（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第59課 圓的綜合問題要點導(dǎo)學(xué).doc

【南方鳳凰臺】（江蘇專用）2016屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第59課 圓的綜合問題要點導(dǎo)學(xué)要點導(dǎo)學(xué)各個擊破與圓有關(guān)的范圍與最值問題已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-6x-8y+21=0.(1) 求的取值范圍;(2) 求x2+y2+2x+4y的最大值與最小值.解答由x2+y2-6x-8y+21=0得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-4)2=4,所以方程x2+y2-6x-8y+21=0是以c(3,4)為圓心、2為半徑的圓.(1) =表示圓上任意一點m(x,y)與原點o(0,0)連線的斜率.作圖可以發(fā)現(xiàn)過原點作圓的切線,兩條切線的斜率分別是的最大值與最小值.設(shè)切線為kx-y=0,則=2,解得k=,所以.(2) 因為x2+y2+2x+4y=(x+1)2+(y+2)2-5,所以x2+y2+2x+4y表示圓上任意一點m(x,y)與定點a(-1,-2)的距離的平方與5的差,ac=2,作圖發(fā)現(xiàn)m=(ac+2)2=56+8,m=(ac-2)2=56-8,所以x2+y2+2x+4y的最大值是51+8,最小值是51-8.精要點評(1) 對于型問題?？梢赞D(zhuǎn)化為圓上任意一點p與定點q連線的斜率.(2) 對于x2+y2-2mx-2ny型問題,可以轉(zhuǎn)化為圓上任意一點m與定點n(m,n)間的距離的最大、最小值問題.在具體解題時注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.如果實數(shù)x,y滿足(x+2)2+y2=3.(1) 求的最大值;(2) 求2x-y的最小值.解答(1) 問題可轉(zhuǎn)化為求圓(x+2)2+y2=3上任意一點到原點連線的斜率k=的最大值, 由圖形性質(zhì)可知,由原點向圓(x+2)2+y2=3作切線,其中切線斜率的最大值即為的最大值.設(shè)切線方程為y=kx,即kx-y=0,由=,解得k=或k=-,所以的最大值為.(2) 因為x,y滿足(x+2)2+y2=3,所以可設(shè)所以2x-y=-4+2cos -sin =-4+sin(+),所以2x-y的最小值為-4-.直線與圓的位置關(guān)系(2014江蘇模擬)若圓m經(jīng)過不同的三點a(0,1),b(2,0),p(m,0),且斜率為1的直線與圓m相切于點p,求圓m的方程.解答由a(0,1),b(2,0)在圓上,可得圓m的弦ab的中垂線方程為4x-2y-3=0,bp也是圓m的弦,所以圓心在直線x=上.設(shè)圓心m,因為圓心m在直線4x-2y-3=0上,所以2m-2n+1=0.又因為斜率為1的直線與圓m相切于點p,所以kmp=-1.即=-1,整理得m-2n-2=0.由可得m=-3,n=-,所以m,半徑ma=.故圓m的方程為x2+y2+x+5y-6=0.(2014佛山模擬)如圖,已知半徑為1的圓o1與x軸交于a,b兩點,om為圓o1的切線,切點為m,且m在第一象限,圓心o1的坐標(biāo)為(2,0),二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過a,b兩點.(變式)(1) 求二次函數(shù)的解析式;(2) 求切線om的函數(shù)解析式.解答(1) 由題意知,圓o1的方程為(x-2)2+y2=1,令y=0,解得x=1或x=3,故點a的坐標(biāo)為(1,0),點b的坐標(biāo)為(3,0).由于二次函數(shù)y=-x2+bx+c經(jīng)過a,b兩點,則有解得故二次函數(shù)的解析式為y=-x2+4x-3.(2) 設(shè)直線om所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=kx,由于點m在第一象限,所以k0.由于直線om與圓o1相切,則=1,解得k=,故切線om的函數(shù)解析式為y=x.圓的綜合問題 (2014安徽示范高中模擬)已知點e(-2,0),f(2,0),曲線c上的動點m滿足=-3,定點a(2,1),由曲線c外一點p(a,b)向曲線c引切線pq,切點為q,且滿足pq=pa.