（一般力學(xué)與力學(xué)基礎(chǔ)專業(yè)論文）結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的特征值反問題.pdf

南京航空航天大學(xué)博士學(xué)位論文 i 摘 要 本文研究了結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的特征值反問題，包括彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)振動反問題、離 散梁振動反問題、阻尼振動系統(tǒng)的振動反問題以及振動桿結(jié)構(gòu)探傷問題。全文主要包 括以下內(nèi)容： 首先，研究了彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的振動反問題。對二自由度簡單連接度彈簧-質(zhì)點(diǎn)系 統(tǒng)分別通過加剛性約束、彈性約束和質(zhì)量攝動得到修改系統(tǒng)，研究了利用原系統(tǒng)和修 改系統(tǒng)的兩組特征值 （頻率） 和修改量識別系統(tǒng)的物理參數(shù)問題， 給出了解的表達(dá)式。 對于多自由度簡單連接度彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，研究了增容修改系統(tǒng)的頻率反問題。提出 了由多自由度簡單連接彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的四個和五個特征對（頻率和模態(tài)）識別系統(tǒng) 物理參數(shù)的振動反問題，分別研究了解的存在性，給出了解的表達(dá)式、相應(yīng)算法和算 例。提出并研究了一類混合連接彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的振動反問題，提出了利用三個特征 對（頻率和模態(tài)）以及部分系統(tǒng)物理參數(shù)識別系統(tǒng)其它物理參數(shù)的振動反問題，研究 了解的存在性，給出了解的表達(dá)式、相應(yīng)算法和模型算例。 其次，研究了有限差分離散梁振動反問題，利用有限差分法得到振動梁的彈簧- 質(zhì)點(diǎn)-剛桿模型，質(zhì)量矩陣為對角矩陣而剛度矩陣為對稱五對角矩陣。提出了基于三 個特征對的頻率模態(tài)反問題，研究了解的存在性，給出了解存在惟一的充要條件和解 的表達(dá)式、數(shù)值算法和算例。 再次，研究了阻尼振動系統(tǒng)中的二次特征值反問題。研究了阻尼彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng) 的物理參數(shù)識別，包括：由全部頻率信息模態(tài)識別阻尼振動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)物理參數(shù)；由 部分頻率模態(tài)信息識別比例阻尼振動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)物理參數(shù)； 由兩對頻率模態(tài)信息識別 比例阻尼振動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)物理參數(shù)； 由頻率模態(tài)信息識別非比例阻尼振動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 物理參數(shù)。對每種提法分別研究了問題解的存在性，給出了數(shù)值算法，并對每種問題 給出了阻尼振動模型算例。 最后，研究了振動桿結(jié)構(gòu)探傷的特征值反問題。給出了利用未發(fā)生結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài) 和發(fā)生結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)的各一個特征對進(jìn)行結(jié)構(gòu)探傷的方法，并給出了數(shù)值例子。 關(guān)健詞：結(jié)構(gòu)動力學(xué)，特征值，振動反問題，彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，離散梁，結(jié)構(gòu)探傷 結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的特征值反問題 ii abstract this dissertation studies the inverse eigenvalue problems in structural dynamics, including vibration inverse problems for the spring-mass system, the discrete beam, damped systems and the damage detection in rods. the main contribution is as follows. first of all, the inverse eigenvalue problems of the spring-mass systems are studied. the simply connected spring-mass system of two freedoms and the