（應用數(shù)學專業(yè)論文）熱傳導方程neumann邊界值問題的緊差分格式.pdf

摘要 w y l i a o 和j p z h u j c o m p m a t h 2 0 0 5 用p a d e 逼近方法對下列熱 傳導方程n e u m a n n 邊界值問題 鬻 韶 塒 z t r 籌 o f m 石o w 1 獬d z 正 扣 0 w 0 z 0 z 1 建立了一個具有高階逼近精度的差分格式 但未見相關的理論分析 本文 證明了這一格式是無條件穩(wěn)定且是收斂的 其收斂階為 r 2 h 35 此外對 此方法進行了改進 降低了邊界處離散產(chǎn)生的誤差 建立了一個精度更高 的差分格式 證明了其無條件穩(wěn)定性和收斂性 收斂階為o r 2 h 4 數(shù)值 計算的結(jié)果驗證了理論結(jié)果 本文第二部分利用k e l l e rb o x 格式及降階法技術 對一維熱傳導方程的 n e u m a n n 邊界值問題進行了研究 建立了一個高階差分格式 同時分析了該 差分格式解的存在唯一性 收斂性和穩(wěn)定性 并用數(shù)值算例對理論結(jié)果進 行了驗證 關鍵詞t 熱傳導方程 n e u m a n n 邊界值 b o x 格式 降階法 存在性 唯一 性 收斂性 穩(wěn)定性 a b s t r a c t w y l i a oa n dj p z h u j c o m p m a t h 2 0 0 5 d e r i v e s8 h i g ho r d e rd i f f e r e n c e s c h e m ef o rt h ef o l l o w i n go n e d i m e n s i o n a lh e a te q u a t i o n 警 窘 螂 t z 警m 啉籌 1 忙蹴o t s t 塒扛 0 鐘o z 0 z 1 b u tt h e r ei 8n ot h e o r e t i c a la n a l y s i s i nt h i sp a p e r w ep r o v et h a tt h es c h e m ei su n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e a n di sc o n v e r g e n tw i t ht h ec o n v e r g e n c eo r d e ro fo 丁2 5 m o r e o v e r w ei m p r o v et h es c h e m ea n dd e r i v eam o r ea c c u r a t ed i t i e r e i c es c h e m eb yr e d u c i n gt h e e r r o rp r o d u c e db yd i s e r e t i z a t i o na tt h eb o u n d a r i e s w ea l s op r o v et h a ti t i sa b s o l u t e l y s t a b l ea n dc o n v e r g e n tw i t ht h ec o n v e r g e n c eo r d e ro f0 2 h 4 n u m e r i c a le x a m p l e s t e s t i f yt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s i nt h es e c o n dp a r t w es t u d yt h eo n e d i m e n s i o n a lh e a te q u a t i o nw i t hn e u m a n n b o u n d a r yc o n d i t i o n sb yt h em e t h o do fr e d u c t i o no fo r d e ra n dk e l l e rb o xs c h e m e b y i n t r o d u c i n g8 n e wv a r i a b l e 口 k w ee l i m i n a t et h ee r r o rp r o d u c e db yt h ed i s c r e t i z a t i o n f o rt h ed e r i v a t i v eo nb o u n d a r i e s d e r i v eaf o u r t h o r d e rd i r e n c es c h e m e a n da n a l y z e e x i s t e n c e u n i q u e n e s s c o n v e r g e n c ea n ds t a b i h t yo fd i f f e r e n c es o l u t i o n an u m e r i c a l e x a m p l ed e m o n s t r a t e st h et h e o r e t i c qr e s u l t s k e y w o r d s h e a te q u a t i o n n e u m a n nb o u n d a r yv a l u e b o x s c h e m e m e t h o do fr e d u c t i o no fo r d e r m i x e df i n i