（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）二元域上的線性含錯(cuò)方程.pdf

摘要 二元域上的線性含錯(cuò)方程來源于通信領(lǐng)域中信息出錯(cuò)這一實(shí)際問題 本文 擬要討論的是信息傳輸中有較小部分信息出錯(cuò)時(shí)的解決方法 對(duì)于這個(gè)問題 通常是采用糾錯(cuò)碼來解決的 而本文在整數(shù)分拆理論 線性代數(shù)相關(guān)理論的 基礎(chǔ)上 試圖采用線性含錯(cuò)方程來解決這個(gè)問題 全文共分為四章 第一章為導(dǎo)論 簡要介紹了線性含錯(cuò)方程問題產(chǎn)生的背景 以及本文所涉 及到的一些重要概念 第二章給出了線性含錯(cuò)方程的一類新解法 在介紹排列方陣 整數(shù)分拆 以及一類n m 矩陣的遞推分解的基礎(chǔ)上 得出一個(gè)重要的結(jié)果 定理2 2 2 對(duì)于線性含錯(cuò)方程w x a 的一個(gè)解z 必存在有限個(gè)行向量 z 勖 z i 使得t l t l 扛 現(xiàn) 伽 z 七 伽 h 這里詹sm o 伽 毛 s 0j n w b e m 且戤 t 1 糾2 一 蠹的維數(shù)n r 2 n n r o 1 r 2 芝n 的和為 m m 或m 分別相應(yīng)于上述對(duì)引理2 2 1 中矩陣a 的分解的兩種情形 在第 一種情形下 m 是矩陣a 分解所得最后的行向量b k 的維數(shù) 最后給出了一個(gè)基于上面方法的算法和求解算例 第三章對(duì)線性含錯(cuò)方程的解集合進(jìn)行了理論上的討論 用廣義逆的相關(guān)理 論闡述了解的結(jié)構(gòu) 第四章討論了在此類方程的解法上引入的 最小二乘法 問題 其本質(zhì)是 一個(gè)在非阿賦值下求其極值的問題 我們通過建立一種2 一a d i c 域上的整數(shù)環(huán) 忍到最的映射 得到一些初步的結(jié)果 關(guān)鍵詞 線性含錯(cuò)方程 整數(shù)分拆理論 非阿賦值 重量 2 l i n e a re r r o re q u a t i o ni sr a i s e db yt h ep r o b l e mo fe r r o r si nt h ep r o c e s so fi n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o n t h i sp r o b l e mi sn s u a i l ys o l v e db yc o d i n gt h e o r ya n de r r o rc o r r e c t i n gt h e o r y b u tn o ww ea t t e m p t t os o l v ei tb yl i n e a re r r o re q u a t i o n w h i c hi sb a s e do nt h et h e o r yo fp a r t i t i o na n dl i n e a ra l g e b r a t h ep a p e ri ss t r u c t u r e di n t of o u rc h a p t e r s c h a p t e r1p r o v i d e sab a c k g r o u n do fl i n e a re r r o re q u a t i o na n di n t r o d u c e ss e v e r a lk e yd e f i n i t i o n s c h a p t e r2p r o v i d e san e wm e t h o dt or e s o l v el i n e a re r r o re q u a t i o n o nt h eb a s i so fa no v e r v i e wo f p e r m u t a t i o nm a t r i x p a r t i t i o nt h e o r ya n dt h es u c c e s s i v ed e c o m p o s i t i o no f l mm a t r i x w ed r a wa n i m p o r t a n tc o n c l u s i o na