（計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）m帶小波與信號(hào)的壓縮重構(gòu).pdf

華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 由予小波分耩克服了傅立時(shí)分析的不怒，使得小波分析在圖像處理和信號(hào)處理中 繕到了廣泛靜應(yīng)焉。信號(hào)處耀秘潮像楚理串逶鬻勰鋈奪波鼴有粥下靜性豢：緊支，正 交，對(duì)稱，正規(guī)和內(nèi)捶。為了建立這樣的小波，關(guān)鍵楚建立兵有以上性質(zhì)麴尺發(fā)丞數(shù)， 由于尺度函數(shù)由其尺度濾波器完全確定，故構(gòu)造具有以上餓質(zhì)的小波化為構(gòu)造具有一 定性質(zhì)的尺度濾波裙。在2 進(jìn)小波系統(tǒng)中，除了哈爾小波的尺度濾波器對(duì)應(yīng)的尺度函 數(shù)，其它都不同時(shí)其有以上的性質(zhì)，因?yàn)? 迸小波的小波濾波器由尺度濾波器完全確 定，焉醚豢奪渡豹濾波器選擇有更多豹魯蠢。繪定一個(gè)m 帶尺度濾波囂藕一個(gè)啥爾 小波矩黲可以槐造m 豢小波濾波器進(jìn)囂褥小波。贗以攙造m 繁小波豹關(guān)鍵在予其尺 度濾波器的構(gòu)造。本文在假設(shè)小波具有n 階消失矩的情況下：對(duì)于最少長(zhǎng)度，繪出了 m 帶小波尺度濾波器構(gòu)造的公式；對(duì)予任意長(zhǎng)度，也給出了構(gòu)造的方法。 論文的第二部分從多尺度的憋想出發(fā)，提出一種由小波變換的模極大值及造成小 渡交換橫極大篷點(diǎn)瓣信號(hào)靜突交贏的纛規(guī)健來快速重構(gòu)信芍的方法。在備尺度下，依 據(jù)小波變換的模極大蠖及造成小波變換模極大蕊點(diǎn)鮑焦號(hào)鴕突變熹戇芷援性寐選取 基滿數(shù)擬舍信號(hào)在該尺度下的小波變換，然后利用這些在不同尺度下的擬含的小波分 量科作小波反演得熏構(gòu)信號(hào)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，它是一種快速而又有較高的信噪比的熏 構(gòu)方法。 ， 關(guān)鍵詞：m 繁小波濾波器模較大馕f 正瓣性；。多尺度分拆 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e nu s e dw i d e l yi nt h ef i e l d so f s i g n a lp r o c e s s i n ga n di m a g e p r o c e s s i n ga si th a so v e r c o m et h es h o r t a g eo f t h ef o u r i e ra n a l y s i s i nt h ef i e l d so f s i g n a l p r o c e s s i n g a n di m a g ep r o c e s s i n gw a v e l e ti s u s u a l l ye x p e c t e d t oh a v et h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s ：c o m p a c ts u p p o r t ，o r t h o g o n a l i t y , s y m m e t r y , r e g u l a r i t y , a n di n t e r p o l a t i o n t o c o n s t r u c ts u c hw a v e l e t ，i ti sc r u c i a l d e s i g n i n gs c a l i n g f u n c t i o nw i t ht h ea b o v ef i v e p r o p e r t i e s a st h es c a l i n gf u n c t i o ni sd e c i d e dc o m p l e t e l yb yi t sf i l t e r , i ti sc u r i a ld e s i g n i n g t h ef i l t e rt oh a v es o m e p r o p e r t i e s i nt w o b a n dc a s e s ，e x p e c tf o rt h eh a a rf i l t e r , t h e r ei sn o s c a l i n gf i l t e rc r e a t et h es c a l i n gf u n c t i o nw i t h t h ea b o v ef i v ep r o p e r t i e sb e c a u s ei t sw a v e l e t f i l t e ri sd e c i d e d c o m p l e t e l yb y i t ss c a l i n gf i l t e r , i nt h em b a n dc a s e s ，t h e r ei sm u c hf r e e d o m t oc h o i c et h ef i l t e r g i v e nas c a l i n gf i l t e ra n dah a a rw a v e l e tm a t r i x ，t h e r ei saw a yt o c o n s t r u c tt h em b a n dw a v e l e tf i l t e ra n dt h e nt h ew a v e l e t s oi ti sc r u c i a lt oc o n s t r u c tt h e m b a n dw a v e l e ts c a l i n gf i l t e rf o rc o n s t r u c t i n gam - b a n dw a v e l e t s 。