modified system with a simple oscillator of mass or spring attached to one end of the system are considered. for simply connected spring-mass system of n freedoms, the necessary and sufficient conditions for the reconstruction of a physical realizable system from the known four and five eigenpairs are established. also, the inverse eigenvalue problems of the hybrid connected spring-mass system are considered. the necessary and sufficient conditions for the solvability of the problems are obtained. numerical methods and numerical experiments are given. secondly， an inverse vibration problem for the discrete beam is considered. given the three frequencies and corresponding modes of the axial vibrating beam, the problem of constructing the structural physical parameters of the discrete model of the beam from the known data is considered. the problem is transferred into inverse eigenvalue problems for real symmetric pentadiagonal matrices. the necessary and sufficient conditions for the solvability of the problem are obtained. numerical methods and numerical experiments are presented. afterwards, the inverse quadratic eigenvalue problems in damped vibration system are studied. these problems include the construction of the stiffness matrix and damped matrix of the damped vibration systems from the full frequencies and corresponding modes, the construction of the stiffness matrix and damped matrix of damped vibration systems with proportional damping from the some frequencies and corresponding modes, the construction of the stiffness matrix and damped matrix of the proportional damped vibration systems from the two frequencies and corresponding modes, and the construction 南京航空航天大學(xué)博士學(xué)位論文 iii of the stiffness matrix and damped matrix of the non-proportional damped vibration systems from the frequencies data. the solvability of the problems is established. the numerical methos and numerical experiments are given. at last, an inverse eigenvalue procedure for damage detection in homogeneous vibration rods is studied. it is shown that a finite element model based on the geometric parameters of the rod can be reconstructed from two eigenpairs, respectively corresponding to the undamaged state and the damaged state. an inverse eigenvalue produre for damage detection of rods is established. the numerical methos and numerical experiments are given. key words： structural dynamics, eigenvalue, vibration