八年級(jí)相似三角形提優(yōu)4.30附答案.doc

龍文教育-您值得信賴(lài)的專(zhuān)業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校 龍文教育學(xué)科導(dǎo)學(xué)案ggggggggggggangganggang綱 教師: 戴龍龍 學(xué)生: 洪婧琪 日期: 2013 年 4 月 30 日 時(shí)段: 15:0017:00 課 題相似三角形的性質(zhì)學(xué)情分析學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，需要在現(xiàn)學(xué)基礎(chǔ)上進(jìn)行深化學(xué)習(xí)目標(biāo)與考點(diǎn)分析了解相似三角形的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)解題學(xué)習(xí)重點(diǎn)了解相似三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)難點(diǎn)學(xué)會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)解題學(xué)習(xí)方法教師一對(duì)一個(gè) 性 化 輔 導(dǎo) 過(guò) 程一、 基礎(chǔ)鞏固三角形相似的情況分類(lèi) （1）平截A型 （2）斜截A型 （3）平截X型 （4）斜截X型_B_C_D_E_A （5）旋轉(zhuǎn)型 （6）反射型（APC90） （7）直角型（APC=90） （APB=CPD）請(qǐng)你寫(xiě)出每種類(lèi)型中的你認(rèn)為的相似三角形以及它們的對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角。2、 相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等2相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例3相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比4相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 5相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖5，與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）進(jìn)而可得四、相似三角形的判定1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似2如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似3如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似4如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的你對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似可簡(jiǎn)單地說(shuō)成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似5如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似6直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形相似（常用但要證明）7如果一個(gè)等腰三角形和另一個(gè)等腰三角形的頂角相等或一對(duì)底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似；如果它們的腰和底對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)等腰三角形也相似五、相似證明中的比例式或等積式、比例中項(xiàng)式、倒數(shù)式、復(fù)合式證明比例式或等積式的主要方法有“三點(diǎn)定形法”1橫向定型法欲證，橫向觀察，比例式中的分子的兩條線段是和，三個(gè)字母恰為的頂點(diǎn)；分母的兩條線段是和，三個(gè)字母恰為的三個(gè)頂點(diǎn)因此只需證2縱向定型法欲證，縱向觀察，比例式左邊的比和中的三個(gè)字母恰為的頂點(diǎn)；右邊的比兩條線段是和中的三個(gè)字母恰為的三個(gè)頂點(diǎn)因此只需證3中間比法由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時(shí)常會(huì)碰到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒(méi)有相同點(diǎn)的情況，此時(shí)可考慮運(yùn)用等線，等比或等積進(jìn)行變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找相似三角形這種方法就是等量代換法在證明比例式時(shí)，常用到中間比比例中項(xiàng)式的證明，通常涉及到與公共邊有關(guān)的相似問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題的典型模型是射影定理模型，模型的特征和結(jié)論要熟練掌握和透徹理解倒數(shù)式的證明，往往需要先進(jìn)行變形，將等式的一邊化為1，另一邊化為幾個(gè)比值和的形式，然后對(duì)比值進(jìn)行等量代換，進(jìn)而證明之復(fù)合式的證明比較復(fù)雜通常需要進(jìn)行等線代換（對(duì)線段進(jìn)行等量代換），等比代換，等積代換，將復(fù)合式轉(zhuǎn)化為基本的比例式或等積式，然后進(jìn)行證明六、相似證明中常見(jiàn)輔助線的作法在相似的證明中，常見(jiàn)的輔助線的作法是做平行線構(gòu)造成比例線段或相似三角形，同時(shí)再結(jié)合等量代換得到要證明的結(jié)論常見(jiàn)的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代換等如圖：平分交于，求證：證法一：過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，點(diǎn)評(píng)：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“A”型圖的基本模型證法二；過(guò)作的平行線，交的延長(zhǎng)線于，點(diǎn)評(píng)：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“X”型圖的基本模型七、相似證明中的面積法面積法主要是將面積的比，和線段的比進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題常用的面積法基本模型如下：如圖：如圖：如圖：八、相似證明中的基本模型【例題精講】【例1】 如圖，中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，使得，則 【例2】 如圖，已知中，與相交于，則的值A(chǔ). B.1 C. D.2【例3】 在中，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于， 求證：.