sf o l l o w i n g t h e o r e m 2 2 2f o ras o l u t i o no fal i n e a re r r o re q u a t i o nw z a b 硼 t h e r ee x i s tf i n i t er o wv e c t o r s z l z 2 z 七s u c ha s 塒 t t c z t t t 坩 f o rk m 0 塒 戤 r w b k m 七a n dt h es 眥o f7 1 r 2 他 ni st h ed i m e n s i o n so f z i 1 2 七 i sm m o rm i nt h ef i r s tc a s e m 女i st h ed i m e n s i o no fb k t h e nw eg i v ea na l g o r i t h ma sw e l la sar e l a t e de x a m p l eb a s e do nt h ep r e v i o u sa n a l y s i s c h a p t e r3h a sad i s c u s s i o na b o u tt h es o l u t i o ns p a c eo fl i n e a re r r o re q u a t i o nw i t ht h et h e o r yo f c h a p t e r4h a sad i s c u s s i o na b o u tt h el e a s ts q u a r em e t h o dt os o l v el i n e a re r r o re q u a t i o n s i nf a c ti t s ap r o b l e mo fe x t r e m u mo v e rn o n a r c h i m e d e a nv a l u a t i o n w eg i v eam a pf r o ma 易o(hù) n2 一a d i cf i e l dt o k e y v c o r d s l i n e a re r r o re q u a t i o n p a r t i t i o nt h e o r y n o n a r c h i m e d e a nv a l u a t i o n w e i g h t 聲明尸明 本人鄭重聲明 本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下 獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取 得的成果 撰寫成碩士學(xué)位論文 二元域上的線性含錯(cuò)方程 除論 文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外 對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集 體 均己在文中以明確方式標(biāo)明 本論文中不包含任何未加注明的其 他個(gè)人或者集體已經(jīng)公開發(fā)表或未公開發(fā)表的成果 本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān) 學(xué)位論文作者簽名 蘑爻塋凰 2 0 0 3 1 2 1 6 1 導(dǎo)論 1 1 背景介紹 編碼理論起源于現(xiàn)代通信技術(shù)與電子計(jì)算機(jī)技術(shù)差錯(cuò)控制研究的實(shí)際需 要 美國數(shù)學(xué)家香農(nóng) a s s h a n n o n 1 9 4 8 年發(fā)表的 通信的數(shù)學(xué)理論 為現(xiàn)代科學(xué) 技術(shù)開創(chuàng)了一門嶄新的學(xué)科 即信息論 在數(shù)字通信系統(tǒng)中 信息傳輸 或存 儲(chǔ) 所面臨的主要問題是在傳輸過程中出現(xiàn)差錯(cuò) 即傳輸?shù)目煽啃詥栴} 數(shù)字 通信系統(tǒng)的基本組成如下圖所示 信道編碼的基本思想是根據(jù)相關(guān)性來檢測和糾正傳輸過程中產(chǎn)生的差錯(cuò) 香 農(nóng)在信道編碼定理中指出 在編碼速率小于信道容量的條件下 通過編碼可 以使譯碼錯(cuò)誤率任意小 