高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教B版必修5.doc

第二章 數(shù)列1函數(shù)的視角看數(shù)列數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要善于利用函數(shù)的知識(shí)、函數(shù)的觀點(diǎn)、函數(shù)的思想方法來(lái)解題，即用共性來(lái)解決特殊問(wèn)題下面從函數(shù)角度對(duì)數(shù)列有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行分析，體會(huì)數(shù)列與函數(shù)的有機(jī)結(jié)合一、利用函數(shù)單調(diào)性求數(shù)列的最大項(xiàng)例1已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為annn1，則該數(shù)列是否有最大項(xiàng)，若有，求出最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若無(wú)，說(shuō)明理由分析設(shè)anf(n)，可通過(guò)函數(shù)f(n)的單調(diào)性來(lái)判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而求解解設(shè)anf(n)，則f(n)nn1，f(n1)(n1)n2.則f(n1)f(n)(n1)n2nn1n1，當(dāng)n3時(shí)，f(n1)f(n)0.綜上可知，an在n1,2,3時(shí)，單調(diào)遞增；在n4,5,6,7，時(shí)，單調(diào)遞減所以存在最大項(xiàng)，且第3項(xiàng)為最大項(xiàng)點(diǎn)評(píng)數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集(或其子集)上的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一組函數(shù)值數(shù)列的通項(xiàng)公式體現(xiàn)了數(shù)列的項(xiàng)與其序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系二、利用函數(shù)思想求數(shù)列的通項(xiàng)例2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式ann2n，若：(1)數(shù)列bn滿足bna2n1，求bn的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列cn滿足cna2n1，求cn的通項(xiàng)公式分析設(shè)anf(n)，函數(shù)f(n)中的n用某一代數(shù)式(n)代替，整理，即可求解解設(shè)f(n)n2n，則：(1)bnf(2n1)(2n1)22n14n22n，則bn4n22n.(2)cnf(2n1)(2n1)22n14n2n，則cn4n2n.點(diǎn)評(píng)數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此要善于運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)、知識(shí)來(lái)解決數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題，居高臨下使問(wèn)題變得清晰，問(wèn)題的解決也往往簡(jiǎn)捷得多三、利用函數(shù)周期性求數(shù)列的項(xiàng)例3已知數(shù)列an中，a11，a26，an2an1an，則a2 013的值為_分析如果直接求a2 013，運(yùn)算量太大，而求通項(xiàng)an也很難辦到，那么數(shù)列an的各項(xiàng)之間是否有規(guī)律可循？不妨從前幾項(xiàng)入手試一試解析由a11，a26，及an2an1an，得a3a2a1615，a4a3a2561，a5a4a3156，a6a5a46(1)5，a71，a86，a95，a101，a116，a125，因此an是以6為周期的數(shù)列，所以a2 013a63353a35.答案5點(diǎn)評(píng)由數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再由前幾項(xiàng)歸納、猜想、發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性，從而解決問(wèn)題.2求數(shù)列通項(xiàng)的四大法寶一、公式法當(dāng)題設(shè)中有an與sn的關(guān)系式時(shí)，常用公式an來(lái)求解例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn3n2，求其通項(xiàng)公式an.解當(dāng)n1時(shí)，a1s13121；當(dāng)n2時(shí)，ansnsn13n2(3n12)3n3n123n1，又a112311，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an二、疊加法若數(shù)列an滿足anan1f(n1)(n2)，且f(1)f(2)f(n1)可求，則可用疊加法求通項(xiàng)公式例2已知數(shù)列an滿足a11，an3n1an1(n2)，求其通項(xiàng)公式an.