i nt h i st h e s i s ，i nt h e c o n d i t i o nt h a tt h em - b a n dw a v e l e th a st h en v a n i s h i n gw a v e l e tm o m e n t ，af o r m u l ao f t h e m - b a n dw a v e l e tf i l t e rh a sb e e n g i v e n t ot h el e a s tl e n g t h t ot h ea r b i t r a r i n e s sl e n g t h , t h e r ei s a w a y t oc o n s t r u c t i o nt h es c a l i n gf i l t e ro f t h em - b a n dw a v e l e t s i nt h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i s ，b a s e d0 1 1t h em u l t i s e a l ei d e a l ，af a s ta l g o r i t h mw a s q u i e t t or e c o n s t r u c t i o nt h es i g n a lf r o mi t sw a v e l e tu - a n s f o r mm o d u l u sm a x i m aa n di t s r e 9 1 1 1 a d t y o fs i n g u l a r i t y c r e a t i n g t h ew a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m a t h eb a s e s f u n c t i o nw a sm a d ec h o i c eo f a c c o r d i n gt oi t sw a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m a a n di t s r e g u l a r i t yo fs i n g u l a r i t yt h a t c r e a t et h ew a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m ai no r d e rt o r e c o n s t r u c t i n g t h ew a v e l e tt r a n s f o r mo ft h es i g n a lo ne v e r ys c a l e ，a n da l lo ft h e s e c o m p o n e n t sw e r eu s e dt or e c o n s t r u c tt h es i g n a lb yi n v e r s et r a n s f o r m n u m e r i c a lr e s u l t s s h o w e dt h a tt h er e c o n s t r u c ta l g o r i t h mi sf a s ta n dc a n g e th i g hs i g n a ln o i s e r a t e k e y w o r d s ：m b a n d w a v e l e t sf i l t e r sm o d u l u sm a x i m a r e g n r l a r i t y m u l t i s c a l ea n a l y s i s i i 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 緒論 本章介紹小波分析的發(fā)展及相關(guān)的理論。同時(shí)也介紹本人所做的工作及本文的組 織方式。 1 1 從f o u r i e r 分析到小波分析 小渡分析是在不斷完善的f o u r i e r 分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。 1 8 0 7 年，f o u r i e r 在研究熱傳導(dǎo)方程時(shí)發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間【0 , 1 】上許多函數(shù)f ( t ) 都可以 由它的f o u r i e r 級(jí)數(shù)夕( 九) p 2 4 “表示， ，( n ) = - r ，( f ) p 一2 4 “西 這說明一個(gè)不可數(shù)的數(shù)據(jù)集合 f ( t ) ：r 0 ，l 】) 能夠通過一個(gè)可數(shù)的數(shù)據(jù)集合 f ( n ) ：r t z ) 取代，本質(zhì)上，這可看作是一種數(shù)據(jù)壓縮。后來將這種標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)族 e ”：n z ) 的離散加權(quán)和形式擴(kuò)展到為標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)族 p ：fer 的連續(xù)加權(quán)和，即 廠( f ) = 寺佇夕( f ) 口蛔d 0 9 其中權(quán)函數(shù) ，( c o ) = f 廠( f ) p d t 1 9 6 5 年，j w c o o l c y 和j t u k e 共同創(chuàng)建的快速f o u r i e r 變換的數(shù)值及計(jì)算方法使 得f o u r i e r 變換成為工程技術(shù)人員廣泛應(yīng)用的工具，它廣泛用于信號(hào)處理和其他技術(shù) 領(lǐng)域。 然而，f o u r i e r 變換有它固有的缺點(diǎn)，即在時(shí)域中沒有分辨能力，即變換夕( ) 關(guān) 于任何有限頻的信息都不足以確定與之對(duì)應(yīng)的時(shí)域表現(xiàn)，因此無(wú)論在理論上還是在實(shí) 踐中這個(gè)事實(shí)都帶來了許多困難和不便。 為了克服f o u r i e r 變換的缺陷，人們經(jīng)歷了長(zhǎng)期的探索，最終導(dǎo)致了小波分析的產(chǎn)生。 