從而達(dá)到可靠通信的目的 編碼的作用是使信號(hào)序 列之間的歐幾里德距離增加 選定一個(gè)特定編碼的基本目標(biāo)有二 其一 用盡可能多的碼字達(dá)到較高的編碼效率 即使用盡可能少的冗余度 附加帶寬 其二 使碼字之間的距離越遠(yuǎn)越好 這樣 即使矢量在傳輸中受到干擾 它們?nèi)匀荒芤院芨叩母怕时徽_的譯碼 2 1 2 線性含錯(cuò)方程問題的提出 一般在信息傳輸中總會(huì)有干擾 當(dāng)我們編碼成功并發(fā)出信息口 收到的卻可 能是b 這樣的信息傳輸實(shí)際上是失敗的 這給我們提出一個(gè)很現(xiàn)實(shí)的問題 怎樣才能使信息得到成功的傳輸 本文擬要解決的是信息傳輸中有較小部分 信息出錯(cuò)時(shí)的解決方法 假如我們想發(fā)送信息2 釓z z 住 收到的卻是信 息c c c 2 c r i 這里 毛 q 0 i n 且z t q 瑪 收到的z 和c 有較大的差異 即它們的h a m m i n g 距離婦 z c 較大 我們希望解決的是相對(duì)于n 來說較小的 差錯(cuò) 對(duì)于這個(gè)問題通常是采用糾錯(cuò)碼理論來解決的 糾錯(cuò)碼已經(jīng)發(fā)展了很 多 包括線性碼 h a m m i n g 碼 b c h 碼和代數(shù)幾何碼等 本文在整數(shù)分拆理 論 線性代數(shù)相關(guān)理論的基礎(chǔ)上 試圖采用線性含錯(cuò)方程來解決這個(gè)問題 定義1 2 1 設(shè)霉為一個(gè)n 維的未知行向量 那么我們稱 w z a 6 1 1 為線性含錯(cuò)方程 這里a 為一個(gè)n m 矩陣 b 為一m 維行向量 m n 亦 即m 遠(yuǎn)大于n t t 為一個(gè)滿足0s 塒sm 的已給定的整數(shù) 塒 幸 為幸的重量 1 3 相關(guān)概念介紹 擬解決這個(gè)問題 我們還需要了解如下幾個(gè)基本概念 1 3 1線性碼 線性碼是一類最基本的碼 設(shè)日 a f q 是具有q 個(gè)元素的有限域 其中q 是一個(gè)素?cái)?shù)的冪 定義1 3 1 設(shè)c 是碼長為n 的q 元碼 即gck 日 碥 日 為日上的n 維線性空 間 如果c 是 日 的子空間 則稱c 為一個(gè)口元線性碼 3 假定c 是碼長n 的窖元線性碼 并假定c 是 日 的詹維子空間 那么c 共 含有礦個(gè)碼字 并稱c 為一個(gè)g 元 n 詹 線性碼 當(dāng)口 2 時(shí) 日 的加法群的 子群一定是子空間 因此 我們可以說如果c 是 足 的加法群的子群 c 就 是二元線性碼 可以把c 看作是原始數(shù)字信息集合垓 日 在某一編碼盯 一一映 射 之下的象 口 k 日 一c 設(shè)n 維行向量v o 釓 壩一 是c 的一組基 令 g v o 移i 口七一l 那么g 就是日上一秩為詹的老 n 矩陣 因?yàn)関 o 魄一 是c 的一組基 所以 c 中任一碼字c c o c l c n 一 都可以表示成它們的線性組合而系數(shù)屬于蜀 而 且表法是唯一的 c2a o 伽 i n l v l 4 口七一l 饑一1 口 日 i 0 i 七一i 反過來 v o 饑一 的任意一個(gè)系數(shù)屬于馬的線性組合都是c 中的碼字 實(shí) 際上 g 就是c 的一個(gè)生成矩陣 利用矩陣乘法 有 c a o 口l 口七一1 g 當(dāng)然 由線性代數(shù)中相關(guān)知識(shí)我們知道 存在奄x 七可逆陣p 使得g p g 則 g 也是一個(gè)生成矩陣 我們可以對(duì)g 進(jìn)行初等變換 將g 化為階梯形矩陣 g o2 4 島中每一行的第一個(gè)非零元均為1 分別對(duì)應(yīng)g o 的第i o i h 一 i 列 我們 可以看出 g o 也是c 的一個(gè)生成矩陣 g o 的行自上而下記作t 0 0 t t 那么w 0 t t 也是c 的一組基 我們也可以利用g o 對(duì)原始數(shù)字信息集合 磙 日 進(jìn)行編碼 盯 口o 口i 1 k 1 a o 口1 口七一1 g o 那么得到的c 中的碼字的第 o i i 位的碼元分別對(duì)應(yīng)原始數(shù)字信息的第 o 1 k 一1 位 我們稱第i 0 i 一 一 位為信息位 而其余的位為校驗(yàn)位 校驗(yàn) 