態(tài)的工具 方法很多 基本的數(shù)學(xué)工具是矢徑 位置描述 和方 位矩陣 姿態(tài)描述 常用的定位參數(shù)有方向余弦 歐 拉角 四元數(shù)等 四元數(shù)不僅可以確定姿態(tài) 而且可 以確定位置 方向余弦和歐拉角則只能確定姿態(tài) 四元數(shù)不論剛體處于任何狀態(tài)都不會退化 所得到的 方程組線性化程度高 而歐拉角則會出現(xiàn)三角函數(shù)項 且存在奇點 運用四元數(shù)方法求解空間機構(gòu) 建立的 方程有無奇性 線性程度高 計算時間省 計算誤差 小 乘法可交換等許多優(yōu)點 11 王慶貴 12 應(yīng)用實數(shù)四元數(shù)法 以由六個轉(zhuǎn)動副 組成的 MBTY 機械手及由一個轉(zhuǎn)動副和三個圓柱副 組成的四連桿機構(gòu)為例 對空間開鏈及閉鏈機構(gòu)進行 位置分析 并比較了矩陣法和四元數(shù)法在進行空間機 構(gòu)位置分析時計算過程和計算量大小 張帥等 13 使 用四元數(shù)對球面七桿機構(gòu)進行數(shù)學(xué)建模 使用 Syl鄄 vester 結(jié)式消元法分兩次求出一元 32 次方程 借助 Mathematica 軟件求其位置參數(shù) 求出各個轉(zhuǎn)動副在 球面上的位置 對于一般 4R 機器人的各關(guān)節(jié)及末 端位置分析問題 楊愛民等根據(jù)該機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和 運動參數(shù) 運用四元數(shù)法求得該機構(gòu)末端位置的正 解 并且推導(dǎo)出了適用于解決該機構(gòu)位置正解的一般 性通用四元數(shù)公式 14 充分說明四元數(shù)法在空間機 構(gòu)分析中的應(yīng)用價值 3搖 消元法 上面的解析法大都是機構(gòu)位置分析的建模工具 可知在建立機構(gòu)位置分析問題模型方面已不存在問 題 難點則是如何準(zhǔn)確簡便的求解所建立的復(fù)雜非線 性方程組 消元法求解機構(gòu)位置分析問題的基本思 想為 對在機構(gòu)位置分析解題中遇到的非線性方程 組 經(jīng)過三角變換后 大多數(shù)非線性方程組都可以化 成一個多元多項式方程組 15 然后通過各種消元法 將這個求多元多項式方程組的解轉(zhuǎn)化為求一元多項 式方程組的解 而一元多項式方程的解法已成熟 即 可以求得非線性方程組的解 根據(jù)上述過程中采用的消元方法和構(gòu)造零點集 結(jié)構(gòu)式求方程組零點集方法的不同 消元法又分為結(jié) 式消元法 基組結(jié)式消元法 吳消元法等 3 1搖 結(jié)式消元法 結(jié)式消元法是利用結(jié)式的消元功能 將多項式同 解變形為階梯型方程組 之后就是解一元多項式方程 組 結(jié)式消元法有兩方面不足 一是當(dāng)方程個數(shù)較多 時 要消去變元需要較多技巧和經(jīng)驗 計算過程中需 要人工干預(yù) 效率低 二是求得的多項式解可以保證 不失根 但不能保證不增根 16 文獻 17 應(yīng)用結(jié)式消元法對 6 5 平臺型空間并 聯(lián)機構(gòu)位置正解方程組消元求解 首先使用方向余弦 191 機械研究與應(yīng)用 2014 年第 5 期 第 27 卷 總第 133 期 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 綜搖 搖 述 矩陣建立數(shù)學(xué)模型 給出了約束方程 并經(jīng)過一系列 的代數(shù)推導(dǎo) 然后應(yīng)用結(jié)式消元導(dǎo)出了一元 20 次方 程 求得全部 40 組解 文獻 從 Delta 型并聯(lián)機器 人機構(gòu)位置約束方程出發(fā) 采用狄克遜結(jié)式對機構(gòu)位 置正解方程進行數(shù)學(xué)機械化消元 得到了機構(gòu)位置正 反解封閉方程 由于上述消元過程的機械化 