解由已知，得anan13n1(n2)，所以a2a13，a3a232，a4a333，anan13n1，以上式子左右兩邊分別相加，得ana1332333n1，所以an1(n2)，又當(dāng)n1時(shí)，a11，所以an(nn)三、疊乘法若數(shù)列an滿足f(n1)(n2)，其中f(1)f(2)f(n1)可求，則可用疊乘法求通項(xiàng)公式例3已知在數(shù)列an中，a13，anan1(an0，n2)，求其通項(xiàng)公式an.解由a13，anan1，得，所以，(n2)，以上式子左右兩邊分別相乘，得，所以an(n2)，又a13，所以an(nn)四、構(gòu)造法當(dāng)題中出現(xiàn)an1panq(pq0且p1)的形式時(shí)，把a(bǔ)n1panq變形為an1p(an)，即an1pan(p1)，令(p1)q，解得，從而構(gòu)造出等比數(shù)列an例4數(shù)列an滿足a11，an1an3(nn)，求其通項(xiàng)公式an.解設(shè)an1t(ant)，則an1ant，與已知比較，得t3，所以t4，故an14(an4)又a141430，故數(shù)列an4是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，因此an43n1，即an43n1(nn).3函數(shù)思想在等差數(shù)列中的妙用性質(zhì)1：在等差數(shù)列an中，通項(xiàng)公式ana1(n1)d，變形為andn(a1d)，知點(diǎn)(n，an)均在直線ydx(a1d)上例1在等差數(shù)列an中，a1221，a45153，那么225是第幾項(xiàng)？解由andna1d，知點(diǎn)(n，an)在直線ydxa1d上，所以d，代入數(shù)據(jù)得，得n63，即225是這個(gè)數(shù)列中的第63項(xiàng)性質(zhì)2：在等差數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和snna1d，變形為n，知點(diǎn)均在直線yxa1上例2在等差數(shù)列an中，s1020，s50200，則s2 010的值為_解析由snan2bn，知anb，所以點(diǎn)在直線yaxb上，于是點(diǎn)，三點(diǎn)共線，成立把s1020，s50200代入上式，解得s2 010205 020.答案205 020性質(zhì)3：在等差數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和snna1d，變形為snn2n，若設(shè)a，ba1，則snan2bn，且點(diǎn)(n，sn)均在曲線yax2bx上例3已知等差數(shù)列an中，smsn (mn)，則smn_.解析由snan2bn，知點(diǎn)(n，sn)在拋物線yax2bx上又smsn，所以點(diǎn)p1(m，sm)與點(diǎn)p2(n，sn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，而對(duì)稱軸方程為x，不妨設(shè)a0，s120，s130，s130.a13s13s120，a130，d0，s130，122n013，6n06.5.易知n6對(duì)應(yīng)的a(6，s6)與對(duì)稱軸的距離比n7對(duì)應(yīng)的b(7，s7)與對(duì)稱軸的距離更小a點(diǎn)為最高點(diǎn)，s6最大由上述例子可見，解等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，若能靈活運(yùn)用函數(shù)的思想與方法，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，開拓解題思路，收到事半功倍的效果4數(shù)列求和的方法和技巧連連看求和是數(shù)列的主要問(wèn)題之一，數(shù)列求和方法多，技巧性強(qiáng)，是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的好素材，也是高考考查的重要內(nèi)容現(xiàn)結(jié)合例子把數(shù)列求和的主要方法列舉如下：1應(yīng)用公式求和方法要領(lǐng)：等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是數(shù)列中應(yīng)用最為廣泛、使用頻率最高的求和公式在每種數(shù)列中均有兩個(gè)求和公式可供選擇尤其是利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，首先要確定公比q是否為1，以確定選用哪一個(gè)公式來(lái)求和，否則要通過(guò)分類討論進(jìn)行解答例1求數(shù)列1,35,7911,13151719，的前n項(xiàng)和解所求數(shù)列的前n項(xiàng)和中共有1234n個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，這些奇數(shù)組成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2.故該數(shù)列的前n項(xiàng)和sn122.點(diǎn)評(píng)本題實(shí)際上是求從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和，奇數(shù)的個(gè)數(shù)共有123n.最后一個(gè)奇數(shù)為12n2n1.因此前n項(xiàng)和也可以這樣求得sn.例2求數(shù)列1，aa2，a3a4a5，a6a7a8a9，(a0)的前n項(xiàng)和解所求數(shù)列的前n項(xiàng)和可以看成是由等比數(shù)列1，a，a2，a3，a4，取出前123n項(xiàng)后再求和得到，且取出的最后一項(xiàng)為a1，故所求數(shù)列的前n項(xiàng)和為sn1aa2a3a1.