inverse problem, spring-mass system, discrete beam, damage detection 結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的特征值反問題 vi 圖、表清單圖、表清單 圖 2.1 n自由度彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)11 圖 2.2 原系統(tǒng)13 圖 2.3 加剛性約束13 圖 2.4 加彈性約束13 圖 2.5 加質(zhì)點(diǎn)攝動13 圖 2.6 多自由度無阻尼彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)18 圖 2.7 混合連接的彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)32 圖 4.1 單自由度阻尼彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)63 圖 4.2 欠阻尼狀態(tài)-時間關(guān)系圖70 圖 4.3 過阻尼狀態(tài)-時間關(guān)系圖70 圖 4.4 臨界阻尼狀態(tài)-時間關(guān)系圖71 圖 4.5 多自由度阻尼彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)71 圖 4.6 二次特征值問題的特征值分布圖72 圖 4.7 由度 1 的位移時間關(guān)系圖72 圖 4.8 自由度 2 的位移時間關(guān)系圖73 圖 4.9 自由度 3 的位移時間關(guān)系圖73 圖 4.10 自由度 4 的位移時間關(guān)系圖73 圖 4.11 自由度 5 的位移時間關(guān)系圖73 圖 4.12 二次特征值問題的特征值分布圖74 圖 4.13 二次特征值問題的特征值分布圖74 圖 4.14 n自由度阻尼彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)77 圖 4.15 n自由度阻尼彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)81 圖 5.1 結(jié)構(gòu)探傷示意圖97 圖 5.2 結(jié)構(gòu)探傷示意圖98 圖 5.3 結(jié)構(gòu)探傷示意圖99 圖 5.4 結(jié)構(gòu)探傷示意圖99 圖 5.5 結(jié)構(gòu)探傷示意圖100 圖 5.6 結(jié)構(gòu)探傷示意圖101 表 2.1 識別的質(zhì)量與剛度23 表 2.2 識別的質(zhì)量與剛度23 承諾書 本人聲明所呈交的博士學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研 究工作及取得的研究成果。 除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外， 論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲 得南京航空航天大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材 料。 本人授權(quán)南京航空航天大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容 編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段 保存、匯編學(xué)位論文。 作者簽名： 日期：2006 年 6 月 20 日 南京航空航天大學(xué)博士學(xué)位論文 第一章 緒論 1.1 振動問題與振動反問題 1.1.1 振動問題 物體的運(yùn)動狀態(tài)隨時間在極大值和極小值之間交替變化的過程稱為振動。振動 是自然界和工程上最常見的現(xiàn)象。振動現(xiàn)象對于大多數(shù)的工業(yè)機(jī)械、工程結(jié)構(gòu)、飛行 器、儀器儀表等都是有害的，它常常是造成機(jī)械和結(jié)構(gòu)產(chǎn)生惡性破壞和失效的直接和 主要原因；另一方面，振動也有有利的一面，例如振動篩選、振動傳輸、振動沉樁等 都是利用振動的典型離子。 實(shí)際工程中的振動問題研究的對象是系統(tǒng)，它可以是一個部件、一臺機(jī)器甚至一 個完整的工程結(jié)構(gòu)等。把外界對系統(tǒng)的作用或機(jī)器運(yùn)動所產(chǎn)生的力稱為激勵或輸入； 把機(jī)器或結(jié)構(gòu)在激勵作用下產(chǎn)生的動態(tài)行為稱為響應(yīng)或輸出。 振動分析的基本任務(wù)就是研究系統(tǒng)的激勵、響應(yīng)和系統(tǒng)三者之間的相互關(guān)系。從 計(jì)算分析的觀點(diǎn)，知道其中二者就可得第三者，從這個意義上講，振動問題的提法按 要求響應(yīng)、系統(tǒng)和激勵三者中的某一個可歸納為如下三類 2, 1 ： （1） 響應(yīng)分析，即已知系統(tǒng)和激勵，求響應(yīng)。 這是在已知系統(tǒng)參數(shù)和外部激勵的情況下求系統(tǒng)響應(yīng)的問題，包括位移、速度、 加速度和力的響應(yīng)。