t ev o l u m e e x i s t e n c e u n i q u e n e 懿 c o n v e r g e n c e u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y 東南大學學位論文 獨創(chuàng)性聲明及使用授權(quán)的說明 一 學位論文獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學位論文是我個人在導師指導下進行的研究工作及取得的 研究成果 盡我所知 除了文中特別加以標明和致謝的地方外 論文中不包含其他 人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果 也不包含為獲得東南大學或其它教育機構(gòu)的學 位或證書而使用過的材辯 與我一兩工作的同志對本研究所做的任俺貢獻均已在 論文中作了明確的說明并表示了謝意 二 關于學位論文使用授權(quán)的說明 東南大學 卒國科學技術信息研究所 國家圖書館有權(quán)保留本人所送交學位 論文的復印件和電子文檔 可以采用影印 縮印或其他復制手段保存論文 本人電 子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致 除在保密期內(nèi)的保密論文外 允許論文 被查閱和借閱 可以公布 包括刊登 論文的全部或部分內(nèi)容 論文的公布 包括刊 登 授權(quán)東南大學研究生院辦理 簽名 融導師簽名 第一章緒論 熱傳導主要研究固體內(nèi)部的熱量傳輸 分析固體表面與環(huán)境進行熱交換時其 內(nèi)部的溫度變化規(guī)律 對熱傳導的研究在工業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟中有著直接的聯(lián)系 例如食品的冷凍過程 金屬材料在鑄造 焊接 鍛壓 等熱加工過程中內(nèi)部溫度分 布 材料結(jié)構(gòu)熱應力計算 各種工程熱物理性能的試驗測定 以及各種接觸式溫度 傳感器數(shù)學模型的分析等問題的解決 都緊密依靠導熱理論的指導 同時它也是 深入學習和研究各種傳熱現(xiàn)象乃至工程熱物理學科必不可少的工具 因此 對熱 傳導方程的研究有著非常重要的實際意義 毗 f z t 是形式最為簡單的熱傳導方程 指出了存在物體內(nèi)的各種導 熱現(xiàn)象必須遵循的客觀規(guī)律 同時為了唯一的確定溫度場 需要對熱傳導方程添 加各種邊界條件 其中n e u m a n n 邊值條件是一類常見的邊界條件 很多學者都在此 領域進行了深入的 廣泛的研究 1 9 7 1 年 k e l l e r h b 在f 6 中提出了b o x 格式 即對守恒方程的混合有限體積 格式 從那以后b o x 格式在科學界數(shù)值計算領域引起了極大的關注 諸多學者在研 究學習的基礎上對b o x 格式進行發(fā)展和推廣 提出了若干基于b o x 格式的偏微分方 程差分格式 涉及到空氣動力學 熱傳導理論等諸多科學領域 k e l l e r h b 在 6 中對如下一維拋物方程混合初邊值條件問題 t n z c 扛 s 丁 t t t 0 9 z 0 z s l a o u o m a 0 u o t 9 0 t 風t 1 t 歷n 1 1 t 9 1 t 0 z 1 0 t t 0 s t s t 0 曼t e 引入新變量 z t n z u 使得邊界條件不顯含導數(shù) 然后對改寫后的新問題 釓 8 例瓦2 妻 塑一c u 8 0 州 t 麗一 q 讓 z o 口 z a o u o t c 1 l v o t g o t 0 s t r 島u 1 t 1 3 1 v 1 t 9 1 0 s 正 建立b o x 格式 n 一 d 一 t 盤 1s l s m 1 k s k d v 一5 d 弘0 一q 一 j s t k 一 3 1s s m l 七 耳 o 咄磚2 啦魯 t 弘 n o 砧 d 1 1 舌 g o 1 七s 圮 j d 歷 夕f 1 女 k 2 這樣建立的格式使得邊界離散不產(chǎn)生誤差 并且可以證明是二階收斂的 但其代 價卻是計算量的顯著增加和理論證明的復雜化 并且不適用于擬線性方程 為克服這些缺點 文 1 2 中孫志忠教授提出了用降階法來處理導數(shù)邊界條件 對導數(shù)邊界條件的拋物方程定解問題 r 州 窯 磊0 t 拋 u b z t 籌 c 州 t o z l o t s e u x 0 j p z 0 sz 1 l o 若 o t 一口l u o 妒l t a l o 籌 1 t 口2 u 1 t 1 加o 0 s t s t 建立了具有二階精度的差分格式 學伽鴛一如智 k 嚴5 h i h 1 嗣一智u 鴛 督 疋 k 5 一 嗣 1 智 氣k 5 l 川 刪 耽 譬 o 螄0 帆 0 l 尬 諸 計 f 諺 0 k 降階法不僅成功的改進了b o x 格式 克服了其缺點 而且可以進一步討論其他各類 混合邊界條件問題和內(nèi)部間斷問題 具有很好的效果 參考文獻 8 中 w e n y u a nl i a o 對帶有n e u m a n n 混合邊界條件的對流擴散方程 的問題 t f 建立了緊差分格式 壺一 磋一警 筆 刁嵋 1 l 去一馴嬸 譬 t 玲州肼舭c 脅孔 m 此格式具有o 一 h 4 階精度 但未見相關的理論分析 本文第二章將完成其完整 的理論分析并構(gòu)造一個具有更高精度的差分格式 文獻 3 中 j e a n p i e r