所以該 方法具有很強的通用性和簡便性 3 2搖 吳消元法 吳文俊基于中國古代數(shù)學(xué)求解多項方程組的消 元思想 并借鑒國外學(xué)者關(guān)于微分代數(shù)的工作 提出 了具有自己特色的解多項式方程組的消元方法 19 吳消元法的基本思想是 根據(jù)多項式秩的大小選取基 組 用偽除法消元 通過若干次整序 將原多項式組化 成一特征組或半特征組 并根據(jù)零點集結(jié)構(gòu)式確定原 多項式組的零點集 從它的整個計算過程中可以看出 吳消元法不需 要巧妙的構(gòu)思和復(fù)雜的理論推導(dǎo) 只需要根據(jù)運算步 驟 按部就班地計算就可以得到結(jié)果 這使得問題變 得非常簡單 吳消元法是一種數(shù)學(xué)機械化方法 具有 系統(tǒng)化 規(guī)則化的特點 可以很容易地編制程序 并可 進行符號計算 該方法避免了其他方法解多項式方程 組的局限性 得到的解不增不漏 還可判斷方程組是 否有解 19 缺點是 中間膨脹項數(shù)大 計算時間長 對一些問題因維數(shù)過大而無法求解 劉惠林等 20 以符號運算為工具 運用吳消元法 得到非線性方程組的特征列 從而導(dǎo)出了 3 RPR 平 面并聯(lián)機構(gòu)正運動學(xué)封閉形式解為一元六次方程 至 多可解出 6 個實根 對于一種 7 桿巴氏桁架的分析 文獻 結(jié)合矢量法和復(fù)數(shù)法建立 3 個幾何約束方程 式 然后使用吳方法經(jīng)過 6 次循環(huán)得到特征列 其中 第一個多項式的最高次數(shù)為 18 次 得到 18 組無增無 漏的解 吳消元法解此類問題與結(jié)式消元法 22 相比 主要優(yōu)點就是自動進行求解 不需要人工干預(yù) 3 3搖 基組結(jié)式消元法 基組結(jié)式消元法由張紀(jì)元等在總結(jié)各種消元法 尤其是吳消元法基礎(chǔ)上提出 基組結(jié)式消元法與吳 消元法相比 主要有兩點區(qū)別 一是基組結(jié)式消元法 采用貝左結(jié)式消元 二是由改進型零點集結(jié)構(gòu)式確 定原多項式組的零點集 23 基組結(jié)式消元法具有消 元過程簡單和消元結(jié)果次數(shù)較低等優(yōu)點 計算量比吳 消元法大大減少 可是目前該方法在機構(gòu)位置分析 問題方面應(yīng)用較少 普及率有待提高 張紀(jì)元等 24 將基組結(jié)式消元法應(yīng)用到對機構(gòu)極 限位置求解問題的研究上 從機構(gòu)極限位置的定義出 發(fā) 用基組結(jié)式消元法求得機構(gòu)極限位置的多項式 解 徹底解決了機構(gòu)極限位置的確定問題 提出了確 定機構(gòu)極限位置的理論 3 4搖 Groebner 基法 Groebner 基法也是通過對變量的排序 多項式分 組 約化 構(gòu)成基列 求余等運算 將一組非線性多項 式方程化簡為同價的三角化方程組 可以得到不增根 不少根的解析解 對具有一定對稱性的非線性方程組 顯示出有效性 但對于復(fù)雜的多項式方程組 該方法 效率較低 容易在消元過程中因多項式迅速膨脹導(dǎo)致 運算中途夭折 杜魯濱等 25 運用 Groebner 基法對八面體變幾何 桁架機器人機構(gòu)進行了位置正解分析 得到其位置正 解為 16 解的結(jié)論 并給出數(shù)值算例 雷經(jīng)發(fā)等 26 基 于 Groebner 基法和計算機符號處理技術(shù) 對各種結(jié) 構(gòu)型式的兩自由度平面五桿機構(gòu)的位置分析的符號 求解問題進行總結(jié) 并設(shè)計出相關(guān)軟件對導(dǎo)出的三角 化的 Groebner 基不僅可以用于研究輸入?yún)?shù)對輸出 構(gòu)件位置的影響 也可以研究調(diào)節(jié)構(gòu)件幾何參數(shù)對輸 出構(gòu)件位置的影響規(guī)律 此文的思想對研究可變輸入 的混合機構(gòu)和可調(diào)機構(gòu)提供了有意義的指導(dǎo) 