（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題.pdf

一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 摘要 摘要 本文研究 個(gè)如下形式的拋物型障礙問(wèn)題 求u z 丁 使得 l u 三 7 等一i 1 盯2 券一p 愛(ài)之0 b u 三等 y e 2 一k u 0 b u l u 0 t c 7 0 u z d 下 e d u d 7 u z z z c z d c z d c 名 d l 丁 l j 丁 l c z d 2 丁 l j 丁 l z 下 l 其中 盯 p k y z 和l 均為正常數(shù) c 和d 是常數(shù) 滿足c i nk z 是給定的已知函數(shù) 滿足f c c e 1 力 0 于 c 司且 z 二 二啊 礦一x z ze c l n i k nk 司 其中0 d i nk 這一問(wèn)題來(lái)自于對(duì)經(jīng)理股票期權(quán)的最佳實(shí)施策略的研究 它的特點(diǎn)是 在障礙條件b u 0 中出現(xiàn)了u 關(guān)于下的偏導(dǎo)數(shù) 這使得對(duì)這一問(wèn)題的研究 帶來(lái)很大的困難 本文采用切片法也即對(duì)時(shí)間變量丁離散的方法來(lái)逼近上述拋物型障礙問(wèn) 題 通過(guò)對(duì)近似解作精細(xì)的先驗(yàn)估計(jì) 證明了解在 位1 囝 中的存在性 其 中q c d f l 關(guān)鍵詞 經(jīng)理股票期權(quán) 拋物型障礙問(wèn)題 切片法 作者 張海玲 指導(dǎo)教師 余王輝 教授 ap a r a b o l i co b s t a c l ep r o b l e mr e l a t e dt oe x e c u t i v es t o c ko p t i o n sa b s t r a c t ap a r a b o l i co b s t a c l ep r o b l e mr e l a t e dt oe x e c u t i v es t o c ko p t i o n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w eh a v es t u d i e dt h a tt h ef o l l o w i n gf o r mo fap a r a b o l i co b s t a c l e p r o b l e me x i s ts o l u t i o n l u 三r 丁霧一 盯2 貉一p 愛(ài) 0 b u 蘭賽 一y e 一k u 0 b u 二t 0 u z c 丁 0 讓z d 丁 7 e d u d 7 u z 1 名 c z d c z d c 石 d z 7 l f 7 l c z d 1 7 厶 2 丁 z 丁 l w h e r er 盯 p k y l 和la r ea l lp o s i t i v en u m b e r s a n dca n dda r e c o n s t a n t w i t hc l nk d z i st h eg i v e nf u n c t i o n t om e e tf c o o c 硎 f z 0 i n c d l a n d 彳 一 e 1 一 1 艫一k 三 e c l n i k nk u 胡 w h e r e0 王 d l nk t h i sp r o b l e mc o m e sf r o me x e c u t i v es t o c ko p t i o n so nt h eb e s ti m p l e m e n t a t i o n s t r a t e g y a n di t sc h a r a c t e r i s t i c sa r e t h e r ee x i s t s 賽a to b s t a c l ec o n d i t i o nb u 0 w h i c hm a k e sm o r ed i f f i c u l tt or e s e a r c ht h i sp r o b l e m i nt h i sp a p e r w eh a v eu s e ds l i c i n gm e t h o dt os t u d y w ed i s c r e t et h et i m ev a r i a b l e 丁t oa p p r o a c ht h ea b o v e m e n t i o n e dp a r a b o l i co b s t a c l ep r o b l e m w eh a v ep r o v e dt h e e x i s t e n c eo ft h es o l u t i o ni n 屹1 囝 t h r o u g he s t i m a t i n gt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n w h e r e q c d f 工 k e y w o r d s e x e c u t i v es t o c ko p t i o n s p a r a b o l i co b s t a c l ep r o b l e m s l i c i n gm e t h o d i i w r i t t e nb yz h a n gh a i l i n g s u p e r v i s e db yp r o f y uw a n g h u i 蘇州大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明及使用授權(quán)聲明 