r ec r o i s i l l e 等對一維對流擴散方程 一 t 的類似 k e l l e rb o x 的格式進行了數(shù)值分析 c o u r b e t 在 2 中提出了k e l l e r 格式對于穩(wěn)態(tài)對 流擴散方程的擴展問題 雖然有限差分意義下k e l l o r 格式只是一階精度 但可以擴 3 展到許多更復雜的情況 j e a n p i e r r ec r i s i l l e 通過在吩一 上用e u l e r m a c l a u d n 積分 公式來近似 r i p i j 一 建立了一個四階的b o x 格式 c h 一 一 幻一聊一 2 一 n j 一 i 1 一壺竽 啪 右c 嘶一t 積 毗拶 u l u n 0 文獻 4 中 j e a n p i e r r ec r o i s i l l e 對如下一維常系數(shù)對流擴散問題 饑 一e t 扛 t 口 z 0 t 鈿 z 4 0 t 0 u 1 t 0 設計了一個b o x 格式 該格式可以寫成如下三點隱式緊差分格式 其中各項系數(shù)為 o z j n t l n o r 1 一l u j n 一 l b j n 1 b o u t 6 一l n 1 一 一叻 云1 地棚 嘶 h 一島 g 1 仇一砸一穢 m 一吼 a o 1 2 1 9 p 2 d p d 穢a 6 0 互1 2 0 一毋m 2 d 仉 1 一一 a 一 五1 d p 一仉棚 嘶 一d p 五1 一仉州t 卅 圳 卅 同時證明該格式v o nn e u m a r m 穩(wěn)定 分析了差分格式的耗散和離散度 給出了耗散 系數(shù)的表達式 作者強調(diào)了格式的構(gòu)造和在線性方程中的應用 同時指出此b o x 格 式和很多數(shù)值方法都有著緊密的聯(lián)系 特別是高階有限差分緊格式 混合有限元 方法和s u p g 方法 1 j 本文第三章我們用孫志忠教授的降階法進行處理 構(gòu)造一個四階的 并且無條 件穩(wěn)定的高階差分格式 同時分析差分格式解的存在唯一性 穩(wěn)定性和收斂性 最 后用數(shù)值例子來驗證我們的理論結(jié)果 本文的內(nèi)容安排如下 第二章發(fā)展w e n l i a oy u a n 在 8 中用p a d e 逼近建立的差 分格式 對該格式作進一步的理論分析 并提高其整體精度 用數(shù)值例子驗證理論 4 結(jié)果 第三章我們利用孫志忠教授的降階法思想對熱傳導方程n e u m a n n 邊界問題 建立一個高階差分格式 用能量分析方法得到差分格式解得先驗估計式 對其進 行理論分析 分析差分解的存在唯一性 無條件穩(wěn)定性和收斂性 并用數(shù)值例子來 驗證我們的理論結(jié)果 第二章熱傳導方程n e u m a n n 邊界值問題緊差分格式的收斂 性和穩(wěn)定性 帶有n e u m a n n 邊界值的熱傳導方程問題足物理學中的一個基本模型 在實際 生產(chǎn)和科研中有著廣泛的應用 l i a o 和z h u 8 對區(qū)域d f 0 1 x1 0 卅中的如下半線性熱傳導方程的n e u m a n n 邊界值問題 警 髻 f w x t o s z 0 時 由 1 4 1 6 1 7 可以 求得 叼l 一1 l m 1 若 嵋l 一1 i m 1 的值已知 則由 1 4 1 6 1 7 三式聯(lián)立 用高斯消去法可求出 嬸 1l 一1s sm 1 的值 在 不依賴于 時 式 1 4 可以寫為 喪 剖 1 0 6 1 t 礦5 民謝 程酊 5 bp 譬 t tsm 1 8 其中 b 口 素 墨l 1 0 f f n 5 6 由泰勒展開易得 口 j 1 t o c a t 2 1 9 由此 1 8 可以寫為 壺0 囈5 1 況w y 5 盈 譬 霹 r 5 b m 1 1 0 對于引入的假想點 t 和w 勛 1 8 8 中未作說明 在算子醒的作用下 1 4 式右端第二項在f 0 和 m 時需要用到 厶 t 在假想點 一 t 和 1 h t 處的值 由于 僅在d 中有定義 故從理論上來講在這些假想點處的值是無法直 接獲得的 8 中作者稱建立的格式是四階收斂的 但未給出差分格式的理論分析 如收 斂性和穩(wěn)定性證明 而從我們的理論分析結(jié)果來看 此方法只能得到空間方向上 的3 5 階精度 本章內(nèi)容安排如下 第二節(jié)中我們就 t 不依賴于 即 o z t z t 的情況對區(qū)域做延 拓 第三節(jié)對格式的截斷誤差進行分析 第四節(jié)對 8 中提出的差分格式進行理論 分析 證明差分解的存在性 唯一性 收斂性和無條件穩(wěn)定性 第五節(jié)設法降低邊 界上離散產(chǎn)生的誤差 從而提高差分格式的整體精度 第六節(jié)用數(shù)值算例來驗證 理論分析結(jié)果 2 2 解的延拓 我們考慮如下 不依賴于 即 f x t 的情況下的熱傳導方程 t 魄 恤 t 0 z s l 0 s s t w x o t n t w z 1 t 口o 0 s t l z 0 垂 0 z 1 對 8 1 中提出的差分格式進行理論分析和證明 設 嵋10 s i s m 0 t l n 為j j 上的網(wǎng)格函數(shù) 引進如下的記號 一 嵋 餳 瓦咯 咄 一 彳 磊t 礦 礦1 一嵋 礦5 嵋 1 w 彳 磋 以 聾l 一如t 啦 t 露 礦1 一嬸一1 2 1 2 2 2 3 l 伽 i 脅 h 8 嚴i o m a xf 口 0 t 吖 