4搖 數(shù)值迭代法 數(shù)值迭代解法也是解非線性方程組的基本解法 傳統(tǒng)的數(shù)值迭代法如 Newton raphson 法 其優(yōu)點是 其數(shù)學(xué)模型簡單 省去了煩瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo) 但這種方 法的計算速度比較慢 所給的初值必須位于迭代序列 的收斂域內(nèi) 且最終的結(jié)果依賴于初值的選取 因而 數(shù)值法難以求得機構(gòu)的全部解 18 同倫連續(xù)法可以 克服上述缺點 在求解時不需要給出初始值 并能獲 得全部解 尤其可以解決并聯(lián)機構(gòu)位置分析的多解性 問題 是機構(gòu)多裝配構(gòu)型研究的一種有效方法 但其 難點在于構(gòu)造初始方程的要求較高 雖然可以求出大 部分解或全部解 但發(fā)散解較多 計算效率不高 有待 改進 4 1搖 改進牛頓法 文獻 27 28 為了解決牛頓迭代法初始值的 選取問題 將混沌理論和牛頓迭代法結(jié)合 利用混沌 映射產(chǎn)生敏感的初始點 再用牛頓迭代法求解 提出 一種求解非線性方程組全部解的改進牛頓迭代法 并 給出了數(shù)值實例 通過與其他方法比較 證明這種方 法的有效性與正確性 為機構(gòu)學(xué)問題求解提供了一種 新的數(shù)值迭代方法 4 2搖 同倫法 同倫法又稱嵌入法或連續(xù)法 產(chǎn)生于 20 世紀(jì) 60 年代 同倫法是一種大范圍收斂的方法 其理論基礎(chǔ) 是隱函數(shù)定理 其基本思想是 對多項式方程組 A 和 B A 的解已知 將 A 的參數(shù)作微小變化 A 的解也發(fā) 生微小變化 跟蹤 A 的解 當(dāng) A 的參數(shù)變化到與 B 的 291 綜搖 搖 述搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖2014 年第 5 期 第 27 卷 總第 133 期 機械研究與應(yīng)用 參數(shù)相同時 便得到 B 的解 29 由于同倫算法是通過同倫映射從初始方程組的 解出發(fā)跟蹤曲線從而得到所求的目標(biāo)方程組的解 因而根據(jù)初始方程組的不同構(gòu)造方法同倫算法被分 為一般同倫法 齊次同倫法 系數(shù)同倫法和同倫迭代 法 30 一般同倫法由于構(gòu)造初始方程組簡單且容易實 現(xiàn)而多被采用 但不能排除發(fā)散路徑 計算效率不高 齊次同倫法是通過研究待解方程組的齊次結(jié)構(gòu)特性 再構(gòu)造出與待解方程組具有相同齊次結(jié)構(gòu)特征的初 始方程組 全部或部分排除發(fā)散路徑 減少計算 量 29 31 32 系數(shù)同倫法是以初始方程組與目標(biāo)方程 組的系數(shù)參數(shù)構(gòu)造同倫的方法 對于求解結(jié)構(gòu)特征相 同 系數(shù)不同的多項式方程組 系數(shù)同倫法非常有效 系數(shù)同倫法可以排除全部發(fā)散路徑 使計算量減到最 小 但在求解時需要先用一般同倫法求得一組具體 解 董濱等 30 采用參系數(shù)同倫法求解并聯(lián)機器人正 問題 由于并聯(lián)機器人正問題是關(guān)于三角函數(shù)的高次 非線性方程組 采用這一方法可直接化非線性方程組 為多項式方程組 而無需經(jīng)過萬能公式代換 進一步 大大減少了計算量 并運用這一方法對中科院沈陽自 動化研究所的并聯(lián)機器人新模型運動學(xué)正問題求解 只需跟蹤 20 條同倫路徑 而采用一般同倫法 則至少 需要跟蹤 256 條同倫路徑 運算量差異巨大 王玉新 等 33 以結(jié)構(gòu)參數(shù)和桿長變量作為修正系數(shù) 構(gòu)造了 一種新的系數(shù)同倫方程 建立了機構(gòu)位置分析的數(shù)學(xué) 模型 對具有對稱結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機器人機構(gòu) 