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明 所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下 獨(dú)立 進(jìn)行研究工作所取得的成果 除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外 本論文 不含其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果 也不含為獲得蘇 州大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位證書(shū)而使用過(guò)的材料 對(duì)本文的研究作 出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體 均已在文中以明確方式標(biāo)明 本人承擔(dān)本 聲明的法律責(zé)任 研究生簽名 熟選鹼e l 期 翌駕堡壘璺 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 蘇州大學(xué) 中國(guó)科學(xué)技術(shù)信息研究所 國(guó)家圖書(shū)館 清華大學(xué)論 文合作部 中國(guó)社科院文獻(xiàn)信息情報(bào)中心有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論 文的復(fù)印件和電子文檔 可以采用影印 縮印或其他復(fù)制手段保存論 文 本人電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致 除在保密期內(nèi)的 保密論文外 允許論文被查閱和借閱i 可以公布 包括刊登 論文的 全部或部分內(nèi)容 論文的公布 包括刊登 授權(quán)蘇州大學(xué)學(xué)位辦辦理 研究生簽名 盜姿獫 e l 期 絲 旦生坐旦 導(dǎo)師簽名 絳蘭窩雪 r i 個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 一引言 1 1 經(jīng)理股票期權(quán)的基本概念 蘆i 士 jl 茜 看漲股票期權(quán)是重要的金融衍生品之一 它是一種有價(jià)證券 看漲股票 期權(quán)的持有者有權(quán)利 而非義務(wù) 在某一特定期間 或特定時(shí)點(diǎn) 按約定價(jià) 格 實(shí)施價(jià) 向發(fā)行人購(gòu)買(mǎi)標(biāo)的股票 經(jīng)理股票期權(quán)是公司內(nèi)部制定的 作 為薪酬的一部分支付給公司高級(jí)管理人員等特定人選 如經(jīng)理人 的本公司 股票的看漲期權(quán) 公司發(fā)行經(jīng)理股票期權(quán)的目的是為了激勵(lì)經(jīng)理人卓有成效地工作 如果 經(jīng)理人努力工作 使得公司業(yè)績(jī)上升 引起公司股票價(jià)格上漲 則經(jīng)理人通 過(guò)實(shí)施經(jīng)理股票期權(quán)可獲得更高的收益 反之 若公司業(yè)績(jī)下滑 引起公司 股票價(jià)格下跌 則經(jīng)理人持有的經(jīng)理股票期權(quán)的價(jià)值下降 到期時(shí)如果公司 股價(jià)低于經(jīng)理股票期權(quán)的實(shí)施價(jià) 則經(jīng)理股票期權(quán)一文不值 為了使經(jīng)理股票期權(quán)達(dá)到激勵(lì)經(jīng)理人的效果 公司對(duì)經(jīng)理股票期權(quán)施加 了許多限制 如經(jīng)理股票期權(quán)不可轉(zhuǎn)讓 不可上市流通 當(dāng)公司股票價(jià)格下 跌時(shí) 經(jīng)理人不能通過(guò)買(mǎi)空股票來(lái)對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn) 等等 關(guān)于經(jīng)理期權(quán)的更多內(nèi)容請(qǐng)參見(jiàn) 1 2 1 1 1 3 1 1 2 經(jīng)理股票期權(quán)的實(shí)施策略 經(jīng)理人面臨的問(wèn)題是如何實(shí)施經(jīng)理股票期權(quán)以使得收益最大化 這個(gè) 問(wèn)題已經(jīng)有許多人研究過(guò) l a m b e r t l a r c k e r 與v e r e c h i a 8 c a r p e n t e r 2 以及 h a l l 與m u r p h y 5 考慮了經(jīng)理人必須一次全部實(shí)施期權(quán)的情況 i n g e r s o l l 6 個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題一引言 對(duì)經(jīng)理股票期權(quán)的邊際值得到一個(gè)模型 但是他們都沒(méi)有考慮可以部分實(shí) 施經(jīng)理股票期權(quán)的情況 j a i n 與s o b r a m a n i a n 7 在離散框架下考慮了部分實(shí) 施 而l c g r o g e r s j o s 6s c h e i n k m a n 1 j 考慮了經(jīng)理股票期權(quán)在到期前一段連 續(xù)時(shí)段上任何時(shí)間可以實(shí)施且可實(shí)施任意數(shù)量經(jīng)理股票期權(quán)的情況 他們?cè)?