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 9 1 0 年，h a a r 在描述抽象的h i l b e r t 空間特征的論文中，首次構(gòu)造了空間r ( 【o ，l 】) 上的一個(gè)緊支撐正交基，設(shè) ，。= 2 一”門，2 一”( 行+ 1 ) 】r ，m ，胛z 則所有這樣的二進(jìn)區(qū)間滿足性質(zhì)：，。，。- 。 m m 。，在它上面定 義的緊支撐函數(shù) h 。( f ) ：= 2 一 ：。t2 ，：, 2 ，：- 一m 。n 。g 。+ t 。 ，2 ：，- ；m ，。( ：n 一+ 。1 。： ， l 0 ，其它 是正交的，即 = n ，。( f ) t _ ( o a t = 6 ( m m ) 占( 玎一，l + ) 而且，它們?cè)谌? ( 0 ，1 】) 中是完備的，對(duì)于上2 ( 0 ，1 ) ) 中的任何函數(shù)廠( r ) f ( t ) = h ，。( t ) 容易驗(yàn)證：h m 。( r ) = 2 2 h ( 2 “t - n ) 正是小波基的結(jié)構(gòu)特征，既所有基元素都是通過某 一個(gè)函數(shù)的伸縮和平移組成。h a a r 函數(shù)系，目前被稱為h a a r 小波，是早期人們發(fā)現(xiàn) 的第一個(gè)最簡(jiǎn)單的小波原型。 與h a a r 小波對(duì)應(yīng)的一個(gè)例子是s h a n n o n 小波，他與古典的s h a n n o n 采樣定理有關(guān)。 設(shè) 吡) = 業(yè)盟祟掣石 r lzj 則它的f o u r i e r 變換 曠( 0 9 ) = 拈是叫2 “一h 2 川 由妒( f ) 的平移和伸縮組成的函數(shù)系似。( f ) ：m ，1 z 構(gòu)成空間l 2 ( r ) 的一種正交基。 h a a r 小波和s h a n n o n 小波是兩個(gè)極端例子，前者在時(shí)域上有良好的局部特性， 而頻域的局部特性很差：而后者在頻域上有良好的局部特性，而時(shí)域局部特性很差。 這兩個(gè)例子自然啟示人們考慮這樣的問題：是否有在時(shí)域與頻域同時(shí)具有良好局部特 2 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 性的函數(shù)? 然而w h e i s e n b e r g 的不確定性原理卻給出令人很悲觀的結(jié)論，即任一個(gè)函 數(shù)和它的f o u r i e r 變換的時(shí)寬與頻寬之積大于一個(gè)常數(shù)。即對(duì)任意的島，r 和任意 的單位模函數(shù)y ( r ) l 2 ( r ) ，有下面的不等式： 一f 。( t - t o ) 2 妒。) 1 2 a 一i 。( 一2 眵( ) 1 2 d 國(guó)專 本質(zhì)上，這個(gè)不等式中的兩個(gè)積分分別是對(duì)函數(shù)y ( f ) 和礦( ) 分別在氣和處方差的 度量，因此，要對(duì)時(shí)間和頻率同時(shí)測(cè)得準(zhǔn)是不可能的。 為了彌補(bǔ)f o u r i e r 變換的不足，1 9 4 6 年，g a b a r 引進(jìn)了窗口f o u r i e r 變換或稱短時(shí) f o u r i e r 變換： 何( p 川) _ 擊_ l 八烈卜咖叫西 最初，g a b o r 取窗函數(shù)為g a u s s 函數(shù)g o ) = 7 州4 e 一戶坨，因?yàn)樗哂凶钚〉臅r(shí)寬頻 寬積，即h e i s e n b e r g 不等式中的等號(hào)成立，這樣，對(duì)于確定的，具有單能量的窗函數(shù) g ( t ) ，有下面的重構(gòu)公式： 廠。) 3 了殺里何( p ，g ( f 一們p 秘勿由 窗口f o u r i e r 變換是一種滑窗大小和形狀均固定的時(shí)頻局部化分析。因?yàn)轭l率與周期 成反比，因此，反映信號(hào)高頻成分需要窄的時(shí)間窗，而反映信號(hào)低頻成分需要寬的時(shí) 間窗。這樣，滑窗f o u r i e r 變換不能滿足這一要求。 為便于計(jì)算，人們需要將滑窗f o u r i e r 變換離散化，取p = p o ，q = n q o ，m ，療z ， 即頻域和時(shí)域的取樣長(zhǎng)度分辨為p 。和吼，則得到相應(yīng)的離散窗1 2 1f o u r i e r 變換序列： s f ( m p 。，n q 。) ：m ，刀z ) 。人們自然希望，找一個(gè)在時(shí)域和頻域都比較集中的窗函數(shù) g ( t ) ，使得函數(shù)系： g 。( r ) = g ( t 一，l go ) p 呷一：m ，力z ) 能構(gòu)成上2 ( 胄) 的正交基。但著名的b a l i a n - l o w 定理表明這是不可能的，因?yàn)槿粲泻瘮?shù) 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 g ( t ) 使得 g 。( ，) ：m ，n z 構(gòu)成上2 似) 的正交基，貝| j t g ( t ) 盛l 2 ( 胄) 與罐( c o ) 茌三2 ( r ) 兩者 中必有一個(gè)成立，所以這樣的函數(shù)g ( t ) 不能同時(shí)在時(shí)域和頻域具有良好的局部化性 質(zhì)a 這樣人們便退一步研究 g 。( ，) ：m ，, z 能構(gòu)成框架理論來研究連續(xù)小波變換的 離散化。 八十年代初，s t r o m b e r g 發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)非h a a r 系統(tǒng)的正交小波。同一時(shí)期，m e y e r 和他的同事們研究l i t t l e w o o d - p l a e y 表示的離散形式，他們給出調(diào)和分析中許多結(jié)果 的統(tǒng)一的解釋。與此同時(shí)，f r a z i e r 和j a w e r t h 發(fā)展了妒變換理論，人們開始認(rèn)識(shí)到， 在數(shù)值應(yīng)用中，它們能夠作為f o u r i e r 變換的一種有效的替代工具。