這是工程中最常見的問題，主要任務(wù)是計(jì)算系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)等工作時 的動力響應(yīng)，檢驗(yàn)系統(tǒng)的響應(yīng)是否滿足預(yù)定的安全等要求，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供依據(jù)，也 就是為計(jì)算系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度允許的振動能量水平提供了根據(jù)。動力響應(yīng)問題 屬于振動問題中的正問題，這是研究得最早最多的一類問題。 （2）系統(tǒng)識別，即已知激勵和響應(yīng)，求系統(tǒng)。 這是在已知輸入和輸出的情況下求系統(tǒng)的參數(shù)，稱為系統(tǒng)識別。這類問題的提 出實(shí)際是源于上述響應(yīng)分析問題，盡管已知激勵和振動結(jié)構(gòu)可求得響應(yīng)，但許多情況 下響應(yīng)結(jié)果并不滿足要求，需要修改結(jié)構(gòu)。如果結(jié)構(gòu)修改只憑經(jīng)驗(yàn)，會帶來很大的盲 目性。不僅效果經(jīng)常不滿意，效率也很低，要反復(fù)多次才能達(dá)到基本滿意的結(jié)果。有 限元是進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的有力工具，然而有限元初試建模往往存在較大誤差。鑒于此， 人們開始探索根據(jù)激勵和響應(yīng)反推振動結(jié)構(gòu)參數(shù)的規(guī)律和方法。 其主要任務(wù)是確定系 統(tǒng)的物理參數(shù)（如質(zhì)量、剛度及阻尼系數(shù)等）和系統(tǒng)關(guān)于振動的固有特性（如固有頻 率、振型等） 。以估計(jì)物理參數(shù)為任務(wù)的系統(tǒng)識別稱為物理參數(shù)識別；以估計(jì)系統(tǒng)的 振動固有特性為任務(wù)的系統(tǒng)識別稱為模態(tài)參數(shù)識別。 系統(tǒng)物理參數(shù)識別屬于振動問題 中的一類反問題。 結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的特征值反問題 （3）環(huán)境預(yù)測，即已知系統(tǒng)和響應(yīng)，求激勵。 這是在已知系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)參數(shù)的情況下確定系統(tǒng)的輸入，以判別系統(tǒng)的振動 環(huán)境特性。如車、船、飛機(jī)的運(yùn)行，地震、風(fēng)、波浪引起的建筑物振動問題，在這些 問題中，已知振動結(jié)構(gòu)并較容易測得振動引起的動力響應(yīng)，但激勵卻不容易確定。為 了進(jìn)一步研究在這些特定激勵下原振動結(jié)構(gòu)及新振動結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)， 需要確定這些 激勵。這樣的問題通常稱為環(huán)境預(yù)測或環(huán)境模擬。環(huán)境預(yù)測屬于振動問題中的另一類 反問題。 任何力學(xué)系統(tǒng)，只要具有彈性和慣性，都可能發(fā)生振動。振動系統(tǒng)分為兩大類： 離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)。離散系統(tǒng)由集中參量元件組成。力學(xué)系統(tǒng)中的集中參量元件有 三種：質(zhì)量、彈簧和阻尼器。它們都是理想化的力學(xué)模型。質(zhì)量（包括轉(zhuǎn)動慣量）是 指具有慣性的力學(xué)模型。彈簧是不計(jì)本身質(zhì)量只具有彈性的模型。彈性力和形變一次 方成正比的彈簧稱為線性彈簧。 阻尼器模型既不具有慣性也不具有彈性， 是耗能元件， 在運(yùn)動中產(chǎn)生阻力。 連續(xù)系統(tǒng)是由彈性元件組成的。 彈性體可以看作由無數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成， 各質(zhì)點(diǎn)間有彈性聯(lián)系，只要滿足連續(xù)條件，任何微小的相對位移都是可能的。因此， 一個彈性體有無數(shù)多個自由度。典型的彈性元件有桿、梁、軸、板、殼等。彈性體的 慣性、彈性和阻尼是連續(xù)分布的，故稱為連續(xù)系統(tǒng)。連續(xù)系統(tǒng)具有連續(xù)分布的參量， 但是可以通過適當(dāng)?shù)姆椒ɑ癁殡x散模型。 振動系統(tǒng)按不同范疇可以給出多種分類。 按自由度劃分，振動系統(tǒng)分為有限自由度系統(tǒng)和無限自由度系統(tǒng)。前者對應(yīng)離散 系統(tǒng)，后者對應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)。所謂一個系統(tǒng)的自由度是指完全描述該系統(tǒng)的一切部位在 任何瞬時的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。 按運(yùn)動描述的微分方程形式劃分，振動系統(tǒng)分為線性振動和非線性振動。由線性 微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)；由非線性微分方程描述的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。 