位的個(gè)數(shù)為n 一七 當(dāng)然 我們還可以把g o 進(jìn)一步化成如下的形式 g o j n p 七加 其中 七 是k 詹單位矩陣 p c h 一d 是日上任一七 n 一七 矩陣 設(shè)h 為其校驗(yàn) 矩陣 令 c z l z k 日 n 0 y a c l 宰 搴 o o o l 0 o 0 0 l 0 0 0 事 0 o o l o 0 事 o o 0 0 0 o l o o 0 o o o o o o 0 o 伊叫做c 的對(duì)偶碼 設(shè)n 維行向量t i o u h 一 u 一 是伊的一組基 令 u o u l 5 那么h 就是伊的一個(gè)生成矩陣 它是日上的一個(gè)秩為n k 的機(jī)一露 他矩陣 顯然 對(duì)任意的z k 日 z c 當(dāng)且僅當(dāng)h z 0 這里 我們把n 一七維列向量h z 叫做z 的校驗(yàn)子 那么z 是d 的一個(gè)碼字 當(dāng) 且僅當(dāng)z 的校驗(yàn)子等于n k 維零向量 即h z 0 前述編碼方法在理論上講具有唯一解 可是由于信道有干擾 被接收到的 向量耖可能不等于c 設(shè) e 寥一c e 1 e 2 e n 稱e 為差錯(cuò)向量 對(duì)于g 元 n 知 線性碼c h 是其校驗(yàn)矩陣 那么k 日 中的兩個(gè)字 和 屬于 g 的同一陪集 當(dāng)且僅當(dāng)他們的校驗(yàn)子刪和砌 相等 用校驗(yàn)子譯碼可以采 用下列步驟 1 給定日上 n j b 線性碼c 的校驗(yàn)矩陣皿 2 接收信號(hào)y 屬于 f 口 3 計(jì)算校驗(yàn)子s h i 4 求出s 對(duì)應(yīng)的陪集 并找出一個(gè)最小權(quán)向量z o 5 譯成碼字茹 l 一z o 6 1 3 2h a m m i n g 重量和h a m m i n g 距離 定義1 3 2 設(shè)z 為一個(gè)二元域上的住維行向量 則稱茹的非零分量的個(gè)數(shù) 為向量z 的海明重量 簡稱為霉的重量 記作塒 茹 對(duì)列向量的海明重量可 以同樣定義 下面再介紹一下 乃 上的一種度量 h a m m i n g 距離 令 d h x 耖 圭w u z 比 y k 日 對(duì)k 日 中任意二元z 與7 3 他們間的h a m m i n g 距離規(guī)定為不同分量的個(gè)數(shù) 即 二向量之差的h a i m i n 9 重量 不難驗(yàn)證 h a m m i n g 距離滿足以下三條性質(zhì) 對(duì)任意的z 掣 k 日 有 a 自反性 婦 z i t 0 2 i t b 對(duì)稱性 婦 茁 耖 d n i t z c 三角不等式 d n x i t sd h x 2 d u z i t 1 3 3 最小二乘法 給定一個(gè)阿基米德賦值下的線性方程組 用最t 乘法來求得近似解 設(shè) 線性方程組 8 1 1 霉i a 1 2 x 2 4 口l m 寫m b x 口2 l z i4 a 2 2 2 24 眈m z m b 2 n n l z l a n 2 x 2 c l m z m 6 n 啦 k r i 1 2 n j l 2 仇 沒有解 令 挑2 一 o k z l4 啦2 勉 啦m z m i 1 2 n 7 如果一組實(shí)數(shù) 七 k 當(dāng) i k t z 2 k 2 z k 時(shí)矽 譴 三取得最小 值 可以認(rèn)為 蠢 如 k 是方程組的最佳近似解 又稱之為該方程組的最小 二乘解 下面討論怎樣來求方程組的最小二乘解 令 a l j a 2 j j 1 2 m a2 將它們看作n 維歐氏空間艫中的向量 再令 6 l 6 2 k w z l a x z 2 a 2 z m n m i z l z 2 z m r 于是g 堙 記就是向量口與w 中任意向量叩 z 口 z n z 口 的距 離 由此可知 當(dāng)q 與奄l a b q k w 的距離最短時(shí) 奄 如 k 就 是所求的最小二乘解 問題便轉(zhuǎn)化為在 a 生成的子空間w 中求一個(gè) 向量 使q 與它的距離是n 與w 的各個(gè)向量的距離中最短的 顯然 這個(gè)最短的向量就是a 在 內(nèi)的正射影盧 再求出w 的生成元 口m 的極大無關(guān)組 通過正交化和單位化求出 的標(biāo)準(zhǔn)正交基 