這種情況下研究了最佳實(shí)施策略 并得出了一個(gè)拋物型障礙問(wèn)題模型 設(shè)經(jīng)理人持有的經(jīng)理股票期權(quán)總數(shù)目為a 敲定價(jià)格為k 到期日為t 時(shí)刻 時(shí)的股票價(jià)格為s 在時(shí)段 0 t 已經(jīng)實(shí)施的期權(quán)數(shù)目為m z 0 時(shí)的 資產(chǎn)為孤則時(shí)刻t 時(shí) 經(jīng)理人的總資產(chǎn)為 x t x o e r u 一k d m 1 1 j o 其中r 為銀行利率 設(shè)為常數(shù) e r t 為貼現(xiàn)因子 設(shè)經(jīng)理入的效益函數(shù)為u 因?yàn)榻?jīng)理人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡 v z 可取為各種 風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù) 此時(shí) 經(jīng)理的的實(shí)施策略問(wèn)題為下述最優(yōu)控制問(wèn)題 找一個(gè) 右連續(xù)遞增適應(yīng)過(guò)程艦 滿足0 m a o 卅 使得 e u x t 為最大 即下述隨機(jī)控制問(wèn)題 v x o 8 訛u pe u 計(jì)f e k e k d m j 訓(xùn) 1 2 r n tu 其中m i n 一r t 設(shè)股票價(jià)格 的動(dòng)態(tài)過(guò)程為 d a d t a d w t 其中口表示股票的 平均增長(zhǎng)率 盯表示股票的波動(dòng)率 口和盯均為常數(shù) 眥為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn) 動(dòng) 則 d m a 一等一r d t a d w t 蘭 一r d r a d w t 1 3 2 個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 一 引言 設(shè)口為未實(shí)施的期權(quán)數(shù)目 正為t 時(shí)刻的的財(cái)富 定義價(jià)值函數(shù)u t y z a 為 u y z s u p e u z z te y u e r u 擊 l 磊 a n k y 1 4 顯然 v o y a v x o 文 1 中利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理得出v 滿足下述h j b 方程 m a x 象 g v 一愛(ài) e v e r t k t o r c 1 5 以及相應(yīng)的邊界條件 z y 茹 u 鼉 a 紗一e 一7 t k 1 6 l 釘 y z 0 v x 其中 g 三礦導(dǎo)螄叫品 p 口一譬 1 7 變量的變化范圍為 0 z o o 0 口 a 0 舌 t 一o o 秒 o o 文 1 分別就指數(shù)效益函數(shù)u z 一e 印 一7 和c r r a 效益函數(shù)礦 z 亍 醬兩種情況 通過(guò)數(shù)值計(jì)算討論了上述問(wèn)題解v t y 盤(pán) 8 的性質(zhì) 1 3 本文研究的問(wèn)題及主要結(jié)果 障礙問(wèn)題 1 5 1 7 的解t 依賴于四個(gè)變量 t n y 和z 其中變量口 和茁是作為該障礙問(wèn)題的兩個(gè)參數(shù) 但在障礙條件一愛(ài) e v e t k 愛(ài) 0 中出現(xiàn)了t l 關(guān)于口和z 的導(dǎo)數(shù) 這使得對(duì)該問(wèn)題的研究有很大的困難 因 此 我們首先要設(shè)法將該問(wèn)題化簡(jiǎn) 3 個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 一 引言 令z 薌 r t 7 a e 刊 并記v t y z 口 三f z z j 7 則不難驗(yàn)證問(wèn)題 1 5 一 1 7 化為如下形式 m i n r 晦一否 一e n 霧一 e 一k 1 i 挈o xj 1 a 0 一0 0 z o o 0 a e 一7 t r a 1 8 l z z 0 u z 一 z o 1 z z 8 e 一7 t 0 a e r t 礦一 一 o z 0 為常數(shù) 并 且只考慮a 0 的情況 則不難證f z z n e 1 霉 z 0 f 記 z 0 r 三u z r 則由 1 8 一 1 9 知牡 z 彳 是下述障礙問(wèn)題的解 m i n p 下券一亂 賽 7 e 一 缸 0 一o o z 0 a e 一療 丁 口 1 1 0 u z a e r t 一e 7 一7 t 礦一k 十 一 3 0 2 0 c 名 川 r 1 1 2 厶讓三r 下萬(wàn)一互仃1 否萬(wàn)一p 瓦 o c 名 d z r l 1 1 2 b 缸三等 7 礦一k u o c 石 盔l 7 l 1 1 3 b u l u 0 c 名 d l 7 l 1 1 4 4 個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙同題 一引言 u z 1 z c z d u z c r 0 l 7 l u z d 7 一 i r e d 牡 d 7 j 7 0 l a c d 為常數(shù) 且c i nk d z 是給定的已知函 數(shù) 滿足 c i t d f 名 0 于 c d j 且 舷 2b 1 妒吲 三莖黼 珥 其中0 d i n k 這里 1 1 7 式對(duì)應(yīng)于番f 缸 z 7 e 矽一耳 j 甸 o z 是 函數(shù)一e r l e k 的逼近函數(shù) 一旦我們證明了當(dāng)d 足夠大時(shí) 1 1 2 一 1 1 7 的自由邊界落在 c d 之 內(nèi) 并得到有關(guān)一致估計(jì) 我們可以通過(guò)令c 一o o d o 和y 0 從 1 1 2 一 1 1 