它們可將描述函 數(shù)的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到表示本身和原子函數(shù)的構(gòu)造。這時(shí)，m e y e r 和m o r l e t 開始用w a v e l e t s 一詞來稱呼原子函數(shù)，由此，早期稱之為l i t t l e w o o d - p l a e y 的一些理論現(xiàn)在就取名 為小波理論。 1 2 小波的發(fā)展 1 9 8 6 年，m s m i t h 和t b a m w e l l 提出了共軛鏡像濾波器組的概念，這為二進(jìn)緊支 撐小波的構(gòu)造提供了契機(jī)。后來，e p v a i d y a n a t h a n 將其推廣到m 帶濾波器組，提出 了完全重構(gòu)的重大抽取系統(tǒng)，并對(duì)因果f i r 系統(tǒng)進(jìn)行了參數(shù)化，這一結(jié)果對(duì)信號(hào)處理 和后來的m 帶小波都起了重要的作用。同一年，m e y e r 提出了具有一定衰減性質(zhì)的 光滑小波函數(shù)v ( t ) 使得它的二進(jìn)伸縮和平移函數(shù)系 y ，( r ) = 2 剛2 礦( 2 “t 一甩) ：m ，r z 構(gòu)成二( r ) 的規(guī)范正交基。在那之前，人們認(rèn)為這樣的函數(shù)是不存在的。 繼m e y e r 小波后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分別獨(dú)立地給出具有指數(shù)衰減性質(zhì)的小波 函數(shù)。此后不久，m a l l a t 和m e y e r 提出了多分辨分析的概念，這一理論的建立不僅在 理論上統(tǒng)一了在此以前的s t r o n g b e r g 、l e m a r i e 和b a 士t l e 提出的具體小波的構(gòu)造，為人 們系統(tǒng)地構(gòu)造小波基提出了一個(gè)統(tǒng)一的框架，而且，在應(yīng)用中，它為信號(hào)的多分辨分 解和完全重構(gòu)提供了一個(gè)快速算法，這使得小波分析這門在數(shù)學(xué)上較高深和抽象的新 理論易于被工程技術(shù)人員理解和掌握，極大地加快和普及了小波變換在工程技術(shù)領(lǐng)域 的應(yīng)用。多分辨分析是一種介于時(shí)間域與頻率域相結(jié)合的分析方法，它基于人們認(rèn)識(shí) 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 事物過程的分辨原則，即人們認(rèn)識(shí)事物是一個(gè)逐步深化的過程，首先是總體輪廓，然 后是結(jié)構(gòu)線頭，最后是細(xì)節(jié)。 1 9 8 8 年，d a u b e r c h i e s 用m f l l a t 和m e y e r 的方法構(gòu)造了具有緊支撐的正交小波基。 九十年代，隨著理論與實(shí)際相結(jié)合的發(fā)展，隨著人們對(duì)小波要求的提高，小波的 一些性質(zhì)像對(duì)稱，緊支撐，消失矩和正則度被要求，然而在二進(jìn)小波中這些要求與正 交性是無(wú)法同時(shí)成立的。為此又提出了雙正交小波、m 帶小波、多小波等小波基。 1 9 9 5 年，w s w e l d e n 提出了通過提升過程構(gòu)造第二代小波的想法。提升過程是一 個(gè)簡(jiǎn)單而又實(shí)用的工具，使小波的構(gòu)造具有靈活性，并且包含了已有小波構(gòu)造的方法， 為在直線上實(shí)時(shí)或在曲面上實(shí)時(shí)構(gòu)造與信號(hào)自適應(yīng)的小波系統(tǒng)或局部小波系統(tǒng)( 如區(qū) 間小波) 提供了可能。 1 3 本論文的主要工作及論文的安排 本論文主要作了兩方面的工作。一是對(duì)m - 帶正交小波尺度濾波器的構(gòu)造的研究， 另一方面是給出了一種快速重夠信號(hào)的方法。 m 帶正交小波是由一個(gè)尺度函數(shù)9 ( x ) 和m - 1 個(gè)小波函數(shù)礦，妖砷2 ，_ 1 構(gòu)成：這個(gè)尺度函數(shù)伊( 構(gòu)成r ( r ) 一個(gè)多尺度分析，而這m 1 個(gè)小波構(gòu)成小波空間。 尺度函數(shù)與小波函數(shù)是相互正交的，不同小波函數(shù)之間也是相互正交的。因?yàn)槠椒娇?積函數(shù)( 本文指m 帶小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)) 與平方可和的序列是一一對(duì)應(yīng)的。 所以上面的問題化歸為求m 帶正交小波的濾波器問題。又因?yàn)橐粋€(gè)給定的尺度濾波 器和一個(gè)小波矩陣可以唯一地確定一個(gè)m 帶小波。而小波矩陣又可以參數(shù)化，故m 帶正交小波的構(gòu)造的關(guān)鍵就是其尺度濾波器的構(gòu)造。本文在假設(shè)m 帶小波具有n 階 消失矩的基礎(chǔ)上對(duì)其尺度濾波器的構(gòu)造進(jìn)行了研究：對(duì)于m 帶小波的尺度濾波器最 少長(zhǎng)度解給出了顯示的求解公式；對(duì)于濾波器長(zhǎng)度為任意的情況給出了求解其f o u r i e r 變換的方法，然后由其f o u r i e r 變換再得濾波器。 信號(hào)在突變處包含了信號(hào)中最重要的信息。這些最重要的信息能體現(xiàn)為信號(hào)在不 同尺度上小波變換的模極大值( 包含位置和大小) 。如何利用小波變換的模極大值重 構(gòu)信號(hào)在信號(hào)處理中具有十分重要的意義。