按激勵的有無和性質(zhì)劃分，振動還可以分為固有振動、自由振動、受迫振動、隨 機(jī)振動、自激振動和參數(shù)振動等。固有振動是無激勵時系統(tǒng)的所有可能的運(yùn)動集合， 它反映系統(tǒng)關(guān)于振動的固有屬性。自由振動是激勵消失后系統(tǒng)所作的振動；受迫振動 是系統(tǒng)在外界激勵下所作的振動； 隨機(jī)振動是系統(tǒng)在非確定性的隨機(jī)激勵下所作的振 動，物理參數(shù)具有隨機(jī)性質(zhì)的系統(tǒng)發(fā)生的振動也屬于隨機(jī)振動；自激振動是系統(tǒng)受到 其自身運(yùn)動誘發(fā)出來的激勵作用而產(chǎn)生和維持的振動，一般來說，這時系統(tǒng)包含補(bǔ)充 能量的能源；參數(shù)振動是激勵因素以系統(tǒng)本身的參數(shù)隨時間變化的形式出現(xiàn)的振動。 南京航空航天大學(xué)博士學(xué)位論文 1.1.2 振動系統(tǒng)的特征值問題 （1）廣義特征值問題 n自由度無阻尼線性振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程可表示為 )(tfkuum=+ m k c; m k b; m kk a nn1n 1i 1i i i 1i i i 1ii i l= + = + + + (2.21) 若已知串聯(lián)彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型的全部頻率和模態(tài)，即已知模態(tài)矩陣和頻率矩陣 1 1, , n n = = lo 由（2.19）可得到d，再利用遞推關(guān)系式（2.21）可求得物理參數(shù)，具體步驟如下： 算法 2.1 算法 2.1 （1）若 1 m已知，由 11 b ,a可得到 )ba(mkamk ,bmk 1112111112 = （2）由 21 b ,c，可得 32 k ,m 2 1 1 1223 1 1 1 1 2 2 b c b mbmk, c b m c k m= （3）由 i1i b ,c ，可得 1ii k ,m + = + = = 1i 1j j j i1ii1i 1i 1j j j 1 1i i i c b bmbmk, c b m c k m （)2n ,4 , 3i=l （4）由 1n2n b ,c ，可得 n1n k ,m = = = 2n 1j j j 1n11n1nn 2n 1j j j 1 2n 1n 1n c b bmbmk, c b m c k m （5）由 n a，可得 n m = = 2n 1j j j n 1n 1 n n n c b a b m a k m 結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的特征值反問題 值得注意的是，式（2.19）的三對角矩陣d可經(jīng)過相似變換約化為對稱三對角矩 陣j（jacobi矩陣） ，具體步驟如下： 選取可逆矩陣 = 1n 1 p p 1 p o 其中 )1n, 2 , 1i ( bbb ccc p i21 i21 i =l l l 對（2.15）式作相似變換pyx =，得 yjy= 其中dppj 1 =為對稱三對角矩陣，并與d相似從而具有相同的特征值。 （2）增容頻率反問題）增容頻率反問題 本節(jié)提出基于增容的振動系統(tǒng)頻率反問題。 增容系統(tǒng)就是在最后一個質(zhì)點(diǎn)上再串 聯(lián)上一個彈簧質(zhì)點(diǎn)振子得到的修改模型。 多自由度彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的固有振動方程，即廣義特征值問題為 mxkx= 其中 = n 2 1 m m m m o ， + + + + = nn nn1n 433 3322 221 kk kkk kkk kkkk kkk k o o o 可以相似約化為標(biāo)特征值問題 yay= （2.22） 其中 南京航空航天大學(xué)博士學(xué)位論文 + + + = n n n1n n n1n n 1n n1n 2 32 21 2 21 2 1 21 2 1 2 1 m k mm k mm k m kk m kk mm k mm k m kk kmma o ooo o （2.23） 是實(shí)對稱三對角矩陣。 xmy 2 1 =x m m n 1 o 如果得到矩陣a，可以得到類似于式（2.21）的表達(dá)式和算法，從中分離得到質(zhì) 量矩陣m和剛度矩陣k。 若已知原模型的全部頻率及其增容系統(tǒng)的全部特征值，識別系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)物理參 數(shù)， 即已知1+n階矩陣a的全部1+n個特征值和其n階順序主子矩陣的全部n個特征 值，確定矩陣a和a，從而進(jìn)一步得到質(zhì)量矩陣m和剛度矩陣k。 