雁蕊f 習 7 1 專案霎船 2 3 的解足夠光滑 我們把區(qū)域 鄧 l j f o 卅延拓至d 卜 j o 州 一 l j 1j 艇用王u2 假設 矗t e c 8 3 0 i i f o 司 易知 箬 引 一霧 刪叫硼 篇 圳一第 刪 歉味 熬 牡豁 黟 璣 姚6 當2 1 一時 當 卜 o 對 令 則有 甕階黲 o i 忙孫 客 1 鏟器 1 壯跏璣 氖 墨挈 瓤 委署象n 嘎 由上述兩式可得 妻魯嘉 0 o 一 盤以阮 一 v 7 咿7 她 堂糾 一礦 一 p螄 扣 塑概 嚀 堂副 即 p 塑良 秒萬 些訂 吣 枷篆 卜堂副 叫蘭 缸 抄兩卜蚴 芝n朋 象 知 j聃 j j 伊歷 心 噸爨徊 叫 懈 魯孫m 加瞄銣 塑挑 寧 枷 8 m 忙妻署孫味m t 2 善署等 o t 同理 當z 1 1 明時 令 弛 歸塞著孰t 易知上兩式的截斷誤差為o h 4 假設在區(qū)間 h 0 j 內(nèi)對v z 卜h 0 j 均成立 w x 霎篙 b t o c 2 4 篙 2 4 把 2 4 兩邊同時對 求一階導數(shù)可得 缸歸耋署裟她嘎 s 把 2 4 兩邊同時對z 求二階導數(shù)可得 皋 薹署警 o 札 2 e 為使 2 1 式在延拓區(qū)問卜h o l 內(nèi)依然成立 即對婦 f h 0 1 v t i o 刁均滿足 豢 卅 象 州 m t 函數(shù) z t 需要在區(qū)間 一 i l 0 l 內(nèi)滿足 弘 f i 等 一器 堿 2 刀 把 2 5 2 6 代入 2 7 我們得到f 需要滿足的條件為 m t 加i f 叫 窘 州 薹署 裟 褊 償s 由 2 1 可知 等 0 p 霧 o 歸f o 一 簇 0 1 籌 跏 篡 o f 麗i 9 t l u 4 0 歸象 o t 貉 o 壚麗t c 2 t 叫 髻 o 璣 9 將上述諸式帶入 2 8 司得 弛1 t 量著等 o 咄 2 9 弛 t 吾貉 o t 2 9 l 0 由 2 9 很容易看出 延拓的區(qū)間 一 0 內(nèi)t a y l o r 公式對于函數(shù) 五t 依然成立 特別的 當z 一h 時我們有 f h t f h 量掣嘉 0 味 2 1 0 孚囂 o t 2 1 0 一 同理 在延拓的區(qū)間 1 1 嘲內(nèi)做同樣的推理 當r 1 h 時可得 1 地歸妻等翥 1 味 2 1 1 1 i l t 魯貉 1 t 2 1 0 一 至此 函數(shù)f x 在假想點處的值就可以用 及其各階導數(shù)在原區(qū)域d 內(nèi)點的值 來任意逼近了 在本章的數(shù)值算例中我們把 毛t 取到4 階精度 此時 和 只要滿足如下條 件即可 t z t c 6 3 o 1 0 邪 z t c 堂 o 1 2 3 截斷誤差的推導 令w 表示問題 2 1 一 2 3 的真實解在慨 k 處的值 口 由 2 1 可得 z t t 啦 z t 一 z t 即w i k 令 3 1 由t a y l o r 展開可得 擊扣 z 件1 t 10 t t z i l t 薩1 眇 司 l 一2 毛 t 塒 z i 1 t 1 o h 4 0 f m 把 3 1 代入可得 西1 z t l t 1 帆 t 慨 t 蟣 1 t l 薩1 z i l t 一2 t u 以 t h x l t 壺 甄 l t l o f 以 t f x i l t o h 4 即 去陋雌l l o d t w n a t w 囂 l 2 n 十d f n o r 2 4 0 一i 一 0 使得 象 蜀t i 0 故 l l o h t ls 面1g 一 對于麗0 3 t j 我們估計如下 由 2 1 可得 麗0 2 w 州 籌 州 州 3 5 3 6 嘉 州 患k 曠脅札 所以 象 0 歸裊 0 曠瓦o f 0 味 再結(jié)合邊界條件 2 2 前一式可得 窘 忙和一跏味 把 3 7 代入 3 5 可得 叢旦 專掣 n t 百h 2 h 一厶 丁 糾 也札 即 w 廠w 2 1 n n 百h 2 a 一 副 h i n 0 s l s m 時 可類似的得到 墊皆 礦 譬防一 矧 l m 幾 f s 其中 圳 籌瞄 1 l s 4 豢c s 幽 仁 1 s 4 器c s 叫 與 3 6 類似司得存在c 0 使得i l m h is 去e 臚 故l o h 和l m h t 郡是鬲 階小量項 由 3 2 3 8 3 9 忽略高階小量項 我們便建立了如差分格式 壺鞏喀l 西1 0 磊 f 磊以 囂1 磋1 口 口刀 o f s m o n 氣乎 a n 百h 2 腎 柵 型b 皆 礦 百h 2 露一 孫 p p 2 4 解的存在性 唯一性 收斂性和穩(wěn)定性分析 1 2 由 3 1 1 和 3 1 2 可以很容易的分別求得 1 1 和 j f 1 的表達式 分別帶入i 0 和i m 時的 3 1 0 便可以消掉假想點 整理后便得到如下不含假想點的且與 3 1 0 3 1 3 等價的差分格式 瓦1 0 以 礦5 蚤瓦 r 三h 2 彳 一 5 g n 十5 4 1 去 群 筆以 y 去 刪搿 磋t 譬 b f t 1 2 m l 4 2 老 u 如 西1 0 以t 苗5 一吾 芽5 一 穗 g r m t 5 4 3 圣 t 1 2 m 4 4 其中 g 一雨1 2 6 t n 警 m 一 厶 5 口囂 4 s g 罟一磊 p 譬 叱 苗5 b 囂5 定理2 1差分格式 j 一 是唯一可解的 證明令 n u 瑤 r t 嘞 7 a 吾 則差分格式 4 1 一 4 3 可以寫為如下矩陣形 式 a t l 嚴 l b w r f 4 