高考數(shù)學(xué) 常見(jiàn)題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第18講 求定積分的方法.doc

第18講 求定積分的方法【知識(shí)要點(diǎn)】一、曲邊梯形的定義 我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形.二、曲邊梯形的面積的求法分割近似代替（以直代曲）求和取極限三、定積分的概念一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（），在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式：如果無(wú)限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無(wú)限趨近于常數(shù)，那么稱(chēng)該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分.記為：，其中是積分號(hào)，是積分上限，是積分下限，是被積函數(shù)，是積分變量，是積分區(qū)間，是被積式.說(shuō)明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，也可以是零，即無(wú)限趨近的常數(shù)（時(shí)）記為，而不是 （2）用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點(diǎn)；求和：；取極限：四、定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1（定積分的線性性質(zhì)）；性質(zhì)2（定積分的線性性質(zhì)）；性質(zhì)3（定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性）五、定積分的幾何意義（1）從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.（2）從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù).（3）從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)，且函數(shù)的圖像有一部分在軸上方，有一部分在軸下方，那么定積分表示軸上方的曲邊梯形的面積減去下方的曲邊梯形的面積.（4）圖中陰影部分的面積s= 六、微積分基本定理一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫牛頓萊布尼茨公式.為了方便，我們常把記成，即. 計(jì)算定積分的關(guān)鍵是找到滿足的函數(shù).七、公式 （1） （2） （3）( 4) (5)； (6) （7） （8） 八、求定積分的方法 (1)代數(shù)法： 利用微積分基本原理求；（2）幾何法：數(shù)形結(jié)合利用面積求. 【方法講評(píng)】方法一微積分基本原理求解（代數(shù)法）使用情景比較容易找到原函數(shù).解題步驟先利用定積分的性質(zhì)化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用微積分基本原理求解.【例1】 定積分的值為_(kāi).【點(diǎn)評(píng)】本題要先利用定積分的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再利用微積分基本原理求解.【反饋檢測(cè)1】 【反饋檢測(cè)2】若在上可導(dǎo),則 ( ) a b c d方法二數(shù)形結(jié)合利用面積求（幾何法）使用情景不容易找到原函數(shù).解題步驟先利用定積分的性質(zhì)化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用微積分基本原理求解.【例2】計(jì)算的結(jié)果為（ ）.a1 b c d【解析】先利用定積分的幾何意義求：令，即表示單位圓的（如圖），即是圓面積，即；所以=.【點(diǎn)評(píng)】（1）本題中函數(shù)的原函數(shù)不是很容易找到，所以先利用定積分的性質(zhì)化簡(jiǎn)原式，再利用數(shù)形結(jié)合分析解答.（2）利用數(shù)形結(jié)合分析解答時(shí)，主要變量的范圍，不要擴(kuò)大了變量的范圍，導(dǎo)致擴(kuò)大了平面區(qū)域.，即表示單位圓的（如圖），不是右半圓或整個(gè)圓.(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)里的重要數(shù)學(xué)思想，它要求我們?cè)诿恳徊降淖冃魏屯评頃r(shí)，都必須注意等價(jià)變換.【反饋檢測(cè)3】高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型解法歸納及反饋檢測(cè)第18講：求定積分的方法參考答案【反饋檢測(cè)1答案】【反饋檢測(cè)1詳細(xì)解析】【反饋檢測(cè)2答案】【反饋檢測(cè)3答案】【反饋檢測(cè)3詳細(xì)解析】由于+其中值相當(dāng)于（2，0）為圓心，以2