引理2.1 3 給定兩組實(shí)數(shù) 1 1 + = n ii 和 n ii1 = 滿足分隔條件 1iii+ kk dd （1, 2 , 1=nkl） ； 其中 = = + + = );1,.,2 , 1( , 0 );,.,2 , 1( , 1 1 1 nk yy xx d nkyxd kk kk k k i iik （2.25） 并且矩陣j的元素表達(dá)式為 () () () = =+ + = = = + + );1,.,3 , 2( ; 0,/ ; 0,/ ;/,/ );1,.,2 , 1( ,/ 111 111 111211 nk xyyyb xxxbxb a xxbaxxba nkddb kkkkk kkkkkk k nnnn kkk （2.26） 由引理2.2可知，在一定條件下兩個特征對惟一確定一個jacobi陣j，對問題1 我們只需證明由)x ,(，)y,(；)x ,(，)m,(和)x ,(，),(r分別確定的jacobi 南京航空航天大學(xué)博士學(xué)位論文 陣是相等的。 定理 2.1定理 2.1 問題2.1有惟一解的充要條件是： （i） 0 )6()5()4()3()2()1( = nnnnnn dddddd； （ii）0/)(/)(/)( )3()3()2()2()1()1( = kkkkkk dddddd； （iii）若0= k x， )5()5()4()4()1()1( /)(/)(/)( jjjjjj dddddd=； 1,=kkj 其中 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) = = = = = = + + + + + + + + + + + + = = ) 1,.2 , 1( ;, ;, ),.,2 , 1( ;, , ;, 1 16 1 15 1 14 1 13 1 12 1 11 1 6 1 5 1 4 11 3 1 21 nk mm rr d yy rr d yy mm d xx rr d xx mm d xx yy d nk rmdrydmyd rxdmxdyxd kk kk k kk kk k kk kk k kk kk k kk kk k kk kk k k i iik k i iik k i iik k i k i iik k i iikiik （2.27） 證明證明 由引理2.2， 滿足定理?xiàng)l件的)x ,(，)y,(；)x ,(，)m,(和)x ,(，),(r 可分別惟一確定三個jacobi陣j， , jj，其元素可分別表示為 () ( )( ) () () = =+ + = = = + + ; 1,.,3 , 2 ; 0,/ ; 0,/ ;/,/ ; 1,.,2 , 1,/ 111 111 111211 11 nk xyybyb xxxbxb a xxbaxxba nkddb kkkkkk kkkkkk k nnnn kkk （2.28） () ( )( ) () () =+ + = = = + + ; 0,/ ; 0,/ ;/,/ ; 1,.,2 , 1,/ 111 111 11 121 1 22 kkkkkk kkkkkk k nnnn kkk xmmbmb xxxbxb a xxbaxxba nkddb （2.29） 結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的特征值反問題 () ( )( ) () () = =+ + = = = + + ; 1,.,3 , 2 ; 0,/ ; 0,/ ;/,/ ; 1,.,2 , 1,/ 111 111 11 121 1 33 nk xrrbrb xxxbxb a xxbaxxba nkddb kkkkkk kkkkkk k nnnn kkk （2.30） 由條件(ii)可得1,.,2 , 1, 0 =nkbbb kkk 。 （iii）若0 k x，此時有 kkk aaa=； 若0= k x，則由條件 () ( )( ) () ( )( ) () ( )( ) () ( )( ) = = 4 1 4 1 1 1 1 1 4411 / / kkkk kkkk dddd dddd ； () ( )( ) () ( )( ) () ( )( ) () ( )( ) = = 4 1 4 1 1 1 1 1 4411 / / kkkk kkkk dddd dddd ； 利用 1k b， k b的表達(dá)式（2.28） ，可得 ( ) () ( ) ( ) () ( ) = = 4 1 4 11 44 kkk kkk ddb ddb 即有 () ( )( ) 0 44 11 =+ kkkkkk dbdbmy （2.31） 由于0 )( i k d及0 k x，可得0, 0 kk my； 將 ( )( ) kkkkkkkkkk ymymdymymd 11 4 11 4 1 , + =代入（2.31）式，再兩邊同除以 kkm y， 得 ()0)/(/ 11111 =+ +kkkkkkkkkk mmyybyymmb； 即 () kkkkkkkkkk mmbmbyybyb/ )( 111111+ +=+； 所以當(dāng)0= k x時，也有 kk aa =； 同理可得 kk aa =； 即 kkk aaa= 則 jjj=，且j以)x ,(，)y,(，)m,(和),(r為其特征對。充分性得證。 南京航空航天大學(xué)博士學(xué)位論文 下面證明必要性。假定問題1存在解j，使得)x ,(，)y,(，)m,(和),(r是j 的特征對。因?yàn)閷?shí)對稱矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，所以條件（i）成立； 條件（ii）成立顯然。定理2.1得證。 