7 的解得出 1 1 0 1 1 1 的解 本文后面的內(nèi)容專門(mén)研究問(wèn)題 1 1 2 1 1 7 的解的存在性 下面是我們的 主要結(jié)果 定理1 1 記q c 回 1 l 則問(wèn)題 1 1 2 一 1 1 7 有解u 屹1 國(guó) 并且 滿足讓押 l 2 q 我們將用切片法來(lái)證明定理1 l 也即我們對(duì)時(shí)間f 離散的方法得出近似 解 再通過(guò)精細(xì)的估計(jì) 證明近似解收斂到 1 1 2 一 1 1 7 的解 5 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 二 離散問(wèn)題解的存在性 二離散問(wèn)題解的存在性 本節(jié)我們利用切片法來(lái)構(gòu)造 1 1 2 一 1 1 7 的近似解 并證明解的存在性 將 2 糾分為n 段 令h 哥 r n n h l n 0 1 2 問(wèn)題 1 1 2 1 1 7 的近似解為 l n 三一譬 一p 矗 r 竿 c z d b u n 三u n e 7 8 一k t k l 0 c z d l n 風(fēng) 0 c z d u o c 0 u d 0 m e d u n d 呦 z f 名 c 名 d 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 其中f z 由 1 1 8 給出 引理2 1 對(duì)于n l 2 問(wèn)題 2 1 一 2 6 有解 w 2 m c d 并且 滿足t l 0 于 c d 證明 引理2 1 的可用標(biāo)準(zhǔn)的懲罰方法證明 下面我們只給出證明的主 要步驟 選取適當(dāng)?shù)膽土P函數(shù)展和逼近函數(shù)丌 滿足 展 t c 一o o o o e 5 o 碰 t o 鹺 0 c o o o 2 7 展 t 0 t 0 展 t 1 t 2 e 6 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 二 離散問(wèn)題解的存在性 及 丌c c o o o o 篡l 0 駑t 主 三i 蘭乏t t 仁8 7 r f t 當(dāng) s e 丌f 當(dāng) l i r a 丌c t t 一o o t o o 其中0 e m i n l nk c d i nk 因?yàn)閡 o w 2 o o c d 且u o 0 于 c d 1 我們假設(shè)對(duì)t l 一1 引理的結(jié)果成 立 要證對(duì) 引理的結(jié)果也成立 為此考慮逼近問(wèn)題 一要如一弘疋 r r n 絲 蘭 廈 牡竹 一u n l e 一 r h n 妒 o 一百t 五玳一弘 e 廠 胰t 牡竹c 一 一1 e 一7 j2u c z d 2 9 疋 c 0 2 1 0 心 d w e d u 再 d 2 11 由標(biāo)準(zhǔn)的不動(dòng)點(diǎn)方法不難得出上述問(wèn)題有解 g 2 c d 下面我們對(duì) 作與e 無(wú)關(guān)的估計(jì) 我們需要證明下述一致估計(jì) 一倪 反 u 眥一u n l e 一砷扎妒一k 0 2 1 2 一e c ksu 艇一t l l e 一 y 霄c 8 一耳 2 1 3 0 l l w 一 1 c 田 甌 2 1 4 其中甌為與e 無(wú)關(guān)的正常數(shù) 但與8 一 i i 舭 i c 胡 有關(guān) 2 1 2 式的證明 由展 t 的定義知不等式的右端是成立的 假設(shè)z o c c 習(xí) 為廈 一 一l e 一7 h n 礦一k 的最小值點(diǎn) 由于碰 0 于r z o 也為 一 u n 一 e 一7 h l r g e g k 的最小值點(diǎn) 若z o d 則 亂眥一 l e t h l r g 艫一k 絢 0 結(jié)合 2 1 1 和 2 5 就有 一 一l e 一慨 c 一 徇 o 從而展 u n 一 i e t h n e k 幻 p o o 2 1 2 左式成立 若2 o c d 注意到 2 4 和 2 1 0 以及丌t e z 一 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 二 離散問(wèn)題解的存在性 在2 c 的右側(cè)恒等于零 e 足夠就有 一 一l e 一1 霄c 妒一 1 z o 0 及 一 一1 e 一帕鞏艫一 徇 0 此外 我們還可設(shè) 一 一1 e 一7 概 e 一x 動(dòng) 0 因此 由 2 9 得 在z o 點(diǎn) 廈 u 眥一t l i e l 肼 r 娟 百0 2 一 一 e 一7 仉 c l p 一 l c y h w e 艫一k 一魯 一叭e 訥櫨柳 警駙 1 e 7 h m e z k 百0 2 一l e 一慨 礦一聊 t n l e r h c 礦一聊 手 一1 e 一1 概妒一聊 p k l e 一伽心 一的 7 警 一l 1 一e 一1 丌c 艫一柳 0 a 2 一研壇 i e f h 霄e e z k 姒ie g k 礦 一1 r 艫e 一慨p k k e 一 e 2 1 2 百0 2 一7 九 一l e 一饑凡 e 一酌 e 名 k e 2 u i i 一 e 伽 礦一聊 p 百0 2 一7 九 一 e 一7 h 出l 聊t e 2 一k e 嵋一 e 一一r 概c 礦 1 一戶一 y h x e k 十r 丁h u n 1 1 一 因?yàn)樨?0 1 o 0 和 一l 0 我們從上式就得出 2 1 2 2 1 3 式的證明 由廈 t 的定義 若 一l n l e 一一r h 丌c 艫一k 一2 e 則 展 一 e 嘲p 以 塹些竽竺 由 2 1 2 式就可以得出 2 1 3 式右邊成立 若 一u n 一1 e 一 l h 霄e e f k 一2 e 則 2 2 7 式自然成立 