6 6SPS Stewart 進行了位置分析 對使用同倫法求解時出現(xiàn) 的路徑交叉問題進行了研究 分析了復(fù)常數(shù)對同倫路 徑跟蹤的影響 提出了求解同倫方程時復(fù)常數(shù)選取的 一般原則 陳永等 34 提出了一種基于同倫函數(shù)的新迭代 法 它不需選取初值并可求出全部解 比傳統(tǒng)的同倫 法簡化了求解過程 對于求解高虧欠度多項式方程組 是一種行之有效的方法 提高了計算效率和可靠性 使用該方法求解一般 6 SPS 機械手的正位置問題 得到滿意的結(jié)果 求出了問題的全部 40 組解 4 3搖 區(qū)間分析法 區(qū)間分析 又稱為區(qū)間數(shù)學(xué) 最初是從計算數(shù)學(xué) 的誤差理論研究中發(fā)展起來 是用區(qū)間變量代替點變 量的數(shù)學(xué)分支 區(qū)間分析法是一個大范圍收斂的算 法 區(qū)間分析是針對區(qū)間函數(shù)進行的 因此 首先將 待求多項式方程組擴展為區(qū)間方程組 通過區(qū)間運算 獲得解的初始域 通過區(qū)間對分和區(qū)間算子檢測獲得 所有的收斂子區(qū)間 最后通過點迭代獲得所有近似 解 這種方法克服了一般點迭代方法進行全局搜索 時難以確定初始點的缺點 并且夠得到機構(gòu)結(jié)構(gòu)位置 正解的所有近似解 但剖分工作量特別大 也需預(yù)估 解所在的區(qū)間 還要用到雅可比區(qū)間矩陣 黃康等 35 運用基于區(qū)間分析的數(shù)值求解方法對 6 SPS 并聯(lián)機器人運動學(xué)位置正解問題進行研究 但 從其計算過程來看 與同倫法等相比 在求解機構(gòu)位 置分析問題上并不占優(yōu)勢 所以應(yīng)用不廣泛 5搖 總搖 結(jié) 上面講述了機構(gòu)學(xué)位置分析中的數(shù)學(xué)方法 各種 方法都有自己的優(yōu)缺點 像復(fù)雜問題用圖解法則根本 無法求解 簡單問題使用同倫法則是 大材小用冶 所 以本文旨在總結(jié)機構(gòu)位置分析的各種方法 使應(yīng)用者 找到最合適的方法 并希望推動研究出更有效方便的 算法 為機構(gòu)學(xué)研究的發(fā)展增一份力 本文的撰寫限 于作者的水平 肯定會有不少疏漏 觀點也不一定正 確 但希望起拋磚引玉的作用 參考文獻 1 搖 沈世德 實用機構(gòu)學(xué) M 北京 中國紡織出版社 1997 2 搖 王國彪 劉辛軍 初論現(xiàn)代數(shù)學(xué)在機構(gòu)學(xué)研究中的作用與影響 J 機械工程學(xué)報 2013 49 3 1 9 3 搖 常宗瑜 王樹杰 梅搖 寧 等 關(guān)于 機械原理 課程中解析法和 圖解法教學(xué)的思考 C 第十屆全國機械設(shè)計教學(xué)研討會論文 集 2009 214 215 4 搖 楊隨先 劉艷芳 孫搖艷 含四桿閉鏈球面機構(gòu)位置分析方法 J 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報 2013 44 8 262 267 5 搖 張搖 威 趙新華 3 RTT 并聯(lián)機器人位置分析 J 天津理工學(xué) 院學(xué)報 2003 19 3 32 35 6 搖 劉德庸 肖鐵英 孫樹海 空間機構(gòu)位置分析的矢量回歸法 J 機械設(shè)計 1998 6 17 18 7 搖 包搖 耳 連桿機構(gòu)位置分析的矢量遞推法 J 遼寧工程技術(shù)大 學(xué)學(xué)報 自然科學(xué)版 2008 27 6 906 908 8 搖 趙國文 工程中的類復(fù)向量法 J 光學(xué)精密工程 1993 1 1 99 105 9 搖趙國文 吳麗娟 機器人運動學(xué)的類復(fù)向量算法 J 機器人 1992 14 3 17 22 10 搖 侯季理 田搖 耘 王景利 用類復(fù)向量作空間連桿機構(gòu)位移分析 J 吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報 1997 19 4 89 92 11 搖 肖尚彬 四元數(shù)方法及其應(yīng)用 J 力學(xué)進展 1993 23 2 249 260 12 搖 王慶貴 四元數(shù)變換及其在空間機構(gòu)位移分析中的應(yīng)用 J 力學(xué)學(xué)報 1983 1 1 54 61 13 搖 張搖 帥 王搖 品 許東來 等 基于四元數(shù)法求解球面七桿機構(gòu) 的位置 J 上海第二工業(yè)大學(xué)學(xué)報 2011 28 2 144 153 14 搖 楊愛民 張搖 帥 張煥成 四元數(shù)法在 4R 機器人位置分析中的 應(yīng)用 J 微計算機信息 2012 28 9 462 463 15 搖 張紀(jì)元 機構(gòu)學(xué)中非線性問題的解法述評 J 上海海運學(xué)院 學(xué)報 2000 4 8 18 16 搖 張紀(jì)元 機械學(xué)的數(shù)學(xué)方法 M 上海 上海交通大學(xué)出版社 2003 391 機械研究與應(yīng)用 2014 年第 5 期 第 27 卷 總第 133 期 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 搖 綜搖 搖 述 17 搖 王搖 品 李洪斌 李搖 剛 6 5 平臺型并聯(lián)機構(gòu)的位置正解分析 J 機械科學(xué)與技術(shù) 2013 32 9 1385 1388 18 搖 趙迎祥 牛祿峰 基于結(jié)式消去法的并聯(lián)機構(gòu)位置解析 J 寶 雞文理學(xué)院學(xué)報 自然科學(xué)版 2006 26 3 227 229 19 搖 吳宏章 錢瑞明 消元法在開鏈機器人運動學(xué)逆解中的應(yīng)用 J 中國制造業(yè)信息化 2006 35 3 67 69 20 搖 劉惠林 張同莊 丁洪生 3 RPR 平面并聯(lián)機構(gòu)正解的吳方法 J 北京理工大學(xué)學(xué)報 2000 20 5 565 569 21 搖 王搖 品 廖啟征 魏世民 基于吳方法的一種 7 桿巴氏桁架位移 分析研究 J 機械科學(xué)與技術(shù) 2006 25 6 748 752 22 搖魏世民 周曉光 廖啟征 一種 9 桿巴氏衍架的裝配形態(tài)研究 J 機械科學(xué)與技術(shù) 2004 23 8 962 965 23 搖 易搖 忠 高等代數(shù)與解析幾何 下 M 北京 清華大學(xué)出版 社 2007 24 搖 張紀(jì)元 牛志綱 吳搖鋼 機構(gòu)極限位置的多項式解 J 南京 理工大學(xué)學(xué)報 2001 25 6 561 565 25 搖 杭魯濱 王搖彥 鄧輝宇 等 基于 Groebner 基的八面體變幾 何桁架機構(gòu)位置正解分析 J 機械科學(xué)與技術(shù) 2004 23 6 745 747 26 搖 雷經(jīng)發(fā) 徐禮鉅 林光春 基于 Groebner 基的平面五桿機構(gòu)位 置分析符號解 J 四川大學(xué)學(xué)報 工程科學(xué)版 2004 36 2 81 85 27 搖 羅佑新 李曉峰 羅烈雷 等 混沌映射牛頓迭代法與平面并聯(lián) 機構(gòu)正解研究 J 機械設(shè)計與研究 2007 23 2 37 39 28 搖何哲明 一種 9 桿巴氏桁架位置正解的超混沌改進牛頓法 J 機械設(shè)計 2012 29 2 20 24 29 搖 劉安心 求多項式方程組全部解的連續(xù)法 J 工程兵工程學(xué) 院學(xué)報 1999 14 1 80 85 30 搖 董濱 張祥德 同倫算法在并聯(lián)機器人運動學(xué)中的應(yīng)用 J 應(yīng) 用數(shù)學(xué)和力學(xué) 2001 22 12 1278 1283 31 搖 劉安心 楊廷力 連續(xù)法在機構(gòu)運動綜合中的應(yīng)用 J 機