引理 2.3引理 2.3 31 給定三個互異實(shí)數(shù),和三個n維非零向量z , y, x要求構(gòu)造一個n 階jacobi矩陣j，使得)x ,(，)y,(，)z ,(是j的特征對的充要條件是： （i）0 )3()2()1 ( = nnn ddd （ii）0/)(/)( )2()2()1()1 ( = kkkk dddd； （iii）若0= k x， )3()3()1 ()1( /)(/)( jjjj ddvdd=；1,=kkj 其中 ( )( )( ) () ( )( )( ) () = = + + + + + + = ;1,.,2 , 1, ;,.,2 , 1, 1 13 1 12 1 11 111 321 nk yy zz d xx zz d xx yy d nkzydzxdyxd kk kk k kk kk k kk kk k k i k i k i iikiikiik （2.32） 并且矩陣j的元素表達(dá)式為 () () () = =+ + = = = + + );1,.,3 , 2( ; 0,/ ; 0,/ ;/,/ );1,.,2 , 1( ,/ 111 111 111211 nk xyyyb xxxbxb a xxbaxxba nkddb kkkkk kkkkkk k nnnn kkk （2.33） 由引理2.3可知，在一定條件下三個特征對惟一確定一個jacobi陣j，對問題2.2 我們只需證明由)x ,(，)y,(，)z ,(；)x ,(，)y,(，)m,(和)x ,(，)y,(， ),(r分別確定的jacobi陣是相等的。 定理 2.2定理 2.2 問題2.2有惟一解的充要條件是： （i） )10()9()8()7()5()4()3()2()1 ( nnnnnnnnn ddddddddd=； 結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的特征值反問題 （ii）0/)(/)(/)(/)( )4()4()3()3()2()2()1 ()1( = kkkkkkkk ddddddvdd （iii）若0= k x， )7()7()6()6()5()5()1 ()1( /)(/)(/)(/)( jjjjjjjj ddddddvdd= 1,=kkj 其中 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )() = = = = = = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = = = ) 1,.,2 , 1( , ;, ;, );,.2 , 1( , ;, ;, 1 110 1 19 1 18 1 17 1 16 1 15 1 14 1 13 1 12 1 11 1 6 1 9 11 8 1 7 1 65 1111 4321 nk mm nn d zz nn d zz mm d yy nn d yy mm d yy zz d xx nn d xx mm d xx zz d xx yy d nknmdnzd mzdnydmydzyd nxdmxdzxdyxd kk kk k kk kk k kk kk k kk kk k kk kk k kk kk k kk kk k kk kk k kk kk k kk kk k k i iik k i iik k i k i iik k i iik k i iikiik k i k i k i k i iikiikiikiik （2.34） 證明證明 由引理2.3， 滿足定理?xiàng)l件的)x ,(，)y,(，)z ,(；)x ,(，)y,(，)m,( 和)x ,(，)y,(，),(r可分別惟一確定三個jacobi陣j， , jj，其元素可分別表 示為： () ( )( ) () () = =+ + = = = + + ; 1,.,3 , 2 ; 0,/ ; 0,/ ;/,/ ; 1,.,2 , 1,/ 111 111 111211 11 nk xyybyb xxxbxb a xxbaxxba nkddb kkkkkk kkkkkk k nnnn kkk （2.35） 南京航空航天大學(xué)博士學(xué)位論文 () ( )( ) () () =+ + = = = + + ; 0,/ ; 0,/ ;/,/ ; 1,.,2 , 1,/ 111 111 11 121 1 11 kkkkkk kkkkkk k nnnn kkk xyybyb xxxbxb a xxbaxxba nkddb （2.36） () ( )( ) () () =+ + = = = + + ; 0,/ ; 0,/ ;/,/ ; 1,.,2 , 1,/ 111 111 11 121 1 11 kkkkkk kkkkkk k nnnn kkk xyybyb xxxbxb a xxbaxxba nkddb （2.37） 顯然有 kkk bbb=， kkk aaa=。 充分性得證。 下面證明其必要性。假定問題2.2存在解j，使得)x ,(，)y,(，)z ,(，)m,( 和)n ,(是j的特征對。因?yàn)閷?shí)對稱矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，所以條 件（i）成立；條件（ii）成立可用反證法證明，其具體的證明過程這里就不再贅述。 定理2得證。 2.2.4.2 數(shù)值算法 根據(jù)前面討論，給出如下問題2.1的算法描述。 