當(dāng)a1時(shí)，sn123n；當(dāng)a1時(shí)，sn.點(diǎn)評(píng)題目中所給數(shù)列實(shí)際上并不是等比數(shù)列，求和時(shí)需要靈活轉(zhuǎn)化為求一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)的和由于公比為字母a，需要分類討論2分組轉(zhuǎn)化求和方法要領(lǐng)：分組轉(zhuǎn)化求和是將通項(xiàng)變形拆分為幾個(gè)數(shù)列的和與差，分組進(jìn)行求和、拆分后的數(shù)列多為等差數(shù)列或等比數(shù)列例3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ansn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，求sn.解由an可知，數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差d2，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，公比q2.所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，sn(a1a3an1)(a2a4an)13(n1)(21222)22；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，snsn1an22n22.點(diǎn)評(píng)通過(guò)對(duì)通項(xiàng)公式恒等變形化成幾個(gè)基本數(shù)列求和，這是數(shù)列求和的一個(gè)基本思想3裂項(xiàng)相消求和方法要領(lǐng)：常見的拆項(xiàng)公式有：；.例4等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a13，前n項(xiàng)和為sn，bn為等比數(shù)列，b11，且b2s264，b3s3960.(1)求an與bn；(2)求.解(1)設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則d為正數(shù)，an3(n1)d，bnqn1.依題意有解得或(舍去)故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)sn35(2n1)n(n2)所以(1).點(diǎn)評(píng)拆項(xiàng)成差的目的在于大量抵消中間的項(xiàng)，使前n項(xiàng)和sn的表達(dá)式得以簡(jiǎn)化對(duì)于一些拆項(xiàng)的方法不要死記硬背，關(guān)鍵是觀察通項(xiàng)an的特征結(jié)構(gòu)進(jìn)行代數(shù)恒等變形4奇偶并項(xiàng)求和方法要領(lǐng)：當(dāng)通項(xiàng)中含有符號(hào)因子(1)n或(1)n1時(shí)，數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的符號(hào)異號(hào)，鄰項(xiàng)合并后若規(guī)律明顯，易于求和，可以考慮相鄰兩項(xiàng)合并后求和由于并項(xiàng)的需要，常常對(duì)n的奇偶性進(jìn)行分類討論例5已知函數(shù)f(n)且anf(n)f(n1)，求a1a2a3a100.解由題意，得a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)(1299100)(23100101)1101100.例6等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一，二，三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn.解(1)當(dāng)a13時(shí)，不合題意；當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；當(dāng)a110時(shí)，不合題意因此a12，a26，a318.所以公比q3.故an23n1 (nn)(2)因?yàn)閎nan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，sn2ln 33nln 31；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.綜上所述，sn點(diǎn)評(píng)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn時(shí)，若含有符號(hào)因子(1)n，一般要對(duì)n按奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論5錯(cuò)位相減求和方法要領(lǐng)：一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和在寫出“sn”與“qsn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便于下一步準(zhǔn)確寫出“snqsn”的表達(dá)式例7化簡(jiǎn)：snn(n1)2(n2)2222n22n1.解snn(n1)2(n2)2222n22n1兩邊同時(shí)乘以2，得到2snn2(n1)2232n222n12nsnn(21222n12n)n2n1n2.例8已知cnsnc1c2c3c4cn，求sn.