所以在任何情況下 2 1 3 式的左邊也成立 2 1 4 式的證明 對(duì) 2 9 一 2 1 1 作w 2 護(hù)估計(jì) 并利用 2 1 2 式和 2 1 3 式 可以得 b c d 甌 i l 魯駙k c d i l 展 一 e 川州 叼 毗 1 因?yàn)?2 p c d 1 嵌入于c 1 c 司 所以0 i i c q 又由 2 9 和 2 1 2 得 0 p f c 田 g 所以得出j l 讓l f i o c d 1 銥 于是 2 1 4 成立 現(xiàn)在由 2 1 4 式知 2 9 2 1 1 的解簇 u r i c 在c 2 c 司 中是有界的 所以 存在一子列 u 岣 函以及u n w 2 o o c d 使得當(dāng)j o o 時(shí) e j 0 并且 讓 于t u 幸一l c d 釷竹e t i n于t 工 幸一l 田 c 叫 如 一以于f c d l 上一致收斂牡 l c 一 丁i c 上一敢收敏 一 于 c 司上 致收斂 再利用 2 9 一 2 1 1 通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的證明步驟 即可得出 是 2 1 一 2 6 的 解 剩下的我們只要證明u n 0 于 c d 設(shè)z l c c f l 是 的最大值點(diǎn) 若i t n z 1 一 一l z t e 一訥 1 1 一耳 0 則 z 1 0 則由 2 1 2 6 知 在z l 附近 u 有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且 一百o 2 t t 一p 疋 1 r 1 一 n t 正n o 一百 一p 1 讓n u 五 我們對(duì)上式應(yīng)用強(qiáng)極值原理和h o p f 引理 同時(shí)利用邊界條件 2 4 和 2 5 就可得出u z 1 w n 一1 c z d 刪n w 再一lc z i nk 一 如 0 c z d 3 1 3 2 3 3 其中 是與h 無(wú)關(guān)的正常數(shù) 3 2 表明自由邊界位于彳 i nk 的右側(cè) 證明 由 2 2 得魄 w n l 于 c 司 而由引理2 1 又得到t i j n e 帆艫 w n l i nk 我們用反證法 假設(shè)w n i n k w n l i n k 則由 3 1 知 一 一l 在名 i n k 取到最小值 從而 以 1 n k o 一以一1 1 nk o o 3 4 i 銣 i 1 nk 一0 一吐一1 t r ig 一0 s 0 7 由 u n e t r 礦一耳 十 得 w n i n k o t o n i n k o y r n z o n 1 n 3 5 i 以一l i n k 0 以一1 i n k 一0 y r i t o n 一1 1 n k 3 5 中的兩式相減 就有 以一武一1 i nk o f t 蠢一以一1 i nk 一0 y 一1 一 t o n 1 t r ig 7 h w n i nk 以一硼 一1 1 1 n k 一0 h w n i n k 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 三 離散問(wèn)題解的性質(zhì)及一致估計(jì) 由 3 2 蝴 e 協(xié)p 一 0 所以 以一以一 1 nk4 0 t u n 一 1 n 得 下面我們先設(shè)n 1 因?yàn)樵?c i n k 中枷 三一1 且 三 故由 2 1 一i 0 2 t t 一 叫w l 0 0 4 r r 墮掣 0 z c i n k 3 6 若存在z o c i nk 使得w t 如 挑 絢 則w l 一 t o o 在z o 取到最小值0 因?yàn)?叫l(wèi) i n k 一w o i n k 0 因此t t 一1 0 0 在 c i n k l 中不是常數(shù) 對(duì) 3 6 應(yīng)用強(qiáng) 極值原理 就有幻 c 再由h o p f 引理又有叫 c 一以 c 0 但這與邊界條 件 2 4 以及砒三0 矛盾 所以 這樣的z o 不存在 即鈕t t 0 0 于 c i nk 于 是 3 2 式對(duì)n 1 成立 現(xiàn)在考慮n 2 的情形 因?yàn)?3 2 對(duì)n 1 成立 所以我們可以假設(shè) 一1 一2 于 c i n k 對(duì)竹一1 用 2 1 一 2 3 就有 一譬 一一 一 一下w n 1 w n 2 o z c i nk wr 1 i t w n1 r r n1 i n 一百一 一 一 一 1 一s u z c 將 2 1 式與上式相減就有 一譬 仰竹二 1 一p 印一t u n 1 r r n 絲 過(guò) 彳 c l n 吲 再用與n 1 時(shí)的情況完全類似的推導(dǎo) 可得w n 一 于 c i n k 于是 3 2 證畢 最后我們來(lái)證明 3 3 由引理2 1 知u n o v c 司 而讓n w n e 一1 鏟一x 叫 e 一協(xié)p 一聊 一瓔芽i 撕i 所以 3 3 成立 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 三 離散問(wèn)題解的性質(zhì)及一致估計(jì) 引理3 1 證畢 r l 引理3 2 設(shè)u n 2 t 0 0 c 卅 為問(wèn)題 2 1 一 2 6 的解 則存在與h 無(wú)關(guān) 的正常數(shù)尬使得0 疋j i l o o d r i d t 一1 緬 由 2 1 2 3 得 在z o 的 個(gè)領(lǐng)域d 徇 內(nèi)成立 竿一譬 一p 疋 z 翔 3 8 因此 牡 c 3 d z d 對(duì)上式關(guān)于z 求導(dǎo)一次 就有 r 生產(chǎn)一譬 u 叫u o z 址 3 9 