7 其中 a b g a 一a 擊一 a a 矗一 a 砭i 一 ag 去一 a 一a2 a 3 一a a 擊 3 一 擊 a 擊 ag a 擊 a ag a p 籪 b 療 b 芷 b 臆 四5 g 和g 苫 中函數(shù) 在假想點 z 一1 t z j i f l t 處的值可以分別由前面推導 的 2 1 0 和 2 1 1 式求得 由于a 嚴格大于0 易知無論a 如何取值矩陣a 都是嚴格對角占優(yōu)的 故關于 未知變量礦 1 的方程組 4 7 有唯一解 由初始條件我們可以唯一確定 聲 由 j o 可以唯一的求解 1 依次類推 當7 1 已知的時候 我們便可以用 4 7 式來唯一求 解出w n i 1 這樣便可以唯一求解出各個時間層上的數(shù)值解 定理證畢 引理2 2 對差分格式似 j 一 別 我們有如下估計式成立 腳 增3 喜陋5 2 g 嘲坷3 扣 卻2 證明將 4 1 兩邊同乘以 肺t 瑤 將 4 2 兩邊同乘以h 6 t t 4 3 兩邊同乘 以 地 譬 并將結(jié)果根加可得 h 最 2 腳卜三1 2 五 疋 p 協(xié) m k l o t w m5 老 詈 剖堋 講 w q 咖凈毋 山麓以 譬5 詈 群 硝5 g n 也艫 爵 尻前5 詈 口礦 磊礦5 t 8 下而襲們分別對壽端和右端各項拂行估計 壺 m 蚤 ig 講 t 慨嬸 5 搿 磊e 5 去h 磙 5 最 r 5 盈武蘭區(qū) 芽5 1 5 m 1 以礦5 2 一1 一m 民爿 鞏 r 5 l 西 石 m 備 1 1 j 一 2 4 1 一 2 4 篆 祥5 謝 祥 2 一去萎 蜉 一 2 薹 魂剖 2 訃轟m 萎 1 q 搿 2 篆 畦 2 堿5 2 2m 孫 1 科3 2 一去薹k 趔 2 5 2 一面1 m 芻 i i 4 2 以講 2 虧丸m 備 i 崢 y 5 2 一喪是 慨籪 2 6 t 囂 2 4 9 由離散分部積分公式我們可以得到 n m 薹 i 嵋 5 s t 霹 i 疋哆6 蠢嵋 一 恐 跏i t 一 等 如 嘣 一 文嵋 墨 以訓譬 如 堿w o 一 稿 磊諾5 一芻n 篆 b 嘣 2 一 2 一 1 1 6 州肛i i j g l 2 4 1 0 由柯西 i i 瓦茲不等式可得 魂 籪5 盈 s n 蠢 島 5 2 素 爵5 2 吾1 譬5 2 訪q 2 t m 警 b r 民礦 窆i 1 b 2 警 5 2 c t m 把估計式 4 9 4 1 2 代入 4 8 簡單的化簡后我們得到如下估計 砉 愉礦 i i 刈如礦1 1 2 殺 蠢一 盯5 2 呀靜等 礦 2 搿5 2 籪5 2 m 州釅 即 如t 礦 1 釅一i i 如塒 曠 h g 2 1 1 4 4 2 蕁i i 口 臚 由上式遞推可得 l 曠1 1 1 2 劍珊增3 是耋陋 2 g 譬5 2 k 3 爭 軋2 即 i 礦 l i 妒肛礦3h 嘉 5 2 靠5 2 3 乏n 歸廣知2 定理證畢 1 5 定理2 3 設扣 瓤 k 10 i m 0 ns 為俾 j 俾 印的解 叼l0 曼 l m 0 s n s k 為差分格式 j 彩的解 記 e w 一1 嘶 0 s t s m u s 竹s 兒 則有 l e n 1 l l a 戶 h 35 其中 厚 證明 考慮i 0 時的情況 此對 3 3 3 4 分別為 i 1 2 6 w n 筆鞏瞄 1 擊盈時 5 鯉瞄 5 b 石 5 d 戶 4 4 1 3 縣露 5 去仁 5 l o 囂 5 療 5 4 1 1 4 由 3 8 可得 tw i 1w n l 等p 一 脯 1 l 1 lt 1 刪 3 8 和 4 1 5 相加并將結(jié)果除以2 利用 3 6 可得 旦掣 口n 等 n 一 厶 5 4 4 1 6 4 1 5 和 3 8 相減 并將結(jié)果除以7 r 可得 1 牮一 w 二n2 產(chǎn)l wn 竺 二 二 一h22h6 豎一生生羔摯 r 下 r l 下下 1 l o h j n 1 l o h t r 注意到右端最后一項為 墨 墮 l 墨 墮絲 4 1 7 麗h 4 五t l 擴 業(yè)掣望型 鹽些掣卜 1 6 對窘 z 1 應用t a y l r 展開可得 霧 咖 等 圳 r 淼 喇 d 一 即 蠹 1 一麗0 5 t 0 患 o n 4 1 8 當 力足夠光滑時 類似于 3 6 我們可礙魚墮盤叢 劃l g 是 o h 5 量級 的 故 4 1 7 可寫為 曼 掣 最 n 一 百h 2r f 一 厶 5 艫 4 1 9 由 4 1 6 可得 磋略磚 雨1 吖 一2 瞄 曠 o 嘉 2 時 一瞄 一 時 一曠 1 鑫 時 一瞄 一和 i 等 叱礦5 4 z 將 4 1 9 4 2 0 代入 4 1 3 可得 蘭磊瞄 5 三1 2 磊嵋 缸町 籪 d r s 4 2 1 在邊界注m 處對 2 1 進行離散 我們可類似的得到如下結(jié)果 壺魂堪 芝以 5 擊和蕊 鹺諾 b t m n o 釅 4 2 2 一 1 t l l z n 1 刊w u n 5 一 2 艦 警l j i 帕叱 譬5 啪 4 2 3 由 3 9 可得 磋噔5 壺 嘣一z 嘭5 嘣 一萬1 2 嘭5 一 1 一 蝶 一嘣 1 一磊 嘭5 一嘣 p 5 等 m 譬5 妒 4 r 2 4 將 4 2 3 4 2 4 代入 4 2 2 化簡可得 磊 嘣 1 0 2 5 w t 一吾 嘭 一皚 籪 0 0 4 2 5 1 7 將 4 2 1 3 3 4 2 5 分別和 4 1 一 4 3 相減 可得到如下誤差方程t 蘭以 蚤魂e 2 一融 內(nèi)n a 2 6 壺磊e 身 筆6 t g 3 去彘r 磐 