【例4】 如圖，在的邊上取一點(diǎn)，在取一點(diǎn)，使，直線和的延長(zhǎng)線相交于，求證：【例5】 如圖，、為邊上的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，一條平行于的直線分別交、和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、和.求證：.【例6】 如圖，已知，若，求證：.【例7】 如上圖，垂足分別為、，和相交于點(diǎn)，垂足為.證明：.【例8】 如圖，已知三個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形相鄰并排，求【例9】 如圖，已知，找出、之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【例10】 如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，直線平行于，且與、及的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)、和.求證：【例11】已知，如圖，四邊形，兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后交于、，對(duì)角線，的延長(zhǎng)線交于求證：【例12】已知：為的中位線上任意一點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線分別交對(duì)邊、于、，求證：【例13】設(shè)、分別是凸四邊形的邊、上的點(diǎn)，且，求證：直線與之間的夾角等于直線與之間的夾角【例14】如圖，內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)作各邊的平行線，把分成三個(gè)三角形和三個(gè)平行四邊形若三個(gè)三角形的面積分別為，則的面積是 【例15】如圖，梯形的兩條對(duì)角線與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為，則梯形的面積是（ ）ABCD【例16】如圖，梯形中，兩條對(duì)角線、相交于，若，那么 【例17】如圖所示，在中，為的中點(diǎn)，是邊上的點(diǎn)，求的面積與的面積的兩倍的和【例17】如圖，已知，求證：.【基礎(chǔ)題型回顧】 1、恒相似三角形 第一：頂角（或底角）相等的兩個(gè)等腰三角形相似。 第二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。 第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。 2、掌握好相似三角形的判定方法，看題目中已有什么條件，還缺少什么條件。 有平行截線 用判定定理 有一對(duì)等角，找 另一對(duì)等角 夾邊成比例 夾角相等 判定三角形相似的 有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，找 第三邊也成比例 思路 有一對(duì)直角 直角三角形，找 一銳角 斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例 頂角相等 等腰三角形，找 一對(duì)底角相等 底和腰成比例3、重心例題1、下列每一組中兩個(gè)圖形相似的是-（ ）（A） 兩個(gè)等腰三角形，每個(gè)三角形都有一個(gè)內(nèi)角為（B） 鄰邊的比都等于2的兩個(gè)平行四邊形（C） 底角為的兩個(gè)等腰梯形 （D） 有一個(gè)角是的兩個(gè)等腰三角形例題2、判斷題： (1)兩個(gè)頂角相等的等腰三角形是相似的三角形。 （ ） (2)兩個(gè)等腰直角三角形是相似三角形。 （ ） (3)底角相等的兩個(gè)等腰三角形是相似三角形。 （ ） (4)兩個(gè)直角三角形一定是相似三角形。 （ ） (5)一個(gè)鈍角三角形和一個(gè)銳角三角形有可能相似。 （ ） (6)有一個(gè)角相等的兩個(gè)直角三角形是相似三角形。 （ ） (7)有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形是相似三角形。 （ ） (8)三角形的三條中位線圍成的三角形與原三角形相似。（ ） (9)所有的正三角形都相似。 （ ） (10)兩個(gè)等腰三角形只要有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等就相似. （ ）例題3、矩形ABCD，SADE =9，SACD =11，求陰影部分的面積。AD例題4、如圖,甲樓AB高18米,乙樓坐落在甲樓的正東面,已知當(dāng)?shù)叵挛?時(shí),物高與影長(zhǎng)的比是 0.5 :1,已知兩樓相距21米,那么甲樓的影子落在乙樓上有多高?E 例題5已知：如圖，在ABC中，C90，P是AB上一點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)P作PEAB交AC于E，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合，若AB10，AC8，設(shè)APx，四邊形PECB的周長(zhǎng)為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式例題6.如圖，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，點(diǎn)M沿AB邊從A點(diǎn)開(kāi)始向B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)N沿DA邊從D點(diǎn)開(kāi)始向A以1cm/s的速度移動(dòng)如果點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，用（s）表示移動(dòng)時(shí)間（09），求：（1）當(dāng)為何值時(shí)， ？（2）計(jì)算四邊形AMCN的面積，根據(jù)計(jì)算結(jié)果提出一個(gè)你認(rèn)為合理的結(jié)論；（3）當(dāng)為何值時(shí)，以點(diǎn)M、N、A為頂點(diǎn)的三角形與BCD相似？三、本次課后作業(yè)： 四、學(xué)生對(duì)于本次課的評(píng)價(jià)： 特別滿(mǎn)意 滿(mǎn)意 一般 差 學(xué)生簽字：五、教師評(píng)定： 1、 學(xué)生上次作業(yè)評(píng)價(jià)： 非常好 好 一般 需要優(yōu)化2、 學(xué)生本次上課情況評(píng)價(jià)：非常好 好 一般 需要優(yōu)化 教師簽字： 教導(dǎo)主任簽字： _龍文教育教務(wù)處 【例1】 如圖，中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，使得，則 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定，故，【答案】【例2】 如圖，已知中，與相交于，則的值為（ ）A. B.1 C. D.2【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】這類(lèi)題的解法：找適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，作適當(dāng)?shù)钠叫芯€，構(gòu)造基本圖形解題，或者直接運(yùn)用梅氏定理來(lái)解題.