本文在研究信號(hào)突變點(diǎn)( 造成小波變換模 極大值點(diǎn)) 的基礎(chǔ)上，認(rèn)為不同l i p s c h i t z 指數(shù)的信號(hào)突變點(diǎn)造成的小波變換模極大值 點(diǎn)不能等同對(duì)待，提出一種快速重夠信號(hào)的方法：根據(jù)小波變換模極大值在不同尺度 5 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 上的變換情況，把小波變換模極大值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分成不同的類別，然后再根據(jù)不同的類 別選取不同的基函數(shù)來擬合信號(hào)在各尺度下的小波變換，最后做小波反演得重構(gòu)信號(hào)， 實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示它是一種快速而又有較高信噪比的方法。 本論文按如下方式組織：第二章是一些基本知識(shí)，它是本論文的基礎(chǔ)，有一些也 是本人學(xué)習(xí)小波分析的心得。第三章介紹了m 帶正交小波尺度濾波器構(gòu)造，由m 帶小波的正交條件和它的正則性推導(dǎo)出：對(duì)于m 帶小波的尺度濾波器最少長(zhǎng)度解給 出了顯示的求解公式；對(duì)于濾波器長(zhǎng)度為任意的情況給出了求解其f o u r i e r 變換的方 法，然后由其f o u r i e r 變換再得濾波器。第四章介紹了一種快速重構(gòu)信號(hào)的方法：在 研究信號(hào)突變點(diǎn)( 造成小波變換模極大值點(diǎn)) 的基礎(chǔ)上提出了一種根據(jù)突變點(diǎn)的不同類 別選取不同的基函數(shù)來擬合信號(hào)在各尺度下的小波變換，最后做小波反演得重構(gòu)信號(hào) 的方法。 6 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 小波的基本理論 本章主要介紹小波的基本理論。它是后兩章的基礎(chǔ)，同時(shí)也起到統(tǒng)一符號(hào)的作用 有些是本人學(xué)習(xí)小波分析的體會(huì)。 2 1 基本概念和定義 全文采用下面的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)： z 表示整數(shù)集合 r 表示實(shí)數(shù)集 c 表示連續(xù)函數(shù)類 c 表示m 階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)類 二( r ) 表示定義在r 上的所有能量有限信號(hào)，即 fi f ( f ) i ! d t 蜘 符號(hào)i i ( r ) i i ：表示空間l 2 ( r ) 中信號(hào)，( f ) 的范數(shù)，即 l l f l l ：= ( j l f ( t ) l 2 d t ) 定義2 ir ( r ) 中兩個(gè)信號(hào)的內(nèi)積定義為： _ ( f 廠( r ) g - ( t ) a t ) 其中季( ，) 為g ( r ) 的共軛。 定義2 2 信號(hào)，( f ) r ( r ) 的f o u r i e r 變換定義為： 夕( = j 廠( f ) e - j o l t d o ) 相應(yīng)的f o u r i e r 逆變換為： 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 巾，= 蔓m d 仞 小波變換的特點(diǎn)之一就是用上2 ( r ) 中一個(gè)固定的函數(shù)的伸縮和平移來表示一個(gè)函 數(shù)，在連續(xù)小波變換的情況下，伸縮和平移是連續(xù)變化的，即基函數(shù)的基本構(gòu)成單元 為： 州忙而1 礦c 半加，6 咄 定義23 連續(xù)小波變換定義為： ，廠( 口，b ) = = 廠( f ) 嘸，6 ( t ) c t t 定義2 4 如果f ( r ) 中的函數(shù)滿足下面的允許條件： c ，= ) 鐘m t 伸 那么，( f ) 稱為允許小波。對(duì)于允許小波，有下面的重構(gòu)公式： 巾) = 寺l 蔓口，6 等 v 一 ” 定義2 5 如果函數(shù)礦( r ) 滿足下面的條件： tk y ( t ) a t = 0 ，k = 0 ，1 2 ，p 一1 則稱他具有p 階消失矩。 由允許條件，我們知道y ( r ) 至少應(yīng)該具有一階消失矩，即 fy ( f ) d t = 0 2 2 多分辨分析 m a l l a t 和m e y e r 創(chuàng)立了多分辨分折的理論，統(tǒng)一了那時(shí)以前的所有正交小波函數(shù) 8 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 基的構(gòu)造并為此后的構(gòu)造設(shè)定了框架。同時(shí)，在這一框架下他給出了信號(hào)和圖像分解 為不同頻域通道( 小波展開) 的算法及其重構(gòu)( 小波級(jí)數(shù)重構(gòu)) 算法。這就是著名的 m a l l a t 算法。m a l l a t 算法在小波分析中的地位就相當(dāng)于快速f o u r i e r 算法在f o u r i e r 分 析中的地位。 定義2 6 空間三2 ( r ) 中的一列閉子空間 一 。稱為一個(gè)多分辨分析，如果下列 條件滿足： ( 1 ) 單調(diào)性：一ic 一，w z ； ( 2 ) 逼近性：n = o ) ，u = 工2 ( r ) ； ，e z，t z ( 3 ) 伸縮性：廠( ，) 巧一l 錚f ( 2 t ) _ ； ( 4 ) 平移不變性：，( r ) v oj f ( t - k ) ，v 七z ； ( 5 ) r i e s z 基：存在f ( t ) ，使得 妒( ，一k ) ik z 構(gòu)成的r i e s e 基，即對(duì)任 意廠( ，) ，存在唯一的序列乜) 植，使得 廠( f ) = c 。妒( 卜k ) 七e z 反之，任意序列 c n ) 。z ，2 確定一個(gè)函數(shù)，( r ) v o ，并且存在正常數(shù)a 和b ，其中 a b ，使得對(duì)所有廠( r ) ，不等式 4 帆堋s 川2 s 8 1 1 s ( , ) l i ： i e z 成立。 實(shí)際上這個(gè)多分辨分析是由函數(shù)妒o ) 生成的，這是因?yàn)?