算法 2.3 算法 2.3 （1）計(jì)算 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) = = = = = = + + + + + + + + + + + + = = ) 1,.2 , 1( ;, ;, ),.,2 , 1( ;, , ;, 1 16 1 15 1 14 1 13 1 12 1 11 1 6 1 5 1 4 11 3 1 21 nk mm nn d yy nn d yy mm d xx nn d xx mm d xx yy d nk rmdrydmyd rxdmxdyxd kk kk k kk kk k kk kk k kk kk k kk kk k kk kk k k i iik k i iik k i iik k i k i iik k i iikiik （2.38） 結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的特征值反問題 （2）如果 (1)(2)(3)(4)(5)(6) , nnnnnn dddddd有不為零的數(shù)，則問題無解； （3）如果有 ( )( )( )( )( )( )654321 , kkkkkk dddddd) 1,.,2 , 1(=nk為零，則此算法不能求解； （4）對于1,.,3 , 1=nk 當(dāng)0= k x時，若有 )5()5()4()4()1()1( /)(/)(/)( jjjjjj dddddd=1,=kkj 則 () ( )( ) () += = + ;/ ;/ 111 11 kkkkkk kkk yybyba ddb 否則問題無解。 當(dāng)0 k x時，若有 0/)(/)(/)( )3()3()2()2()1()1( = kkkkkk dddddd 則 () ( )( ) () += = + ;/ ;/ 111 11 kkkkkk kkk xxbxba ddb 否則問題無解； （5） nnnn xxba/ 11 = 問題2.2的算法類似容易得到。 2.2.4.3 數(shù)值例子 本節(jié)給出兩個數(shù)值例子。 例 2.3 例 2.3 給定四個特征值和特征向量：,2679 . 0 , 1, 2, 3= x=1,1.732,2,1.732,1，y =1,1,0,-1,-1，m=1,0,-1,0,1 ，n=1,-1.732,2,-1.732 ,1. 容易驗(yàn)證滿足定理2.1的條件，由算法2.3計(jì)算可得 = 21000 12100 01210 00121 00012 j 南京航空航天大學(xué)博士學(xué)位論文 例 2.4例 2.4 給定五個特征值和特征向量： ,296 . 0 ,296 . 4 , 2,543 . 3 ,543 . 7 =v x=1,1.848,2.415,2.614,2.415,1.848,1，y =1,-1.848,2.415,-2.614,2.415,-1.848,1, m=1,0.766,-0.414,-1.083,-0.414,0.766,1，n=1,-0.766,-0.414,1.083,-0.414,-0.766,1, z =1,-1,-1,0,1,0,-1。 容易驗(yàn)證滿足定理2.2的條件，計(jì)算可得 = 2 3 0 0 0 0 0 3 2 3 0 0 0 0 0 3 2 3 0 0 0 0 0 3 2 3 0 0 0 0 0 3 2 3 0 0 0 0 0 3 2 3 0 0 0 0 0 3 2 j 2.3 一類混合連接彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的振動反問題 2.3 一類混合連接彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的振動反問題 前面討論的是簡單連接彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的振動反問題。但實(shí)際問題中的一些結(jié)構(gòu) 振動系統(tǒng)化為混合連接彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)模型。 例如汽車懸掛的系統(tǒng) 95等都離散為混合 連接的彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)?；旌线B接彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的剛度矩陣是實(shí)對稱帶狀矩陣，混合 連接彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的振動反問題歸結(jié)為實(shí)對稱帶狀矩陣特征值反問題。 例如考慮如圖2.7所示的混合連接彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng) 結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的特征值反問題 1 k 7 k 1 m 2 k 2 m 5 k 6 k 3 k 8 k 3 m 4 k 4 m 圖 2.7 混合連接的彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng) 此振動系統(tǒng)的特征方程 mxkx= （2.39） 其中質(zhì)量矩陣m,mdiagm 41 l=，剛度矩陣為實(shí)對稱五對角矩陣 + + + + = 85448 4764336 838322 62621 kkkkk0 kkkkkkk kkkkkk 0kkkkk k （2.39）式等價于 xax= （2.40） 其中 + + + + = 4 854 43 4 42 8 43 4 3 7643 32 3 31 6 42 8 32 3 2 832 21 2 31 6 21 2 1 621 2 1 2 1 0 0 m kkk mm k mm k mm k m kkkk mm k mm k mm k mm k m kk