就可以得到n 在 w 內(nèi)的正射影盧 由此也不難求出最 i s 乘解 七 k 2 k 不過 按以下方法 會(huì)更簡單一些 對(duì)z 口 現(xiàn)勉 z q w 來說 它是q 在 內(nèi)的正射影盧 當(dāng) 且僅當(dāng)a 一 z 1 口l z 2 口2 z a 上當(dāng)且僅當(dāng)a 一 z l 口l 現(xiàn)q 2 z 口 與彬的生成 元 口2 口 都正交 當(dāng)且僅當(dāng) 即 a l lo 2 1 a m t a l l 口2 2 a m 2 h z l a l l z 2 a 1 2 一z m n l m 幻一x l a 2 1 一 霉2 d 2 2 一 z m 口2 m o o b n l x l a n i x 2 a n 2 一z m 口 i m 6 l 6 2 k a z i z 2 蜀m o o o 其中a 是方程組的系數(shù)矩陣 由此可知 方程組 a a z l 2 2 z 6 l 6 2 k 0 o o 8 的每一個(gè)解都是方程組的最小二乘解 需要說明的是 口在w 內(nèi)的正射影盧 是唯一的 但是因?yàn)榭趌 t a 2 a 可能是線性相關(guān)的 所以p 由口l 口2 q 表 出的時(shí)候表示法不唯一 從而最小二乘解也不唯一 1 3 4 賦值域 定義1 3 4 設(shè)f 為域 函數(shù)妒 f 卜 月 o 叫做是域f 的一個(gè)賦值 是指滿足如下 3 個(gè)條件 對(duì)于a b 屬于f 1 妒 口 0 當(dāng)且僅當(dāng)口 0 9 2 妒 口6 妒 口 妒 6 3 存在常數(shù)c 0 使得 若i i o c a 1 則妒 1 口 m i n v a t 6 1 0 滿足這3 條性質(zhì)的t 叫做域f 的指數(shù)賦值 反過來 給了f 的指數(shù)賦值t 則對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)7 o y 加 則線性含錯(cuò)方程 3 3 的通解是 z b g c g 這里g 跑過a 的所有廣義逆 而c 為滿足條件 3 4 的一個(gè)固定的m 維行向量 證明 由 6 伽 c 椰 知b c 也即b c 0 設(shè)z 為 3 3 的一個(gè)解 即存在 滿足 的m 維行向量c 使得 z a b 己 由引理3 2 4 可知 存在a 的廣義逆g 使 z 6 c g b g o g 反之 設(shè)存在a 的一個(gè)廣義逆g 以及一個(gè)滿足 叫 的向量c 使 則存在跏使 以及矩陣u 使 于是 z b g c g 跏a b c g a 一 u a a u a a 一 x a b c g a z o a g a x o a a 一 u a a u a a 一 a o a a a a u a a a a u a a a x o a a u a a u a 加a b c 從而w z a 6 t t c 塒 證畢 42 a d i c 賦值下的極值問題 4 1 在p a d i c 分析上的引人 現(xiàn)在 我們來建立線性含錯(cuò)方程與p a d i c 分析的聯(lián)系 設(shè)q 為2 一a d i c 域 即有理數(shù)域q 在2 一a d i c 賦值下的完備化域 為了討論 的方便 我們可以這樣做 取q 的代數(shù)閉包礪 然后把礪完備化 得到既完 備又代數(shù)封閉的域q 這樣凡是涉及到代數(shù)方程與取極限 系對(duì)2 一a d i c 賦值而 取 均可以在q 中順利進(jìn)行 設(shè)歷為q 2 中的2 一a d i c 整數(shù)環(huán) 一般的 如果有理數(shù)c a b 2 h k 為整數(shù) 口 b 為互素的奇整數(shù) 且n o 時(shí) 那么c 的2 一a d i c 賦值是 i l c l l 2 2 現(xiàn)在我們繼續(xù)討論線性含錯(cuò)方程問題 但是注意 這里n m 已經(jīng)和前面注 記中的交換了 這里n m 設(shè)二元域易上元素a i j b 1 i n 1 歹 m 已經(jīng)給定 現(xiàn)在要求求出使得方 程組 竹t a q x j 6 1 i n 4 1 j x 中等號(hào)成立個(gè)數(shù)最多的z 釓 z m 四 這個(gè)問題在實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域中即在阿基米德賦值下 通常是在最小二乘法 的意義下加以解決的 但是到了有限域 則比較困難了 就是因?yàn)橛邢抻蛑挥?