( 1 ) 伊( f 一七) ik z ) 是的r i e s e 基，因此，v o = c l o s l ： ( 2 ) 由伸縮性很容易證明 妒，j ( f ) ik z ) 是_ 的r i e s e 基，從而 礦j = c l o s： ) 9 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 這里，。( f ) = 2 j - , 妒( 2 7 t - k ) 。由于伊( r ) z ock ，所以，存在唯一序列慨) m 1 2 使 得滿足下面的雙尺度方程： 伊( f ) = 厄h k 妒( 2f k ) 女z 這里 h 。) 稱為低通濾波器或尺度濾波器，其z 一變換為： h ( z - )= h 。z “ k z 它滿足歸一化條件：h ( 1 ) = 2 ，伊( ，) 稱為尺度函數(shù)。雙尺度方程是信號(hào)廠( r ) 進(jìn)行快 速小波變換的關(guān)鍵。 2 2 1 正交多分辨分析 設(shè)函數(shù)妒( ，) 生成一個(gè)多分辨分析，它還具有整數(shù)平移正交性，即 吧 i 妒( f 一肌) 歹( f 一櫛) a c t = 萬(wàn)( 以一m ) 則稱伊( ，) 生成三2 ( r ) 的一個(gè)正交多分辨分析。上面時(shí)域上的正交條件在頻域里的等價(jià) 形式為 p ( 2 k t r + 國(guó)) i 2=1 由這一條件及雙尺度方程的頻域表現(xiàn) 礦( ) = 六日( 爭(zhēng)) 伊( 爭(zhēng)) 我們有下面的等式 i h ( e ，。) 1 2 + i h ( e ，t m + 口) 1 2 = 2 它在時(shí)域里的表現(xiàn)為 h 。h 。一：i = 萬(wàn)( j ) 不妨設(shè)眵為一在巧+ - 中的正交補(bǔ)，即 l o 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 = = = = = ；= = 目= 那么我們有如下一些關(guān)系式 v i 。l = vi qw i 礦= o 矽， 2 。 三2 ( r ) = v j 。w j 上：( r ) ：。礦w ， ，= - ：m o 同空間一一樣，我們希望找到一個(gè)函數(shù)妒( r ) 甄使其整數(shù)平移( y ( ，k ) lk z 構(gòu)成 的正交基，而妒( r ) 的二進(jìn)伸縮和平移 y 從( t ) l t z ) 構(gòu)成的正交蒸，其中 y ，女( f ) = 2s 2 y ( 2 r 一七) 為此，我們注意到所要找的函數(shù)y ( ，) k ，于是存在唯一，2 序列 ) 使得 其頻域表現(xiàn)形式為 這里 妒( f ) = 厄gk 妒( 2 t 一j ) i ez 礦( 國(guó)) = 擊g 。2 ) 妒( 詈) g ( e 。) = g t p 一腩。 七e z 要使它的整數(shù)平移構(gòu)成的正交基，那么高通濾波器應(yīng)該滿足條件 h ( e 細(xì)) i 亨( g 岫) + h p 。+ 4 ) z 五p 4 ”州) = 0 | g p ”) f 2 + f g 怕”) 2 = 2 g ( e ”) 稱為高通濾波器如果取g ( p ”) = p 1 。h ( e “。”) ，或& = ( 一1 ) h 嚏。那么，它滿 l l 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 足上面的兩個(gè)條件，于是對(duì)任意的信號(hào)f ( t ) l 2 ( r ) ，有下面的小波級(jí)數(shù)展開 廠( f ) = d 卅y 卅( f ) 量e z e z 這里 d i j c = l f q 諺洙( t ) d t = 2 ml f ( t ) 7 ( 2 j t k ) d t 這表明模擬信號(hào)( x ) 與一個(gè)二元序列 d 肚) 小。：1 2 ( z 2 ) 是一一對(duì)應(yīng)的。 小波級(jí)數(shù)變換可以用濾波器組實(shí)現(xiàn)下面是著名的m a l l a t 塔式算法 分解算法 = = 帕i = 口伽h 川女2 = 乙 向帕i 。乞口伽川女 d j “t = = 廠，y 肋諂脅= 嘭。g 啪 回復(fù)算法 川，=(口i,nh一。+dj,nga 2 d g t 一2 。)“ 2 乙( 口 一。+t n ) h e z 其中a j , k 稱為第j 層的逼近信號(hào)，d j ，稱為第j 層的細(xì)節(jié)信號(hào)。 2 2 2 m - 帶正交多分辨分析 現(xiàn)在介紹m - 帶多分辨分析設(shè)低通濾波器向量( 尺度向量) 為h “，其長(zhǎng)度n = m k , 以長(zhǎng)度m 將上述向量分成k 段，則其多相位子列為： h o j = 磷“，聰，礎(chǔ)?！? 相應(yīng)的濾波傳遞函數(shù)為上j ( ：) ，于是它的z 變換可表示為 其中尺度向量h 0 可以用下面的式子進(jìn)行參數(shù)化( 嚴(yán)格地說是對(duì)尺度向量的多相位字 列的濾波傳遞函數(shù)的參數(shù)化) ： m z日 o z = 、， z ，l 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 f 1 擊如咖1 | 其中v ，為m 維單位列向量。對(duì)于給定的一個(gè)尺度向量人們可以用c 三一。個(gè)參數(shù)通過 g r a m s c h m i d t 正交化過程得一個(gè)矩陳s ：s ；s = m i ，使它的第一列正好是給定的 ( 1 ，l ，l 1 7 ，所以有下面的偽正交多相位矩陣： 日( z ) = h o o ( z ) ，h l ，o ( z ) ，_ 厶0 吐o ( z ) h o ，i ( z ) ，日i ，i ( z ) ，吼川( z ) 日o “一i ( 力，h 1 w l ( ：) ，日 f i ，一l ( z ) = 面1 蚪k - i 帥。v j + v l v s 于是可定義m - 帶正交小波妒，y 1 ( ，) ，y 2 ( ，) ，y ”。( ，) ，它們滿足： = 萬(wàn)( 行) 妒( 撇一n ) y ( f ) = 砑魄( ”) 妒( 腳一九) ，i = 1 ，2 ，3 ，m - 1 9 = m “72 妒( m t n ) y 。