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 三離散問(wèn)題解的性質(zhì)及一致估計(jì) 而匈是 的最小值點(diǎn) 故u 幻 o 蟛 匈 0 再由上式得心 z o 一l 孫 一m i i d j a xl u 一 i 綜合前面的兩種情況 我們得到 r a l i 胡n 一m a x 1 c h 笮野i 畋一l l c h c 3 1 0 其中g(shù) 表示與h 無(wú)關(guān)的正常數(shù) 對(duì)于嵋的上界 我們用同樣的方法可以得到 平野牡 i m a x 1 c h m i c a xl u 一l c 3 11 ica l d il c 結(jié)合上面兩式就有t m a xi 仳 l i m a x 1 c h m a xi u n l l i c h c i c d ll c t a l 因?yàn)?1 c h n 1 c h 1 c 魯 e c l h 0 3 1 2 通過(guò) 個(gè)簡(jiǎn)單的迭代就可得出 笮野f 札 l 尬 引理3 2 證畢 口 引理3 3t 設(shè) w 2 c 司 為問(wèn)題 2 1 一 2 6 的解 則有l(wèi) l 監(jiān) 產(chǎn)ij 瀘 刪 其中 是與h 無(wú)關(guān)的常數(shù) 證明 令風(fēng) 寧 我們先估日n 的下界 由 3 1 1 也即 一1 e 一砷艫一k 十 所以 風(fēng) 竿 去 e 州扎刖 1 u n l o z c d l 3 1 3 1 3 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 三 離散問(wèn)題解的性質(zhì)及一致估計(jì) 下面估計(jì)鞏的上界 設(shè)砜由引理3 1 定義 假設(shè)以在z o 處取得最大 值 若w z o 一l 徇 利用引理3 1 的結(jié)果 與上面類似地有 風(fēng) t u n 1 去 e 州e l 卅 二1 一 颶 z m 3 1 4 因此 我們只需要考慮w n z o w n 一 z o 的情況 我們先對(duì)n 1 來(lái)證明 由 2 1 2 3 我們有 在z o 的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi) 寫(xiě)成 r n 半一等 一p t o 一1 5 0 1 5 r n 丁一 蠆u l p u l 2u t h a 2 矗 一p 危z r n 玩 譬硝 p 碥 3 1 6 設(shè)絢 c d 因?yàn)閦 o 是研的最大值點(diǎn) 故研 z o 0 h i z o 0 當(dāng)z o c 時(shí)用條件 2 4 再用n z 0 及u 0 c 2 l nk d 就有h l z o m 2 若7 o d 由弼 z o 0 即釷i c z o 碥 匈 注意到u l 和u o 均滿足 2 5 故 r l u l d 7 o u o d 因此 r l u l d 一咖 d r o 一7 1 u o d h 于是h l z o 綜合上述各種情況 我們就得到研 m 2 于 c d 下面考慮一般的扎 2 的情況 因?yàn)橘 絢 w n 一 徇 此時(shí)在z o 的一個(gè) 領(lǐng)域內(nèi)成立l n 0 這里k 由 2 1 0 給出 另外 總有l(wèi) 竹一1 u n l 0 所以 r 竿一譬 一p 疋 r 1 一一百 一p 2 u 麴 絲一百0 2 n 一p 疋一 r 一1 i 一百u n l p 一1 2u 上面兩式相減并整理可以得 3 1 7 3 1 8 一譬碟一札磁 風(fēng) r 一 風(fēng)咄 3 1 9 1 4 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 三 離散問(wèn)題解的性質(zhì)及一致估計(jì) 因?yàn)?一 一h 用札 1 時(shí)的證明方法 不難得出 m c a d j x m a x 1 c h 繁野i 鞏一l i c 3 2 0 其中g(shù) 是與h 無(wú)關(guān)的正常數(shù) 結(jié)合鞏的下界估計(jì) 就有 m l c a 4 j xl h n l 一m a x 1 c h 笮芽i 鞏一 g 3 2 1 用引理3 2 證明中的方法 通過(guò) 個(gè)簡(jiǎn)單的迭代就可得出 m i c a x d j l h i 引理3 3 證畢 口 引理3 4 設(shè)t n 2 c d 為問(wèn)題 2 1 一 2 6 的解 則有0 仳釧護(hù) m 地 其中胝是與h 無(wú)關(guān)的常數(shù) 證明 由 2 1 式 l n u n 0 由引理3 1 引理3 2 引理3 3 及三 的表 達(dá)式 我們就得到e s ss u pu m 3 下面我們來(lái)估計(jì) 的下界 i c d j 因?yàn)?w 2 o o i t 司 所以心在 c 司上是l i p s c h i t z 連續(xù)的 從而 在 c d 上依經(jīng)典導(dǎo)數(shù)的意義幾乎處處存在 記x 三z c d l 仳 z 和碟一 z 均存在 則 c d l x 是零測(cè)集 設(shè)z o x w n u n e r r n c f f i k 由引理3 1 中給出 則加 磊 和娥一l 翔 均存 在 若 詢 一l 詢 則由 2 1 0 一 2 1 2 在z o 的某領(lǐng)域內(nèi)成立l u n 0 所 以 由引理3 1 引理3 2 引理3 3 及l(fā) n 的表達(dá)式即可得出i 仳 幻 l m 3 若 動(dòng) 魄一 翔 則由 3 1 w n 一w n l 在z o 取到最小值 從而必有 咄 徇 一嵋一l 詢 0 和碟 匈 一以一l z o 0 又由 3 2 知z o i n k d 所以 匈 w n e r r n c 卅 絢 