(1) 求線段pa的最小值;(2) 若以點p為圓心所作的圓p與曲線c有公共點,試求半徑取最小值時圓p的標(biāo)準(zhǔn)方程.解答(1) 設(shè)點m(x,y),則=(-2-x,-y),=(2-x,-y),因為=-3,所以(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=-3,即x2+y2=1,所以曲線c的方程為x2+y2=1.因為pq=pa,所以po2-1=pa2,即a2+b2-1=(a-2)2+(b-1)2,化簡得b=-2a+3.pa=,所以線段pa的最小值為.(2) 設(shè)圓p的半徑為r,因為圓p與圓c有公共點,圓c的半徑為1,所以|r-1|cpr+1,即rcp-1且rcp+1,而cp=,故當(dāng)a=時,opmin=.此時b=-2a+3=,rmin=-1.故半徑取最小值時圓p的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=.(2014揚泰南宿二調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓c:x2+y2=r2和直線l:x=a(其中r和a均為常數(shù),且0 r a),m為直線l上一動點,a1,a2分別為圓c與x軸的兩個交點,直線ma1,ma2與圓c的另一個交點分別為p,q.(1) 若r=2,點m的坐標(biāo)為(4,2),求直線pq的方程;(2) 證明:直線pq過定點,并求該定點的坐標(biāo).解答(1) 當(dāng)r=2,m(4,2),則a1(-2,0),a2(2,0).直線ma1的方程為x-3y+2=0,聯(lián)立方程組解得p.直線ma2的方程為x-y-2=0,聯(lián)立方程組解得q(0,-2). 由兩點式,得直線pq的方程為2x-y-2=0.(2) 由題設(shè)得a1(-r,0),a2(r,0).設(shè)m(a,t),直線ma1的方程為y=(x+r),直線ma2的方程為y=(x-r).由解得p.由解得q.于是直線pq的斜率kpq=,直線pq的方程為y-=.上式中令y=0,得x=,是一個與t無關(guān)的常數(shù).故直線pq過定點.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.(1) 若此方程表示圓,求m的取值范圍;(2) 若(1)中的圓與直線x+2y-4=0相交于m,n兩點,且omon(o為坐標(biāo)原點),求m;(3) 在(2)的條件下,求以mn為直徑的圓的方程.思維引導(dǎo)omon(o為坐標(biāo)原點)等價于以mn為直徑的圓的經(jīng)過原點.規(guī)范答題(1) 因為(x-1)2+(y-2)2=5-m是圓,所以m5.(3分)(2) 設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2),則x1=4-2y1,x2=4-2y2,則x1x2=16-8(y1+y2)+4y1y2.因為omon,所以x1x2+y1y2=0,所以16-8(y1+y2)+5y1y2=0.由得5y2-16y+m+8=0,所以y1+y2=,y1y2=,代入,得m=. (8分)(3) 以mn為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0,所以所求圓的方程為x2+y2-x-y=0. (14分)1. 圓心在x-y-4=0上,并且經(jīng)過圓c1:x2+y2-4x-3=0和圓c2:x2+y2-4y-3=0的交點的圓的方程為.答案x2+y2-6x+2y-3=02. 對于任意實數(shù)k,直線(3k+2)x-ky-2=0與圓x2+y2-2x-2y-2=0的位置關(guān)系是.答案相切或相交解析根據(jù)直線恒過(1,3),且(1,3)在圓上可知直線與圓相交或相切.3. 已知直線2x+y-=0與圓x2+y2=2相交于a,b兩點,o為原點,那么=.答案0解析因為圓心(0,0)到直線2x+y-=0的距離為1,所以直線被圓截得的弦長ab=2=2.因為oa2+ob2=ab2,所以aod=90,所以=0.4. 若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,則實數(shù)a的值為.答案1解析圓的方程可化為(x+1)2+(y-2)2=5,因為直線經(jīng)過圓的圓心(-1,2),所以3(-1)+2+a=0,解得a=1.5. (2014惠州模擬)已知直線l1與直線l2:3x+4y-6=0平行,且與圓c:x2+y2+2y=0相切,那么直線l1的方程是.答案3x+4y-1=0或3