【答案】C【例3】 在中，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于， 求證：.【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【答案】過(guò)作交于，【例4】 如圖，在的邊上取一點(diǎn)，在取一點(diǎn)，使，直線和的延長(zhǎng)線相交于，求證：【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)和判定【答案】過(guò)作交于，又，【例5】 如圖，、為邊上的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，一條平行于的直線分別交、和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、和.求證：.【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【答案】過(guò)，分別作的平行線交于，兩點(diǎn)，交于，易知，即，又，即.【例6】 如圖，已知，若，求證：.【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【答案】 兩式相加并變形可得，即.【例7】 如上圖，垂足分別為、，和相交于點(diǎn)，垂足為.證明：.【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【答案】由，則必有進(jìn)而可知，兩式相加并變形可得，【例8】 如圖，已知三個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形相鄰并排，求【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】連接、，則，若，則可求，問(wèn)題的關(guān)鍵是證明【答案】【例9】 如圖，已知，找出、之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【答案】，過(guò)點(diǎn)、分別作的垂線，垂足為、. 由變式1可知，故 即點(diǎn)評(píng)：此題的證明過(guò)程體現(xiàn)了“集中”這一思想，將、集中到同一條線段上，從而發(fā)現(xiàn)它們的和是一個(gè)常數(shù).【例10】 如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，直線平行于，且與、及的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)、和.求證：【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【答案】點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)證明原結(jié)論的變形式兩個(gè)分式（比例）等于一個(gè)相同（或相等）的分式（比例）來(lái)證明他們【例11】 已知，如圖，四邊形，兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后交于、，對(duì)角線，的延長(zhǎng)線交于求證：【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【答案】證法一：過(guò)作交、于，則有，又，證法二：由塞瓦定理的充分性可得：又因?yàn)?，代入上式得，即所以【?2】 已知：為的中位線上任意一點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線分別交對(duì)邊、于、，求證：【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【答案】延長(zhǎng)、分別交過(guò)的平行的直線于、兩點(diǎn)，且，又，可得，又，【例13】 如圖所示，是一個(gè)凸六邊形，、分別是直線與、與、 與的交點(diǎn)，、分別是與、與、與的交點(diǎn)，如果，求證：【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)和判定【答案】本題的條件和結(jié)論都是三個(gè)線段之比的連等式，且、構(gòu)成一個(gè)與相似的三角形的三邊，因而可以考慮通過(guò)平移變換將、集中到一起構(gòu)成一個(gè)與相似的三角形如圖所示，將平移至位置，則，且，所以，且，因此，從而，且這說(shuō)明，且，進(jìn)而，且又因?yàn)?，于是，所以，注意到，故【?4】 設(shè)、分別是凸四邊形的邊、上的點(diǎn)，且，求證：直線與之間的夾角等于直線與之間的夾角【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)及判定【解析】法1：要求證夾角相等，而題目中的線段太分散，我們嘗試將線段進(jìn)行集中如圖所示，將平移至的位置，則，且過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，則，因而由三角形的角平分線的判定定理可知平分另一方面，由及可知，而，且，故，且，于是而，注意到平分，即得這就是說(shuō)，直線與之間的夾角等于直線與之間的夾角法2連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)連接，由可知注意到，只要再證明、即即可注意到 ， ，可得，而，故【例15】 如圖，內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)作各邊的平行線，把分成三個(gè)三角形和三個(gè)平行四邊形若三個(gè)三角形的面積分別為，則的面積是 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】設(shè)的面積為，則，故【答案】【例16】 如圖，梯形的兩條對(duì)角線與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為，則梯形的面積是（ ）ABCD【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【答案】B【例17】 如圖，梯形中，兩條對(duì)角線、相交于，若，那么 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【答案】【例18】 已知：的高所在直線與高所在直線相交于點(diǎn)（1）如圖l，若為銳角三角形，且，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，求證：；（2）如圖 2，若，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，則之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是 ；（3）在（2）的條件下，若，將一個(gè)角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合并繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這個(gè)角的兩邊分別交線段于兩點(diǎn)（如圖3