e 一怖 羽一耳 碟一2 7 m e z 切 h 2 e 勉一 y e 2 w n 孫 1 5 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 三 離散問(wèn)題解的性質(zhì)及一致估計(jì) e t r e o k 蝶一t 一2 7 r e z w 一 卜2 e 鈀一7 e w n 一 匈 札 一l 徇 e 一伽 礦 一耳 e 倆一l c 加一 w nl 緬 卅 其中 一2 t n e z w 二一 h 2 蠢e 2 z i t e 2 w n 一 翔 碟一 勁 e 怖 l 棚一耳 u 一 2 7 一 e t 一 h 2 蠢一 e 勉一 y t n l e z w n 一 徇 由引理1 1 和引理1 2 的結(jié)果 我們有 l i c i 碟一1 徇 i c i u 一1 絢 i g 其中c 為與h 無(wú)關(guān)的常數(shù) 可能不同 由上述不等式 我們就得碟 匈 一 1 h c e s ss u pl u 一l i h o c 胡 綜合前面的結(jié)果 就有e s s i n f 喘 一m a x 1 h c e s s s u p 讎一1 l h c c 再 i v i j l c 4 i 結(jié)合上界估計(jì) 得 e s ss u p 1 u f m a x 1 h c e s ss u pi 一li h c g c 司f c d l 最后用引理3 2 證明中的迭代方法 就可得到e s ss u pi 銘i m 3 c c 日 引理3 4 證畢 口 引理3 5 設(shè) w 2 0 i t d 為問(wèn)題 2 1 0 2 1 5 的解 則有估計(jì) 翕薹h z d 墮號(hào)紅 2 如 艦 其中尥是與h 無(wú)關(guān)的常數(shù) 證明 同引理3 3 的證明中一樣 我們令 寧 e 一 十 由 2 4 以 c 0 由 2 5 有 當(dāng)z d 時(shí) 磁 f i e a 盟竽 鄧d 竿一 y e k h 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 三 離散問(wèn)題解的性質(zhì)及一致估計(jì) 因此 由引理3 1 和引理3 3 的結(jié)果 就有i 取 d i 以 所以在邊界上日 是 有界的 此外 因?yàn)?w n 咄 二 一1 e 一 r t n e s k 一w n 一1 e 一怖一l c l k 一 i 一 hh 0 所以 總有鞏 0 e t r e 一 一e 1 h l e 4 一耳 t 正h l 若名 c d 且w n 名 一1 z 此時(shí)z l nk d 則皈 z 嵋一l z 并且 除一個(gè)零測(cè)集外有碟 z 醒一 彳 轉(zhuǎn)化到風(fēng)我們就有 z 一 一i t i j n 一1 e 一怖一1 一 7 心e 一協(xié) l 耳 一心一1 e 一怖一1 艫一 h 一 y e t n w n e r r n e z k t 1 n l w n i c t t n z e 一k n e t r e 一k 一e y r z e 4 一 2 叫k f 一 一7 e z m e y r e k r t n l e y 蕾 一x e k 因此 此時(shí)職是有界的 而 碟e 一叩h 礦一k 一叫 一l e 一 一l 一耳 九 一7 e 竺坐二竺竺二竺二魯二 亟 二 二竺二蘭 凡 卜e 7 叫n e 一1 偉 8 一k 一7 n 一1 w n l e 一 r 7 h 一1 e k 因此 碟是下有界的 此外 因?yàn)? w n w n l w n 2 所以 風(fēng)一風(fēng)一l 下u n u n 1 一墜學(xué) l n w n e 一3 r n 一k 一w n 一1 e m 一1 e l k 1 1 7 n 1 e 一一r h 一1 e z k 一叫n 2 e 一一y r 竹一2 礦一k 1 7 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題三離散問(wèn)題解的性質(zhì)及一致估計(jì) 譬 0 一7 t n i e 一 e w i e 一k 一e 7 h 一2 c 一 因此 磁是下有界的 我們把上述結(jié)果總結(jié)如下 i 1 z 0 z c 明 以 c 0 l 磁 d i c l 聯(lián) 名 i g 聯(lián) z c 風(fēng) z 一風(fēng)一l 名 0 幾乎處處z x 其中c 為不依賴于h 和禮的正常數(shù) 而 x 三 z c d i z 一l z 下面我們先證明下式 對(duì)幾乎處處z c d l 玩一i i 1 風(fēng) 鬟群 筆磁 妻玩 1 c h 鞏 其中c 為與h 和扎無(wú)關(guān)的正常數(shù) 3 2 5 的證明 分下面兩種情況來(lái)考慮 w n 則由 2 1 2 3 知 兩式相減得 u n t h 一1 一 乃 一l 一 u n 2 r 一l 一 廬 2 百 d u n 譬 一 肛疋巾 3 2 6 3 2 7 玩一玩一 羆碟 筆磁 h h 一 3 2 8 由 3 2 2 式 上式兩邊乘以就得到 3 2 5 w n 一1 1 8 l l l l 2 3 4 5 2 2 2 2 3 3 3 3 f f i f 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 三 離散問(wèn)題解的性質(zhì)及一致估計(jì) 由 3 2 2 一 3 2 4 知 此時(shí) 3 2 5 的若端非正 而取c 足夠大時(shí) 3 2 5 的 右端非負(fù) 因此 3 2 5 成立 現(xiàn)在對(duì) 3 2 5 式在 c d 上積分 并對(duì)n 1 2 n 求和 得 n d 風(fēng)一風(fēng)一1 風(fēng)d 名 n lj c 三nz d h a 2h 筆磁 h