顯然賦值 或稱為無聊賦值 我們現(xiàn)在來把 4 1 轉(zhuǎn)化為下列的2 一a d i c 賦值下的 極值問題 設(shè)a o 6 z 2 1si l 1 歹 m 給定 現(xiàn)在要求求出使 n 竹 i i x l i l 圭 叼巧一b d l 1 4 2 取極小值的z z 印 這里j 是一個(gè)給定的正整數(shù) 它滿足2 t 住 1 先給出 定義4 1 1 作映射 z 2 尼如下 廬 口 a m o d 2 即對(duì)于口 是 口蠹2 m o 1 這是忍元素的一般表達(dá)式 定義 口 a m o d 2 a o 以下記口在 下的象為石 a 但是我們應(yīng)該小心引起混亂的地方 易見毋是個(gè)環(huán)同態(tài) 4 2 一個(gè)初步的結(jié)論 定理4 2 1 設(shè)z 砑是 4 2 的解 則蠆 即是 4 1 的解 這里 蠆 l m 如z 釓 z 而 4 1 中的叼 阮 均改寫為勘 瓦 毛 證明設(shè)z 砑是 4 2 的解 而蠆 四不是問題 4 1 的解 我們來推出一個(gè) 矛盾 由解的定義可知問題 4 1 的解可 可 毋 垂2 顯然是有有解的 使 m z 名l 釔 盈 蕊j 乃一瓦 1 i n j r l 的重量塒 名 小于 m w l 鋤 缸h t 以 一a o z j b 1 i n j r l 的重量t t 伽 取y l l 2 跏 易使它們?cè)谏鲜龅挠成?下的象為礬 m 并置 秒 1 l 拋 耖 這樣 我們有 t z t j t t 一1 w w 1 4 3 又我們有 n竹i i v l l 乞 i l 珊一b l l t o n w c z 1 2 i 1j l 這是因?yàn)橛匈?名 個(gè)i 使 和n 一塒 名 個(gè)i 使 還有 今有 這樣用 4 3 可得 m 叼協(xié)一b t 三1 r o o d 2 j l m a t j y j 一6 i 三0 r o o d 2 j 1 n竹i i x l l 乞 l a t j x j 一如 5 伽 t i i 1j 1 w z n 一 0 2 f 1 2 t t t 名 i n 2 t l z i n w z 2 j 1 2 t t l t l 一1 t n 2 一 sw w 一2 w 一1 4 2 t 竹 4 1 伽 t l 一2 w 0 由 4 4 4 5 4 6 即知有 0 z l 工 i i 毫 工 4 4 4 5 4 6 這與z 為 4 3 的解的規(guī)定矛盾 這就證明了蠆是 4 1 的解 并且可知對(duì)于上面 定義的名 塒有塒 z t t t t 這點(diǎn)將在下面定理4 2 2 的證明中要用到 定理4 2 2 設(shè)對(duì)給定的a i j 瓦 1 i n 1sjsm 蠆 霹是 4 1 的解 則存在 z 砑 使得z 為z 在 下的象 且z 是 4 2 的解 除非相應(yīng)的 4 2 根本沒有解 其中鞏為 在 下的逆象 1 i n a i j 0 l x i n 1 sm 當(dāng)口 0 1 時(shí) 可以 把口與石視為同一的 證明命 m 多二ao而一一 1ci b i1 l n 2 2 而一 l n j l 則c 0 1 局 也可視為a z 2 1 isn 現(xiàn)在歸納地定義 巧 傳 o 1 1 l 竹 l jsm 如下 首先令 于是對(duì)t 0 有下式成立 6 l o 瓦 1 i n 鑼 而 1s 歹 m tm 2 口巧 捫一6 5 c m o d 2 1 i 竹 k 0 j l 假定對(duì)t 4 1 0 式已經(jīng)成立 則命 tm 6 l 三2 一 刪 2 毒 一 七 c m o d 2 i i n k 0 j l 于是b 0 1 0 l f 2 也可以視一b 0 l 玩 再取礦1 1 歹 m 使其滿足 m 口蒔母 1 蘭0 m o d 2 1 i n j 1 可視礦1 既屬于b 又屬于忍 4 1 2 是可解的 例如可取z i 1 o l 0 i m 4 7 4 8 4 9 4 1 0 垂n 垂1 2 易見這樣取定的咋b i d 母 1 滿足t l 時(shí)的 4 1 0 亦即有 等等 這樣 命 則有 由此可得 其中 t 1m 8 巧t 一 c z m o d 