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文檔簡介
33.3最大值與最小值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)最值的概念,了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系.2.會(huì)求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的最大值與最小值如圖為yf(x),xa,b的圖象思考1觀察a,b上函數(shù)yf(x)的圖象,試找出它的極大值、極小值思考2結(jié)合圖象判斷,函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上是否存在最大值,最小值?若存在,分別為多少?思考3函數(shù)yf(x)在a,b上的最大(小)值一定是某極值嗎?思考4怎樣確定函數(shù)f(x)在a,b上的最小值和最大值?梳理(1)函數(shù)的最大(小)值的存在性一般地,如果在區(qū)間a,b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條_的曲線,那么它必有最大值與最小值(2)求函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a,b上的最值的步驟求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的_;將函數(shù)yf(x)的_與_處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是_,最小的一個(gè)是_類型一求函數(shù)的最值命題角度1不含參數(shù)的函數(shù)求最值例1求下列函數(shù)的最值:(1)f(x)2x312x,x2,3;(2)f(x)xsin x,x0,2反思與感悟求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值,需注意以下幾點(diǎn):(1)對函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo),并檢驗(yàn)f(x)0的根是否在給定區(qū)間內(nèi);(2)研究函數(shù)的單調(diào)性,正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值;(3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大小,確定最值跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)f(x)ex(3x2),x2,5的最值命題角度2含參數(shù)的函數(shù)求最值例2已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)x2(xa),求f(x)在區(qū)間0,2上的最大值反思與感悟由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化,從而導(dǎo)致最值的變化所以解決這類問題常需要分類討論,并結(jié)合不等式的知識(shí)進(jìn)行求解跟蹤訓(xùn)練2在例2中,將區(qū)間0,2改為1,0,結(jié)果如何?類型二由函數(shù)的最值求參數(shù)例3已知函數(shù)f(x)ax36ax2b,x1,2的最大值為3,最小值為29,求a,b的值反思與感悟已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維,一般先求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn),探索最值點(diǎn),根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題其中注意分類討論思想的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練3設(shè)f(x)x3x22ax.當(dāng)0a2時(shí),f(x)在1,4上的最小值為,求f(x)在該區(qū)間上的最大值類型三函數(shù)最值的綜合應(yīng)用例4設(shè)函數(shù)f(x)tx22t2xt1(xr,t0)(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)2tm對t(0,2)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍反思與感悟(1)“恒成立”問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一種常見的題型,一般地,可采用分離參數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化f(x)恒成立f(x)max;f(x)恒成立f(x)min.對于不能分離參數(shù)的恒成立問題,直接求含參函數(shù)的最值即可(2)此類問題特別要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等號(hào)”的情況,以此來確定參數(shù)的范圍能否取得“”跟蹤訓(xùn)練4已知2xln xx2ax3對一切x(0,)恒成立,求a的取值范圍1函數(shù)f(x)x33x(|x|1),則下列說法正確的是_(填序號(hào))有最大值,但無最小值;有最大值,也有最小值;無最大值,但有最小值;既無最大值,也無最小值2函數(shù)yxsin x,x的最大值是_3函數(shù)f(x)x3x2xt在區(qū)間0,2上的最小值為3,則函數(shù)在0,2上的最大值為_4已知函數(shù)yx22x3在區(qū)間a,2上的最大值為,則a_.5函數(shù)f(x)x3x22x5,若對于任意x1,2,都有f(x)m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_1求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,只需比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值即可;若函數(shù)在一個(gè)開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值2已知最值求參數(shù)時(shí),可先確定參數(shù)的值,用參數(shù)表示最值時(shí),應(yīng)分類討論3“恒成立”問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題提醒:完成作業(yè)第3章3.33.3.3答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1極大值為f(x1),f(x3),極小值為f(x2),f(x4)思考2存在,f(x)minf(a),f(x)maxf(x3)思考3不一定,也可能是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值思考4比較極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值,最大的是最大值,最小的是最小值梳理(1)連續(xù)不斷(2)極值各極值端點(diǎn)最大值最小值題型探究例1解(1)f(x)2x312x,所以f(x)6x2126(x)(x),令f(x)0,解得x或x.因?yàn)閒(2)8,f(3)18,f()8,f()8;所以當(dāng)x時(shí),f(x)取得最小值8;當(dāng)x3時(shí),f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x,令f(x)0,又x0,2,解得x或x.計(jì)算得f(0)0,f(2),f(),f().所以當(dāng)x0時(shí),f(x)有最小值f(0)0;當(dāng)x2時(shí),f(x)有最大值f(2).跟蹤訓(xùn)練1解f(x)3exexx2,f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)在區(qū)間2,5上,f(x)ex(x3)(x1)0,函數(shù)f(x)在區(qū)間2,5上單調(diào)遞減,當(dāng)x2時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值f(2)e2;當(dāng)x5時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值f(5)22e5.例2解令f(x)0,解得x10,x2.當(dāng)0,即a0時(shí),f(x)在0,2上單調(diào)遞增,從而f(x)maxf(2)84a.當(dāng)2,即a3時(shí),f(x)在0,2上單調(diào)遞減,從而f(x)maxf(0)0.當(dāng)02,即0a3時(shí),f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而f(x)max綜上所述,f(x)max跟蹤訓(xùn)練2解令f(x)0,解得x10,x2a.當(dāng)a0,即a0時(shí),f(x)在1,0上單調(diào)遞增,從而f(x)maxf(0)0;當(dāng)a1,即a時(shí),f(x)在1,0上單調(diào)遞減,從而f(x)maxf(1)1a;當(dāng)1a0,即a0時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知,當(dāng)x0時(shí),f(x)取得極大值b,也是函數(shù)f(x)在1,2上的最大值,f(0)b3.又f(1)7a3,f(2)16a3f(1),f(2)16a329,解得a2.當(dāng)af(1),f(2)16a293,解得a2.綜上可得,a2,b3或a2,b29.跟蹤訓(xùn)練3解f(x)x2x2a,令f(x)0,得兩根x1,x2.當(dāng)x(,x1),(x2,)時(shí),f(x)0,所以f(x)在(,x1),(x2,)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增當(dāng)0a2時(shí),有x11x24,所以f(x)在1,4上的最大值為f(x2)又f(4)f(1)6a0,即f(4)f(1),所以f(x)在1,4上的最小值為f(4)8a,故a1,x22,從而f(x)在1,4上的最大值為f(2).例4解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xr,t0),當(dāng)xt時(shí),f(x)取最小值f(t)t3t1,即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m,由g(t)3t230,得t1,t1(不合題意,舍去)當(dāng)t變化時(shí)g(t)、g(t)的變化情況如下表:t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)單調(diào)遞增1m單調(diào)遞減對t(0,2),當(dāng)t1時(shí),g(t)max1m,h(t)2tm對t(0,2)恒成立,也就是g(t)0對t(0,2)恒成立,只需g(t)max1
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