第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù).ppt

1 復(fù)變函數(shù) 簡介復(fù)變函數(shù) 自變量在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值的函數(shù)與高等數(shù)學(xué)類似 研究微分和積分應(yīng)用領(lǐng)域 信號與系統(tǒng) 電磁學(xué) 光學(xué) 控制論 空氣動力學(xué) 流體力學(xué) 彈性力學(xué)等等成績 卷面70 作業(yè) 出勤 課堂表現(xiàn) 30 2 第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1 1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算1 2復(fù)數(shù)的幾何表示1 3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1 4復(fù)數(shù)在幾何上的應(yīng)用舉例1 5復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點 第1節(jié)復(fù)數(shù)的概念與運算 3 1 1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算 1 定義 4 2 相等 虛部為零的復(fù)數(shù)是實數(shù) 虛部不為零的復(fù)數(shù)稱作虛數(shù) 虛部不為零 實部為零的復(fù)數(shù)稱作純虛數(shù) 5 3 共扼復(fù)數(shù) 4 任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小 6 5 代數(shù)運算 兩復(fù)數(shù)的和 兩復(fù)數(shù)的積 兩復(fù)數(shù)的商 7 例1 解 8 例2 解 9 例3 解 10 1 2復(fù)數(shù)的幾何表示 復(fù)數(shù) 可看作平面上點 實軸 虛軸 注 1 復(fù)數(shù)的點表示 11 2 復(fù)數(shù)的模 或絕對值 顯然下列各式成立 12 3 復(fù)數(shù)的輻角 說明 輻角不確定 13 輻角主值的定義 14 15 4 利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差 兩個復(fù)數(shù)的加減法運算與相應(yīng)的向量的加減法運算一致 16 利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系 復(fù)數(shù)可以表示成 復(fù)數(shù)的三角表示式 再利用歐拉公式 復(fù)數(shù)可以表示成 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式 5 復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示 17 復(fù)數(shù)的五種表示 1 代數(shù)表示法 2 點表示 幾何表示 3 向量表示 5 指數(shù)表示 4 三角表示 18 例4將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式 解 19 例5將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式 解 故三角表示式為 指數(shù)表示式為 20 故三角表示式為 指數(shù)表示式為 21 1 復(fù)數(shù)的乘積與商 定理一 兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積 兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和 1 3復(fù)數(shù)的乘冪與方根 22 兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘 輻角相加 從幾何上看 兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為 23 24 定理二 兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商 兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差 25 例6 解 26 2 乘冪 27 棣莫佛公式 2 棣莫佛公式 28 例7 解 即 29 30 1 4復(fù)數(shù)在幾何上的應(yīng)用舉例 利用復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義 很多平面圖形能用適當(dāng)?shù)膹?fù)數(shù)形式的方程 或不等式 來表示 另一方面 也能有給定的復(fù)數(shù)形式的方程 或不等式 來確定它所表示的平面圖形 31 例8 求下列方程所表示的曲線 解 32 化簡后得 33 1 5復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點 1 南極 北極的定義 34 球面上的點 除去北極N外 與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系 我們可以用球面上的點來表示復(fù)數(shù) 我們規(guī)定 復(fù)數(shù)中有一個唯一的 無窮大 與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點相對應(yīng) 記作 因而球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無窮大 的幾何表示 球面上的每一個點都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng) 這樣的球面稱為復(fù)球面 2 復(fù)球面的定義 35 3 擴(kuò)充復(fù)平面的定義 包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面 不包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面 或簡稱復(fù)平面 對于復(fù)數(shù) 來說 實部 虛部 輻角等概念均無意義 它的模規(guī)定為正無窮大 復(fù)球面的優(yōu)越處 能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點明顯地表示出來 36 37 1 復(fù)數(shù)的定義2 復(fù)數(shù)的五種表示3 復(fù)數(shù)的模 輻角 共軛復(fù)數(shù)4 棣莫弗公式5 復(fù)數(shù)的冪與方根6 復(fù)數(shù)形式的方程表示平面圖形 總結(jié) 熟練掌握以下內(nèi)容 38 作業(yè) 39 2 1復(fù)平面上的區(qū)域2 2復(fù)變函數(shù)的概念2 3復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性 第2節(jié)復(fù)變函數(shù)及其極限與連續(xù)性 40 1 鄰域 2 1復(fù)平面上的區(qū)域 41 2 去心鄰域 42 3 內(nèi)點 4 開集 如果G內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點 那末G稱為開集 43 5 區(qū)域 如果平面點集D滿足以下兩個條件 則稱它為一個區(qū)域 1 D是一個開集 2 D是連通的 就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來 6 邊界點 邊界 設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個區(qū)域 如果點P不屬于D 但在P的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點 這樣的P點我們稱為D的邊界點 44 D的所有邊界點組成D的邊界 說明 1 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的 2 區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域 45 以上基本概念的圖示 區(qū)域 鄰域 邊界點 邊界 7 有界區(qū)域和無界區(qū)域 46 8 連續(xù)曲線 平面曲線的復(fù)數(shù)表示 47 9 光滑曲線 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線 48 10 簡單曲線 沒有重點的曲線C稱為簡單曲線 或若爾當(dāng)曲線 49 換句話說 簡單曲線自身不相交 簡單閉曲線的性質(zhì) 任意一條簡單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的點集 內(nèi)部 外部 邊界 50 11 單連通域與多連通域的定義 復(fù)平面上的一個區(qū)域B 如果在其中任作一條簡單閉曲線 而曲線的內(nèi)部總屬于B 就稱為單連通域 一個區(qū)域如果不是單連通域 就稱為多連通域 單連通域 多連通域 51 例10 指明下列不等式所確定的區(qū)域 是有界的還是無界的 單連通的還是多連通的 是角形域 無界的單連通域 如圖 52 無界的多連通域 53 例11 滿足下列條件的點集是什么 如果是區(qū)域 指出是單連通域還是多連通域 是多連通域 54 應(yīng)理解區(qū)域的有關(guān)概念 鄰域 去心鄰域 內(nèi)點 開集 邊界點 邊界 區(qū)域 有界區(qū)域 無界區(qū)域 理解單連通域與多連通域 55 2 2復(fù)變函數(shù)的概念 注意 復(fù)變函數(shù)與一元實變函數(shù)的定義完全一樣 只要將后者定義中的 實數(shù) 換為 復(fù)數(shù) 就行了 56 1 單 多 值函數(shù)的定義 2 定義集合和函數(shù)值集合 57 3 復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系 例如 58 59 4 映射的定義 60 61 62 為了方便 以后不再區(qū)分函數(shù) 映射和變換 63 例 解 1 還是線段 64 解 2 65 仍是扇形域 解 3 66 1 函數(shù)極限的定義 注意 2 3復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性 67 注意 復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實變函數(shù)極限的定義雖然在形式上相同 但在實質(zhì)上有很大的差異 它較之后者的要求苛刻得多 68 2 極限計算的定理 定理一 說明 69 定理二 與實變函數(shù)的極限運算法則類似 70 3 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)的定義 71 定理三 例如 72 定理四 73 特殊的 1