m 一= m ”“y ( m t 一一) ，i = 1 , 2 , 3 ，m 一1 匕= s p a n 伊。( ，) ：櫛： 阡：= p 口一 l 礦：。( ，) ：n ：) i = 1 , 2 , 3 m 一1 那么上面的m 帶小波構(gòu)成多尺度分析： m - i j = 一一o ( o 壇一1 ) c e tc ck c c l o s e ( ) j 。= f ( r ) n 一= o j t ： = 1j 、i，) q 心心； h 日 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 3m 帶小波尺度濾波器的構(gòu)造 m 帶正交小波的構(gòu)造就是要找一個(gè)尺度函數(shù)妒( 工) 和m 1 個(gè)小波函數(shù) 妒，( 工) ，緲2 ( x ) ，一l ( x ) ：這個(gè)尺度函數(shù)妒( x ) 構(gòu)成三2 ( r ) 的一個(gè)多尺度分析，而這m 1 個(gè)小波y 。( x ) ，y ：( 工) ，一( z ) 構(gòu)成小波空間。尺度函數(shù)與小波函數(shù)是相互正交的，不 同小波函數(shù)之間也是相互正交的。因?yàn)槠椒娇煞e函數(shù)的尺度函數(shù)和平方可和的序列是 一一對(duì)應(yīng)的。所以上面的問題化歸為求濾波器的問題。又因?yàn)橐粋€(gè)給定的尺度濾波器 和一個(gè)小波矩陣可以唯一地確定一個(gè)m 帶小波。而小波矩陣又可以參數(shù)化，故m 帶正交小波的構(gòu)造的關(guān)鍵就是其尺度濾波器的構(gòu)造。 本章按下面的方式組織內(nèi)容。第一節(jié)介紹小波與濾波器：因?yàn)槌叨葹V波器與尺度 函數(shù)、小波濾波器與小波函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，所以無(wú)論是二進(jìn)小波還是m 帶小波的 構(gòu)造都化歸為其濾波器的構(gòu)造，對(duì)于二進(jìn)小波，其小波濾波器由其尺度濾波器唯一確 定，對(duì)于m - 帶小波，其小波濾波器在已知尺度濾波器的情況下可以參數(shù)化，所以無(wú) 論是二進(jìn)小波還是m 帶小波的構(gòu)造都化歸為其尺度濾波器的構(gòu)造。第二節(jié)介紹消失 矩：消失矩在m 帶小波中是一個(gè)很重要的概念，本章的m - 帶小波尺度濾波器最少長(zhǎng) 度解與任意長(zhǎng)度解都是就是在這一概念的基礎(chǔ)上得到的。第三節(jié)是m 帶小波尺度濾 波器的最少長(zhǎng)度解：在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出一種求解m 帶小波尺度濾波器最少長(zhǎng)度解的 方法。第四節(jié)是m 帶小波尺度濾波器任意長(zhǎng)度解的求法：對(duì)于最少長(zhǎng)度解雖然有顯 示的公式，但人們還是不希望濾波器的長(zhǎng)度被唯一固定，希望濾波器的長(zhǎng)度是任意的， 所以對(duì)任意長(zhǎng)m 帶小波濾波器的求法研究具有重要的意義。 3 1 小波與濾波器 在2 進(jìn)小波中，我們知道正交小波濾波器由尺度濾波器唯一確定。因此，2 進(jìn)小 波的構(gòu)造歸根到底就是尺度濾波器的構(gòu)造。設(shè)2 - 進(jìn)小波的尺度函數(shù)為9 ( x ) ，小波函 數(shù)為y ( x ) ，尺度濾波器為 以 m ( 又稱為低通濾波器，也稱尺度濾波器系數(shù)) 尺度 濾波器唯一確定的小波濾波器為 既 ( 又稱高通濾波器，也稱高通濾波器系數(shù)) 。 1 4 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 其中g(shù) 。= ( 一1 ) “1 啊一。那么它們滿足 妒( ，) = 2 ht 妒( 2x k ) ( z ) = 厄。伊( 2 x 一七) 上面兩個(gè)等式兩邊作f o u r i e r 變換得 礦( 甜) = h 。( 爭(zhēng)) 礦( 爭(zhēng)) 礦( 珊) = h t ( 爭(zhēng)矽( ) 苴中 h 。( ) = 向。e 。 ( 3 i 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) h 。( 國(guó)) = g 。p 反復(fù)利用( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 我們得下面的等式 ( ) ：r i 日。( 百0 7 ) ( 3 礦( c o ) = h 。( 牛) n 日。( 魯) ，。i ( 3 1 6 ) 由上面的結(jié)論我們知道：對(duì)于2 進(jìn)小波，如果我們知道尺度函數(shù)的濾波器，我們就知 道了小波函數(shù)的濾波器：再f l j ( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 求得2 進(jìn)小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)的 f o u r i e r 變換；然后再儆f o u r i e r 反變換就得2 進(jìn)小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)。 對(duì)于m 帶小波，我們有類似的結(jié)論。設(shè)m 帶小波的尺度函數(shù)為妒( x ) ，小波函數(shù) 為礦5 ( x ) j = 1 , 2 , 3 ，m 一1 ，尺度濾波器為 h o i ) m ( 又稱為低通濾波器，或稱尺度濾 波器系數(shù)) ，小波濾波囂為 k m s = 1 , 2 , 3 ，m - i ( 又稱商通濾波器，或稱高通濾波 器系數(shù)) 。那么它們滿足 妒( 工) = 廳 妒( 壇一k ) ( 3 1 7 ) 華中辭技大學(xué)碩士學(xué)位論文 吵5 ( x ) = 切曠矗啦妒 t 力淤繁奪渡瓣尺液濾波器， 犯，s = l ，2 , 3 ，。