2 k oj i 2 磊 1 歹sm k o m a q z j 一6 i c 1 i n j l c c l c 2 c n 3 1 4 1 3 4 1 4 4 1 5 設(shè)l 砑是上述 b i 1s sn 1 歹 m 下 3 7 的解 而z 如定理3 2 5 的證 明中那樣 則有 由 4 1 5 與 4 1 6 可得 再由定理4 2 1 的證明可知有 加 c w w 叫 坩佃 i 暑 2 塒0 加 鋤 4 1 6 4 1 7 4 1 8 n 一 一 忍 七 2 q 小1 腳 玩 0 2k 一 即一 口 m 觸 i l l z 由 4 1 7 與 4 1 8 即得 i i x i i l 恬憶 由于耖是問題 4 2 的解 應(yīng)該有 這樣 由 4 1 9 與 4 2 0 得出 l i 茹i i l i i 耖i i l 從而 茹為 4 2 3 的解 定理得證 1 x h l i y l i l 3 2 4 1 9 4 2 0 1 萬哲先 代數(shù)和編碼 科學(xué)出版社 1 9 8 0 參考文獻(xiàn) 2 丁石孫 王芬芳 高等代數(shù) 高等教育出版社 1 9 8 7 3 盧開澄 組合數(shù)學(xué) 清華大學(xué)出版社 1 9 8 3 4 華羅庚 數(shù)論導(dǎo)引 科學(xué)出版社 1 9 5 7 5 馮克勤 代數(shù)數(shù)論 科學(xué)出版社 2 0 0 0 1 6 孫淑玲 許胤龍 組合數(shù)學(xué)引論 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社 1 9 9 9 7 馮貴良 吳新文 代數(shù)幾何碼 科學(xué)出版社 1 9 9 8 8 朱文余 孫琦 計(jì)算機(jī)密碼應(yīng)用基礎(chǔ) 科學(xué)出版社 2 0 0 0 9 戴華 矩陣論 科學(xué)出版社 2 0 0 1 f 1 0 e l w y nr b e r l e k a m p a l g e b r a i cc o d i n gt h e o r y m c g r a w h i l lb o o kc o m p a n y 1 9 6 8 1 1 t h o m a sw h u n h e r f o r d a l g e b r a s p r i n g e r v e r l a g 1 9 7 4 1 1 2 b r u c es c l m e i e r a p p l i e dc r y p t o g r a p h y c h i n am a c h i n ep r e s s 2 0 0 0 1 3 b r u c es c h n e i e r s e c r e t sa n dl i e s d i g i t a ls e c u r i t yi nan e t w o r k e dw o r l d c h i n am a c h i n ep r e s s 2 0 0 1 1 4 f l b a u e rd e c r y p t e ds e c r e t s m e t h o d sa n dm a x i m so fc r y p t o l o g y s p r i n g e r v e r l a gb e r l i nh e i d e l b e r g 1 9 9 7 1 5 1g r a yj b r o n s o n p r o g r a m m i n gd e v e l o p m e n ta n dd e s i g nu s i n gc p o s ta n dt e l e c o m m u n i c a t i o n s p r e s s 2 0 0 2 1 6 w i l l i a mf o r d w i l l i a mt o p p s t r u c t u r e sw i t hc p r e n t i c eh a l l 1 9 9 6 f 1 7 c r r a o s k m i t r a g e n e r a l i z e di n v e r s eo fm a t r i c e sa n di t sa p p l i c a t i o n s j o h nw i l e ya n ds o n s 1 9 7 1 1 8 v n d l i a mf u l t o n a l g e