解當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，sn10213243nn110213243nn1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，sn23410213243nn110213243nn1令tn10213243nn1，則tn11223344nn，得tn11234n1nnnn3(3n)n，tn9(93n)n.因此sn點(diǎn)評(píng)利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和若公比是個(gè)參數(shù)(字母)，則應(yīng)先對(duì)參數(shù)加以討論，一般情況下分q1和q1兩種情況分別求和5提高運(yùn)算速度七妙招數(shù)列問(wèn)題的靈活性、技巧性較強(qiáng)，因此，在解數(shù)列問(wèn)題時(shí)必須研究技巧與策略，以求做到：選擇捷徑、合理解題，本文歸納了七種常見策略第一招活用概念數(shù)列的概念是求解數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用數(shù)列的概念，往往能出奇制勝例1已知an是公差為2的等差數(shù)列，若a1a4a7a97100，那么a2a5a8a98等于()a166 b66 c34 d100解析若先求出a1，再求和，運(yùn)算較為繁瑣注意到兩個(gè)和式中的項(xiàng)數(shù)相等，且均是等差數(shù)列由于(a2a5a8a98)(a1a4a7a97)(a2a1)(a5a4)(a8a7)(a98a97)33d66，所以a2a5a8a9810066166，故選a.答案a點(diǎn)評(píng)活用等差、等比數(shù)列的概念，溝通有關(guān)元素間的內(nèi)在聯(lián)系，使運(yùn)算得以簡(jiǎn)化第二招巧用性質(zhì)數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列的升華，巧妙運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)，往往可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，解題更快捷方便例2各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a7a89，則log3a1log3a2log3a14等于()a12 b14 c10 d10log32解析若設(shè)出a1和q，利用基本量法求解，顯然運(yùn)算量較大若利用性質(zhì)a1a14a2a13a7a89，則a1a2a14(a7a8)797，所以log3a1log3a2log3a14log39714，故選b.答案b點(diǎn)評(píng)數(shù)列的性質(zhì)是對(duì)數(shù)列內(nèi)涵的揭示與顯化，是求解數(shù)列問(wèn)題的有力武器第三招靈用變式在求解數(shù)列問(wèn)題過(guò)程中，可以利用等差或等比數(shù)列的變形公式來(lái)處理有關(guān)問(wèn)題例3已知等差數(shù)列an中，a33，a10388，則該數(shù)列的通項(xiàng)an_.解析利用等差數(shù)列的變形公式求得公差，再結(jié)合等差數(shù)列的變形公式求得通項(xiàng)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d55，ana3(n3)d3(n3)5555n162.答案55n162點(diǎn)評(píng)常規(guī)方法是聯(lián)立方程組，求出首項(xiàng)與公差，再由數(shù)列的通項(xiàng)公式求解而利用變形公式可以回避求解數(shù)列的首項(xiàng)，直接求解公差，再結(jié)合變形公式求得通項(xiàng)第四招整體考慮通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)，避免局部運(yùn)算的困擾，達(dá)到簡(jiǎn)捷解決問(wèn)題的目的例4設(shè)sn表示等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且s918，sn240，若an430，試求n的值解常規(guī)解法是設(shè)出基本量a1，d，列方程組求解，但較繁瑣若能利用整體思維，則可少走彎路，使計(jì)算合理又迅速由s918，即18，則a1a942a5，故a52.又sn240，所以n15.點(diǎn)評(píng)本題解法不在a1，d上做文章，而是將sn變形整理用a5an4表示，使解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化第五招數(shù)形結(jié)合數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，所以可以借助函數(shù)的圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合解數(shù)列問(wèn)題例5在公差d0的等差數(shù)列an中，已知s8s18，則此數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大？