h v h c h d z 耋 z d 瓦h(yuǎn) a 2 仃n 風(fēng)如 關(guān)c 聯(lián)m z c 上面我們用了圾的一致有界性及不等式2 a b a 2 譬 利用 3 2 2 我們有 三nz 矗互h r a h 2h 一 膨d 2 如 2 d 名 三n 羆娥 由鞏 田 代入前一式 就有 妻 d 鞏一玩 1 碥dz 一 耋h廠d 磁 dz cn l j a t tj c 7 鞏一玩一 曰n 一告 磁 2 o n 1 而上式的左邊為 量廠d 風(fēng)一風(fēng)一 風(fēng)如 薹z d 丟 玩 2 三 風(fēng)一玩一 2 一互1 h n 1 2 如 一 d 曇 風(fēng) 如 因此 麗0 2 三n 危z d 磁 2 d z z d 丟 凰 2 d z g 引理3 5 證畢 口 1 9 艫一砜艫一砜 d d z z 腳 腳 一 一 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題四近似解的收斂性 四近似解的收斂性 下面我們將區(qū)間 2 1 一 2 6 的解 連接起來(lái) 令 t u n 一警 一 丁 n 1z 丁 4 1 記q c d x z l 由前面引理3 1 到引理3 5 的估計(jì) 知存在與h 無(wú)關(guān) 的正常數(shù)c 使得 憎0 憾 口 g i i 心怯 q c 4 2 4 2 右隱含著 0 u h 0 伊 o c 4 3 其中0 a 1 因此 存在u h 的子列 不妨仍記為礦 以及t 使得當(dāng)h 0 時(shí) 諺 于c 國(guó) u 乞j 仳 名于t i c l q t j 蜥于伽木一l 0 q 4 4 心ju 下于t i 一l 2 q 鏟 t 于c o 我們要證明t 是 1 1 2 1 1 7 的解 對(duì)任意的試驗(yàn)函數(shù) 名 丁 卵 q 0 于q 及 一l 7 1 2 有 批k 砂 r h i 0 2 u 乞一以h 加丁竿一砂百0 2 卜 一壘 碟一 一 一c u u 一罕 嵋一u 圳 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 四 近似解的收斂性 利用 2 1 就有 咖l u 加 7 一丁n 竿 毋譬魚(yú) 一u 一 缸丁t n t t 正 l 一心一 上式關(guān)于名在 c 明上積分 利用分部積分公式 以及i r 一 ish 得 z d 三u d z 九z dl 竿i r 百o 2i 妒 i i 1 1 p i d z 一c 其中c 是與 有關(guān)但與h 無(wú)關(guān)的正常數(shù) 上式關(guān)于丁在 0 l 上積分 就有 f q c l u i l d 名打 一c h 令h 一0 并用 4 4 得 c l u d z d v 0 v g f q 0 于q q 因此 l u 0 幾乎處處在q 中成立 即 1 1 2 成立 下面證明 1 1 3 設(shè) 一1 7 n 1 2 由 2 3 和u h 的定義 得 b u h 三暉h 7 e 一k 礦 生產(chǎn) 7 e z k u n 一罕 讓n 一 e y h 礦 礦k 一 1 一 7 e 一k u 一魚(yú) 一 一 一e r h e k 1 7 e z k y e 一k 一h 下 竿 三圣n 由 4 4 我們就有 對(duì)任意的 卵 q 0 于q 有 厶b u 咖d z 打 溉厶b u d z 打 牌三n 危厶圣n 出打 所以b u 0 幾乎處處于q 1 1 3 成立 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題 四近似解的收斂性 而 1 1 4 也可類似地證明 由條件 2 3 及 4 4 不難證明 l i r a f q l u b u h d z 二o v c g q ql u h b u h 妒如 厶 舢下h 一譬讓乞一心 u r h 7 e z g 州批 厶 丁罅一譬u 乞一p u 7 e z u h d 名 譬名 讓磐咖 u u 九 d z 一厶u h u d z 抑厶 u 跏d z 對(duì)上式取h 0 的下極限 并利用 4 4 以及 厶 撕 2 d p d z 1 1 曲f 石 u 2 如 v 卵 q o 于q 就可以得出 厶眈b u 紕鰣m i n f q l b 牡紕 o v 卵 礬 o 于q 從而l u b u 0 幾乎處處于q 而由 1 1 2 和 1 1 3 知l u b u 0 幾乎處處于 q 因此 l u b u 0 幾乎處處于q 最后 1 1 5 1 1 7 可由 2 4 2 6 以及鏟和仳 在國(guó)中的一致收斂性得 出 至此 我們就證明了定理1 1 口 一個(gè)與經(jīng)理期權(quán)有關(guān)的拋物型障礙問(wèn)題參考文獻(xiàn) 參考文獻(xiàn) 1 l c g r o g e r s j o s ds c h e i n k m a n o p t i m a l e x e r c i s eo fe x e c u t i v e s t o c k o p t i o n s f i n a n a es t o c h 2 0 0 7 1 1 3 5 7 3 7 2 2 1c a r p e n t e r j t h ee x e r c i s ea n dv a l u a t i o no fe x e c u t i v es t o c ko p t i o n s j f i n a n c i a l e c o n 4 8 1 2 7 1 5 8 1 9 9 8 3 c v i t a n i c v jk a r a t z a s ih e d g i n gc o n t i n g e n t c l a i m sw i t h c o n s t r a i n e d p o r t f o l i o s a n n a p p l p r o b