，m - 1 為海蒂夸渡 豹，j 、渡濾波囂，n m 為濾波器鵑長(zhǎng)度，那么下薔麓矩陣 1 6 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 h = h o ，oh o 1 h i o h j 1 h 2 oh 2 1 一h 。“l(fā) 一 h l 。2 一h i m f l h 2 2 廳2 一l ，_ 1 2 m “一i 稱為小波矩陣。 顯然，如果我們知道了m - 帶小波的小波矩陣，我們就知道m(xù) 帶小波。 定義3 1 2 多相位矩陣 - i 如果設(shè) 。( z ) = h 。+ 。z 7 ，那么稱矩陣 日( = ) = ，o ( ：) 0 l ( z )2 ( z ) 塒一l ( z ) h i o ( z ) h 1 1 ( 引h o 2 ( ：) l 一i ( z ) h 2 o ( z ) h 2 1 ( ：) h 2 2 ( z ) h 2 m - l ( z ) !； ；! ，一i o ( z ) 。一l l ( ：) ?！耙籭 ，2 ( z ) m 1 ，一i ( z ) 為多相位矩陣。特別的，當(dāng)z = l 時(shí)稱為特征小波矩陣。 定義3 1 3h a a r 小波矩陣 如果矩陣s 滿足下面的兩個(gè)條件： s s ，t = mj ， so t = 1 ，vk 則稱矩陣s 為h a a r 矩陣，其中矩陣s 為下面的形式。 s = s o 0s 0 1s o 2 $ o a f l 、，一l , s t 0s 1 1s i 2 。s l 塒v i s 2 0s 2 ，ls 2 ，2 s 2 j “一1 8 ) 4 一i 0s m - i 1s m i 2 s m i , m n 如果我們知道m(xù) 帶小波的尺度濾波器和一個(gè)h a a r 小波矩陣，那么我們可以用下面 的參數(shù)化方法求得m - 帶小波的多相位矩陣，進(jìn)而得小波矩陣，即得到了濾波器，從而 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 得m 一帶小波。 定理3 1 1 m 帶小波多相位矩陣構(gòu)造 給定一個(gè)m x m 的h a a r 小波矩陣s 和一個(gè)尺度l 肘的濾波器可以構(gòu)造一個(gè) 肘m 的小波矩陣，它的第一行為h o ，s 為它的多相位矩陣的特征矩陣，假設(shè)u 為單 位列向量，那么它的多相位矩陣為： f - 1 日( z ) = ( n ( ，一v 。v ；+ z 。咋v ；) ) s t 4 0 由定理3 1 我們知道，如果我們構(gòu)造了m 帶小波的尺度濾波器，我們就可以參數(shù) 化構(gòu)造它的小波濾波器。所以構(gòu)造m 帶小波的關(guān)鍵在于構(gòu)造其尺度濾波器。 3 2 消失矩 消失矩在小波分析和圖像處理中是一個(gè)非常重要的概念。小波函數(shù)的消失矩越高 小波分析逼近信號(hào)的效果就越好。 定義3 2 1 小波函數(shù)的消失矩 如果小波函數(shù)y ( x ) 滿足 鼉 ix ”y ( x ) 出= 0 ，玎= 0 ，l ，2 ， 一1 我們就說該小波具有n 階消失矩。 定理3 2 1 對(duì)于2 進(jìn)小波來說，小波函數(shù)有n 階消失矩等價(jià)于其對(duì)應(yīng)的尺度濾波器滿足： ( 一1 ) k ”口。= 0 ，n 2 0 ，l ，2 ，n - 1 。 對(duì)于m 帶小波的情況，有下面類似的定理。 定理3 2 2 對(duì)于m 進(jìn)小波來說，小波函數(shù)有n 階消失矩等價(jià)于其對(duì)應(yīng)的尺度濾波器滿足： f k 口= 0 ，n = o ，l ，2 一l t 其中- = e 2 ”。 1 8 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 對(duì)于m 帶小波我們知道小波濾波器不能由尺度濾波器唯一確定，小波濾波器的 選取有它的靈活性，正是因?yàn)檫@種靈活性，使m 帶小波可以具有2 帶小波沒有的性 質(zhì)e 它有一個(gè)尺度濾波器和m - 1 個(gè)小波濾波器，如果我們令 口。) ， 口。) ) ， 口。 ，。 分 別表示尺度濾波器和小波濾波器，它們構(gòu)成一個(gè)小波矩陣且滿足 q s , k 口。_ 州= m 萬(wàn)。 ( 3 2 1 ) 口= m 艿剛( 3 2 2 ) k ( 3 2 1 ) 為m - 帶小波的正交條件，( 3 2 2 ) 為m 帶小波的線性條件。滿足這兩個(gè)條 件的濾波器構(gòu)成一個(gè)m 帶正交小波濾波器。 我們假設(shè)尺度濾波器和小波濾波器的長(zhǎng)度為m g , 如果長(zhǎng)度不夠，我們?cè)诤竺嫣砹悖?使它滿足我們的假設(shè)。那么小波矩陣為m g g 階的，把該矩陣分成g 個(gè)m m 的小 矩陣。即如下分解： a = ( ao ，4 ”，ag - i ) 令 知；，= 口。，+ n f ：7 那么小波矩陣的多相位矩陣為 h ( ：) = a o + z a l + + z g - i a g 一 定義3 2 如果矩陣h ( z ) 滿足 h ( z ) g7 ( ：一1 ) = 塒h = l 我們就稱它是仿酉的。 定理3 2 3 滿足( 3 2 1 ) 條件的濾波器組成的小波矩陣其對(duì)應(yīng)的多相位矩陣為仿酉矩陣；多相 位矩陣對(duì)應(yīng)的矩陣的濾波器也滿足( 3 2 1 ) 。 如果我們定義濾波器的f o u r i e r 變換為 1 9 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 ；= = = = 一 a ；( e ”) = 黔s , k e f ko j 那么( 3 2 1 ) 的正交條件在頻率中的表現(xiàn)為 三副佃“) 互- e i ( + 2 x m m ) ) 。 ( 3 2 3 ) 由 h 7 ( z 一1 ) 日( z ) = 尥 有 一i a ，( e ) i ；1 定理3 2 4 m 帶小波濾波器具有n 階的消失矩，等價(jià)于下列之一成立 ( i ) 對(duì)應(yīng)的小波濾波器有n 階消失矩 ( 2 ) a o 在g - ”= e 2 ”“有n 階零點(diǎn) ( 3