p n 孝 t 1 2 m l 4 2 7 主犯穗 i 1 0 2 t e 等5 一面2 e 譬 一r 如 p 譬 4 2 8 留 0 i o 1 2 肛 4 2 9 其中存在常數(shù)c 使得 i p o i c r 2 3 i z isc 7 2 4 i p m 1 isc 2 h 3 對 4 2 6 一 4 2 8 應用定理2 2 易得 l 擴1 瞪sl e 0 曙 警 疊 艫 2 擊 2 了3 7 n 吾n m 備 1 t n k 2 應用 4 2 9 可得 警 砉附 2 2 卜3n 篆nm 薹 i c 凈 珊蕊 3 2 姑5 2 t h 麟m 備 1 魄k 2 礦3 躐弦k5 1 2 5 2 h t 垮一m a x 嘞 礦 2 當h 1 時 對上式應用 4 3 0 可得 l e n l l s c 2 t h r 2 護 2 c 2 t p 2 4 2 曼c2t 一九 h3 5 2 c2t r2 h4 4 2 4 s三c2t 72 35 2 3c2t 1 2 4 4 艫 2 3 c 2 t r 2 1 1 3 5 2 2 即 其中 事定理證畢 i e n l h 烈r 2 h 35 定理2 4 差分格式 j 秒在下述意義下對右端函數(shù)是無條件穩(wěn)定的 設 嵋 為 1 8 i 1 0 2 5 t 右 2 i l w 萬2 r 一 暗 露 4 3 1 喪 越野 西1 0 w x 一 5 壺最 學 鹺霹 5 囂 l i 1 2 m 1 4 3 2 魯況 穗 i 1 2 0 6 等5 一若 才5 一 如 9 孑5 4 3 3 w f o 圣t 0 s i m 4 3 4 的解 則有 i o i i 1 w l i 百3 r 毫 q 2 9 譬5 2 i 3 r 耋陋 釧2 證明直接應用引理2 2 可得 2 5 格式的改進 本節(jié)中 我們將進一步減小邊界處的離散誤差 使整體精度達到0 0 2 h 4 對區(qū)域d 作和第二節(jié)中相同的延拓 假想點處 的值也用相同的方法計算 用帶積分余項的泰勒展開考慮邊界z 0 處的離散 類似于 3 5 容易得到 血學 孰 等等 o 羔霧 o 卅研一 5 其中 枷 蕊h 6 小叫霧 一十等c 圳 卜 易知在解充分光滑的情況下右端最后一項是o h 6 量級的 上一節(jié)我們在求 扛 t 的近似的時候只精確到貉 o t 故導致等式右端誤差階為o h 4 但若我 們設法求出邊界處的智 o t 則等式右端誤差可以減小到o h 6 這就是我們提 高格式精度的入手點所在 式 3 7 中我們已經(jīng)求得學 o t 的表達式為 等 0 歸刪一跏嘎 5 r 2 把 2 1 兩邊求關于z 的三階導數(shù)并在z 0 處取值 我們可得 急 0 t 器 o t 嘉 o 渤 1 9 將 5 2 代入上式可得 霧 0 t 意 叭 髻 叩 卜卜籌 卜墮o x 3 0 f t q 一如0 2 礬f r t 一麗o s f 5 3 將 5 2 和 5 3 代入 5 1 可得 亟壕幽叫 孫 吲o f 叫 羔卜 一纛杈曠瓢t 志l a 酬訓 鐘 吲o f 叫 篙 一翥 曠洳t 則有 叢墜塵 幽 do t f o h t 2h 即 嬰二墜 d o t 晶 t 5 4 2h u 顯然 墮 二絲 d o 饑 磊 5 5 2h u 把 5 4 和 5 5 相加 并將結(jié)果除以2 類似于 3 6 f 得目 是 量級的 故 堅 二型 n o 護 5 6 2h u 把 5 5 和 5 4 相減 并將結(jié)果除以r 類似于 4 1 9 我們可得 墨墮 二壘絲蘭 也d n 臚 5 7 2h u 類似于 4 2 0 式 我們得到 磋瞄 5 吉 嵋 一z 瞄 5 w n 5 壺 2 睜 一時5 h 曠5 一礦荊 吾 w t i w 2 一元2 n 5 o h 5 5 8 筆民昭 5 吾也時 吾 踞 一瞄 幻 g o 2 s 其中 一麗1 2 玎5 b 在z 1 處同理可得 魯以彬融 1 1 2 0 d w n 5 一吾 嘭 一i 喵疊 茄 o r 2 s 監(jiān)崠鱉 o 苴中 0 7 j 5 6 h 臚1 2 一民 孑5 b 搿5 酬刊 私曠跏 h 4 一篇 鏟知t t q 點t 1 2 m 一1 處們?nèi)挥?3 3 采咼敬 由 3 2 5 4 5 1 1 忽略高階小量項 我們建立了如差分格式s 去民t 啦 芝氏嵋 壺函略 髭2 n 口口 o m o s n 筆竽 d o 墮學魚 酬 2 0 5 9 5 1 0 5 1 1 由 5 9 3 3 5 1 0 忽略高階小量項 建立如下與上述格式等價的差分格式 筆 前 5 三民 n 5 吾 訪 一皤 5 甜5 5 1 2 去盈越譬 警以罅 5 去以諒謦 鹺礙 5 b e i 1 2 m 一1 5 1 3 瓦2 w eu n m 一5 i 1 2 0 6 刪勞5 一鑫 囂5 一 如 g n 村 5 5 1 4 奶0 電 i 1 2 m 5 1 5 1 定理2 5 轟分裕式 5 1 2 一 5 1 5 是唯一可解的 證明與定理2 1 的證明過程類似可得 2 1 通過上述等價差分格式的建立過程我們可以看出 5 1 2 一 5 1 5 和 4 1 一 4 4 在 形式上是完全相同的 只有右端項的表達式不同 故對 5 1 2 一 5 1 5 前面的引理 2 2 依然成立 即 引理2 0對差分格式f 5 j 剴一侈 j 糾 我們有如下估計式成立 l e x 1 2 嫻i 印3 喜附 2 謹5 2 卜魯扣產(chǎn)蛔2 證明與引理2 2 的證明過程類似可得 定理2 7設 慨 10 ism 0sn k 為償 j 償剴的解 彳10 曼 i m 0 t i