解用數(shù)形結(jié)合法解等差數(shù)列問(wèn)題應(yīng)抓住兩個(gè)方面：通項(xiàng)ax聯(lián)系一次函數(shù)，對(duì)于等差數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造點(diǎn)共線模型，可簡(jiǎn)化解題過(guò)程；前x項(xiàng)和sx聯(lián)系二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性及最值設(shè)f(x)sxxa1dx2(a1)x，則(n，sn)在二次函數(shù)的圖象上由于s8s18，d1，即當(dāng)3時(shí)，數(shù)列an也是單調(diào)遞增的故的取值范圍為|2|3|3即3為所求的取值范圍正解2因?yàn)閿?shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an1an0 (nn)恒成立又ann2n (nn)，所以(n1)2(n1)(n2n)0恒成立，即2n10，所以(2n1) (nn)恒成立而當(dāng)nn時(shí)，(2n1)的最大值為3(當(dāng)n1時(shí))，所以3即為所求的取值范圍溫馨點(diǎn)評(píng)利用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列性質(zhì)時(shí)，一定要注意數(shù)列定義域是1，2，3，4，n，或其子集這一特殊性，防止因擴(kuò)大定義域而出錯(cuò).2忽視數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別而致錯(cuò)例2設(shè)函數(shù)f(x)數(shù)列an滿足anf(n)，nn，且數(shù)列an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_錯(cuò)解因?yàn)閿?shù)列an是遞增數(shù)列，且點(diǎn)(n，an)在函數(shù)f(x)的圖象上，所以分段函數(shù)f(x)是遞增函數(shù)，故實(shí)數(shù)a滿足不等式組解得a0時(shí)，a1a2a31時(shí)，a8a9a10；為使數(shù)列an遞增還需a7a8.故實(shí)數(shù)a滿足條件解得2a0，d.點(diǎn)撥忽略了“開始”一詞的含義，題目強(qiáng)調(diào)了第10項(xiàng)是該等差數(shù)列中的第一個(gè)正項(xiàng)，應(yīng)有a90. 正解設(shè)an24(n1)d，由解不等式得180應(yīng)該舍掉正解凸n邊形內(nèi)角和為(n2)180，所以120n5(n2)180，解得n9或n16.當(dāng)n9時(shí)，最大內(nèi)角為12085160180，舍去所以凸n邊形的邊數(shù)為9.溫馨點(diǎn)評(píng)凸n邊形是一個(gè)明確的幾何概念，是本題中容易忽略的一個(gè)條件.利用數(shù)列知識(shí)解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要注意所得結(jié)果的實(shí)際含義，必要時(shí)作出取舍.6忽視等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本特征而致錯(cuò)例6已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為sn和tn，且對(duì)一切正整數(shù)n都有，試求的值錯(cuò)解設(shè)sn(5n3)k，tn(2n7)k，k0，則a9s9s8(593)k(583)k5k，b9t9t8(297)k(287)k2k，所以.點(diǎn)撥此解答錯(cuò)在根據(jù)條件，設(shè)sn(5n3)k，tn(2n7)k，這是把等差數(shù)列前n項(xiàng)和誤認(rèn)為是關(guān)于n的一次函數(shù)，沒(méi)有準(zhǔn)確把握前n項(xiàng)和公式的特點(diǎn)正解因?yàn)閍n和bn是公差不為0的等差數(shù)列，故設(shè)snn(5n3)k，tnn(2n7)k，k0，則a9s9s89(593)k8(583)k88k，b9t9t89(297)k8(287)k41k，所以.溫馨點(diǎn)評(píng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和snn2n，當(dāng)d0時(shí)，點(diǎn)(n，sn)在二次函數(shù)f(x)x2x的圖象上，當(dāng)d0時(shí)，snna1，但是本題不屬于這種情況(否則與矛盾)7等差數(shù)列的特點(diǎn)考慮不周全而致錯(cuò)例7在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為sn，且s10s15，求當(dāng)n取何值時(shí)，sn有最大值，并求出它的最大值錯(cuò)解設(shè)公差為d，s10s15，1020d1520d，得120d200，即d，an20(n1)，當(dāng)an0時(shí)，即20(n1)0，n0是不正確的，事實(shí)上應(yīng)解an0，an10.正解由a120，s10s15，解得公差d.s10s15，s15s10a11a12a13a14a150.a11a15a12a142a130，a130.公差d0，a1，a2，a11，a12均為正數(shù)，而a14及以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)當(dāng)n12或13時(shí)，sn有最大值為s12s13130.溫馨點(diǎn)評(píng)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的關(guān)鍵是分清正負(fù)項(xiàng)，找準(zhǔn)正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，尤其是數(shù)列中含有零項(xiàng)時(shí)，注意答案的全面性.8忽略題目中的隱含條件而致錯(cuò)例8已知數(shù)列1，a1，a2，4成等差數(shù)列，1，b1