用等價無窮小大患求極限的誤區(qū)及一點補充.doc

用等價無窮小大患求極限的誤區(qū)及一點補充 摘要：等價無窮小代換方法是求極限中最常用的方法之一，利用等價無窮小代換求極限可以簡化計算。分析了學生用等價無窮小代換求極限的常見錯誤；探討了極限式中的和差項用等價無窮小代換的條件，并給出了相應的實例。 關鍵詞：等價無窮小；代換；極限等價無窮小代換方法是求極限中最常用的方法之一，恰當?shù)剡x擇要代換的無窮小，可以簡化計算，因而也倍受青睞，但學生在應用時玩玩會出現(xiàn)一些常見的錯誤，下面就錯誤的根源做了相應的理論分析，并對等價無窮小代換定理做了一些補充，解決了困擾學生的問題，對學生掌握等價無窮小代換方法有著重要意義。為了敘述方便，在以下討論中，極限過程都指同一個變量的變化過程。若=1，則稱與是該過程中的等價無窮小，記作。關于等價無窮小代換，最常用的定理是：定理1 設，且存在，則存在，且= 。推論1 設，且存在，則存在，且= 。推論2 設，且存在，則存在，且=。有上述定理及其推論可知，等價無窮小的代換，是分子或分母的整體代換，或分子、分母的分因式代換，是對極限式中的積商因子的代換，這是很多教材中都會提到的。學生在利用等價無窮小代換計算極限時往往容易出錯，究其原因，是弄不清楚代換的原理及對象，另外就是對無窮小的等價概念不清楚。見下例。例1：錯解：當時，故有以下幾種錯誤的結果;(1) = =0；(2) =；（3）=。分析：以上錯誤在于對極限式中的無窮小進行了無條件的代換，若要依據(jù)定理1及其推論來解，必須是對分子或分母進行整體代換，或者通過恒等變形后對其中的積商因子進行代換。如下：正解：當時，=。例2： 解：=分析：此法是利用洛必達法則求解型不定式；有學生用等價無窮小代換來解，得：當時，故=，于是錯誤的得出結論：極限式中的和差項也可無條件的用等價無窮小換來求解極限。關于和差項能否用等價無窮小代換求極限，很多教材上都沒有涉及到，只是強調加減情況下不能隨意使用。這就會使學生產生困惑，例2中的和差項為什么進行等價無窮小的代換后結果正確，不知道問題出在哪里。為解決學生的困惑，下面就和差項的等價無窮小代換做一些補充。定理2 設，且，若，則；若，則。證明：若，=因為，所以，又定理1，所以=1，即；同理，若，=1，即。推論 設，且，為常數(shù)，則當存在時，有=。證明：=；=由定理1及其推論得，=，所以=，=，所以=。利用定理2及其推論，上述例2可解如下：當時，故=，所以=上例說明：和差項并不是絕對不能做等價無窮小代換，只要注意驗證定理條件滿足即可。例3：此題若用洛必達法則求，需連續(xù)使用兩次才能求解出結果，花費時間長，而且求導過程中極易出錯；若用等價無窮小代換求解，過程簡單明了，解如下：當時，故=；=；所以=總而言之，恰當?shù)厥褂玫葍r無窮小代換求極限，可以簡化計算，但是代換前要驗證定理滿足的條件。參考文獻：1 同濟大學應用數(shù)學系，高等數(shù)學M.第五版.北京高等教育出版社,2002,582 魏國祥,張隆輝,成明山.關于等價無窮小替換求極限方法的推廣J.四川教育學院,200