k 為差分格式p j 矽一仁j 的解 記 則有 e 仰 一牡彳 0 m 0 曼幾s k 妒 1 1 1 f 2 其中 字 證明由 5 9 3 3 5 i 0 分別和 5 1 2 5 1 4 t t l i i 同時考慮其零邊值和零初值條件 可得到差分格式的誤差方程如下 芝鞏右 5 主盈e r 5 吾 r 5 一e 葉0 5 露 5 1 6 去魂搿 蘭也e 5 參e 學 鹺e r 5 z 1 2 m 一1 5 1 7 西2o t e m 1 薩1 0 n m 5 一吾 右5 一髓 p m 5 1 8 其中存在常數(shù)c 使得 l 露十 i c 2 h s l z i c r 2 h 4 i p 譬 isc r 2 1 5 5 2 0 對 5 1 6 5 1 9 由與定理2 3 的證明過程類似可得 定理2 8差分格式p i 緲 陋 j 秒是無條件穩(wěn)定的 證明與定理2 4 的證明過程類似可礙 2 6 數(shù)值算例 本節(jié)我們用第2 節(jié)中的差分格式對以下問題進行數(shù)值求解 嘗 魯十 o z 1 o t z 鞏如2 一 2 籌 o 一籌 1 歸 矬 o f z w x 0 礦 0 sz 1 6 1 6 2 j 6 3 此問題的精確解為 z t 甜 對此問題我們采用不同的網(wǎng)格劑分進行了數(shù)值計算 并逐步增大對網(wǎng)格的剖 分數(shù) 設z t 方向的剖分數(shù)分別為m n z 方向的網(wǎng)格數(shù)每增加一倍 f 方向相應 的增加為4 倍 下面的表2 1 表2 2 分別為不同網(wǎng)格剖分下 0 3 時數(shù)值解和真實 解誤差的二范數(shù)和最大范數(shù) 其中范數(shù)定義如下 女 0 3 0 e h l l i i w 一 l l l i e r 0 i i w 一w 0 表壁 三0 3 時差分解 的誤差的2 范數(shù) m n慨lh l l o o 礎琴舞煸 對t 0 3 時差分解誤差的2 范數(shù)和最大范數(shù)進行數(shù)據(jù)擬合結(jié)果為t l o gj j e 0 一1 1 0 7 5 4 0 1 6 4 一l o g 一l o gj i e i l 1 1 3 5 7 4 0 0 1 9 l o g 圖2 1 描繪了1 0 x1 0 2 0 如 4 0 1 6 0 三種網(wǎng)格剖分下差分解在 0 3 對的 誤差曲線 圖2 2 描繪了4 0 1 6 0 8 0 x6 4 0 1 6 0 2 5 6 0 三種網(wǎng)格剖分下差分解在 t 0 3 時的誤差曲線 用改進后的格式差分格式 5 1 2 5 1 5 對 6 1 一 6 3 進行數(shù)值計算 表2 3 表2 4 分別為不屙網(wǎng)格剖分下 0 3 時數(shù)值解和真實解誤差的2 范數(shù)和最大范數(shù) 圖2 3 描繪了1 0 1 0 2 0 4 0 4 0 1 6 0 三種網(wǎng)格剖分下差分解在忙0 3 時的 誤差衄線 圖2 4 描繪了4 0 1 6 0 8 0 6 4 0 1 6 0 2 5 6 0 三種網(wǎng)格剖分下差分解在 t 0 3 時的誤差曲線 表2 只t 0 3 時差分解 的喔差鮑2 范數(shù) m nf l e r h l l 缺擻 對t 0 3 時差分解誤差的2 范數(shù)和最大范數(shù)進行數(shù)據(jù)擬合結(jié)果為 一l o g6 e i l 1 1 3 5 7 4 0 0 1 9 一l o g 妨 一l o gi i e i i 1 1 3 7 7 4 0 0 1 9 一l o gh 通過對兩個格式的數(shù)值結(jié)果比較來看 對于此數(shù)值算例改進后的格式的精度 只有輕微的提高 圖2 1 差分解在t 0 3 的誤差曲線 圖2 2 差分解在t 0 3 的誤差曲線 子 r 一 萋 圖2 3 改進后格式的差分解在t 0 3 的誤差曲線 圖2 4 改進后格式的差分解在t 0 3 的誤差曲線 辛芎 l 警 第三章熱傳導方程n e u m a n n 邊界值問題的一個高階差分格 式 3 1 差分格式的建立 本節(jié)我們考慮如下帶有n e u m a a n 邊界值的熱傳導方程問題 在假設相容性條件 等 窘 蚺o z t o t z 籌j o t a 籌 歸懶o z 伽 z 0 w 協(xié) z 0 r 1 d o 名 o a o t 嵋 1 成立的情況下對其進行研究 建立一個高階差分格式 設確 o 口f o 嵋 1 蘆 1 令 罄 則上述問題可以寫成如下等價形式t 等 塞 橢o z 1 o t s 正 t 豢 o z l o 正 t o t n 叫 1 t 廳 0 t s e 0 o o 如 0 z 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 對區(qū)域d i o 1 j 0 明進行阿格剖分 將區(qū)間 0 1 和p 刀分別做m 等分和k 等分 步長分別設為h 和 記f 協(xié)l 堿0 ism t n1 k r 0 k s 擴 講 諺 墻 設 釁 0 i s 膩0 七 k 為 x 上的網(wǎng)格函 數(shù) 引進如下的記號 盥乒 哇 拿凈 瓦唾 與粵 五 一 竺生 f 曠峙 峰m a x m 阱 肛 6 萎mi 丟 1 2 此外記 址 扣地 1 f 一 訓q a 一 弘1 q t 臚一 咿 口 址 l 引入如下的引理 參見 l lj s i 理3 0 若j 9 z c 4 o 糾 月l j 有 志r z 細 n 抑 一等叭 g n 嘉 生i 坐 k 1 7 擊f 一 z 如 睜 n 加 4 9 警 l 一去生i 坐g c 4 吡 1 8 其中f n 6 q n b 定義如下網(wǎng)格函數(shù) 略 w x i t k 時 t k 對 1 3 在區(qū)同h 一1 上積分 得 警 岫 是t 凈 m t 脅 對上式應用 1 7 j 1 r 靜6 v 時缸 t 一皂 翥純 鏟纛 乩t 墮掣 仁 m 出 d 一 nn j 一 由 1 4 并對上式中的 鬣 t d x 項應用 1 8 我們可以得到 等c z 一 等c 戤 一喪 寶c 瓤朋一窯c 而巾t 塑坐掣 脅 4 酬 o 帆 對于上式 由泰勒展開容易得到 魂嘣一篙如民學 屯嚼州 譬 啦 1 9 其中 a 譬 石1 以一1 t 一 4 t 一 氣一 甄 t 一 且存在一個正常數(shù)c l 使得 吃列 c 1 r 2 1 1 0 同理 我們對 1 4 積分 并應用引理3 0 可得 監(jiān)掣一喪良 磐 t 亟掣 由 1 3 口j 礙 塞 引 警 州 嘶 將 l 1 2 代入 1 1 1 并用差商來近似導數(shù) 由泰勒展開公式可得 曙一孫啊 如吲一篙疋舒 東 其中存在一個正常數(shù)c 2 使得 瞳 i c 2 p 2 h 4 在 1 9 1 1 3 中忽略高階小量項 并注意到 1 5 1 6 我們對 1 3 1 6 建立如 下的差分格式t 魂 k 一 f 一篙如磊爿 磊嗣州 鴛 1 l 一皂6 z a 沁k t 一 t a e e 一備z t 罐 o k 嘞 口 1 s s k 世 帥慨 礙 硝慨lo i s m 1 f 脫1 七 缸 1 1 5 磊 一5 十 如 一5 等如磊 一 一筆疋露 5 一x 1 疋 一 郇 5 一 1 1 女 e l 1 9 魂 霉 矗 k f 1 1 x 1 2 w k 5 1 x 1 西h 2 2 毗k 一 一去 瓦嘲 屯t 鈣 1 箍磋 渺 譬州 現(xiàn) 峨k 之 叫 撫 瓦 鏈 西h 2 珈鎢一篙以稿 一 瓦啦 徹高一 1 礦一j 1 s 豇 1 2 1 弓 l 咖簧 西h 2 如 嘣一西h 2 k 列 一志卜嘣 a i 6 v t l 叫 爝 s s 嬲 l 1 2 3 m k 5 卜警 西h 2 如仉喝一警如鶴1 塒 塒 塒 0 0 q 螂切塒 o o 0 k 一 七 一 lm 一 1 一 l 志b 鎢 l ax m 叫 盛 而巧p k 二 鼬產(chǎn) 一 a 劉 嵋 警 引 o i m 其中a 囂 證明由于 孫鷺 瓦h 2 鏨霉 h 2 蟛叫k 習 i 把上式代入 1 1 5 則可得 1 如q k 5 氐 鼉 知q k i 一 a 由 1 1 6 容易得到 智 如蚓 篙如民惻一西h 2 啦喜 螂川s 七弛 將 1 2 7 乘以 1 去 1 2 6 乘以 并把其結(jié)果相加 可得 c 弦 叫 如嘣 筆瓦況惻一筆屯督 惻 瓦嘲叫 2 t m 1 2 z 乘以 1 1 2 6 乘以 并把結(jié)果相減 可得 知料 t 卜嘣 筆如反嘣一篙啦列 一孫 k 一 f i 產(chǎn)i h k 1 叫 譬 s tsm 即 c t 弦 刈 知卜蜊 參鞏 一筆以舒1 一 卜毪k 5 滅i 1 一 a 麓 o s 肘一1 由f 2 8 和f 1 3 0 顯然對1 t m 一1 我們可得 1 云 1 2 9 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2 z 1 2 8 1 2 9 1 3 0 瓦刪 譬如尻嗣一筆以舒 一 k i 如 州 簧 乓嘣 筆瓦吼叫一筆啦小 降 囂 x 1 州 k 1 1 c m 鴛 扣智 魂 譬 1 y 1 鶘2k 5 1 i i 西h 2 2 州 一1 2 a 褂i 跏zi a a 一 a 1 h 2 s 2 k s tsm 一 t 當i 0 時 由 1 3 0 中i 0 的方程和 1 1 7 的前一式可得 最 p 卸 1 12 6 z t u 西h 2 酶妒k 一砭h 2 瓦卞3 一蘆1 1 a 硝一5 一j 1 1 i i a t k n 1 1 3 1 當 m 時 由 1 2 s 中i m 的方程和 1 1 7 的后一式可得 屯塌 咖磚 西h 2 腳 k 硝 一西h 2 以餡 一簪1 甚 a 韙一互1 1 a 札1 1 3 2 苴伽的等價姜系不難驗證 定理證畢 對差分格式 1 1 9 1 2 5 我們給出如下求解方法 由 1 2 2 0 2 5 我們可以求得第0 層上 各個結(jié)點的值 假設第k 1 層上結(jié)點 處 和口的值已經(jīng)求出 則 1 1 9 1 2 1 為一個關于t l 0 1 2 m 的方程組 其系 數(shù)矩陣為一個三對角矩陣 因此可以用追趕法來求編 從而求得 a o 1 2 m 利用求出的嬸 由 1 2 3 或 1 2 4 可以顯式的求出 磚ii 0 1 2 m 3 2 解的唯一性 穩(wěn)定性和收斂性分析 定理3 2 差分格式以 鯽一 刎是唯一可解的 證明由定理3 1 我們只需證明 1 1 5 1 1 8 唯一可解即可 考慮 1 1 5 一 1 1 8 的齊次方程 唾 一等瓦啦 矗啦 l ts m 籜 一等k o 以喀 1 t 曼 諸一o f 0 2 1 2 2 2 3 將 2 1 兩邊同乘以u 乞l 將 2 2 兩邊同乘以嚎 并把結(jié)果相加得 噸 2 k 2 善 畦 如吐j 啦 瓦 l z 4 將 2 4 兩端同乘以h 并對 從1 到m 求和可得 i i k l l 2 妒1 1 2 拳磚一 甚 t 最 w 釘t 一u 5 t 結(jié)合 2 3 可得 扣1 1 2 抄t 1 2 姐 即