勾股定理的證明方法(精選多篇).doc

勾股定理的證明方法(精選多篇) 勾股定理的證明方法 緒論 勾股定理是世界上應用最廣泛,歷史最悠久,研究最深入的定理之一,是數(shù)學、幾何中的重要且基本的工具。而數(shù)千年來，許多、許多個人對于這個定理之證明數(shù)不勝數(shù)，達三百余種?？梢?，勾股定理是人類利用代數(shù)思想、數(shù)學思想解決幾何問題、生活實際問題的共同智慧之結(jié)晶，也是公理化證明體系的開端。 第一節(jié)勾股定理的基本內(nèi)容 文字表述：在任何一個的直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方。數(shù)學表達：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2事實上，它是余弦定理之一種特殊形式。 第二節(jié)勾股定理的證明 2.1歐洲 在歐洲,相傳最早證明勾股定理的是畢達哥拉斯，故在歐洲該定理得名畢達哥拉斯定理；又因畢達哥拉斯在證畢此定理后宰殺一百頭牛慶祝，故亦稱百牛定理。 歐洲最早記載這一定理之書籍，屬歐幾里得幾何原本。 畢達哥拉斯的證明方法（相傳）： 一說采用拼圖法，一說采用定理法。 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像左圖那樣拼成兩個正方形。 從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a+b，所以面積相等。 a2+b2+41/2ab=c2+41/2ab，即可得到。 定理法就是幾何原本當中的證法： 設abc為一直角三角形，其中a為直角。從a點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。 在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（sas定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。任意一個四方形的面積等于其二邊長的乘積（據(jù)輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個正方形轉(zhuǎn)換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個同等面積的長方(本文：)形。 2.2中國 周髀算經(jīng)、九章算術(shù)當中都有相關問題的記載。 周髀算經(jīng)的證明方法： “數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。”以矩的兩條邊畫正方形（勾方、股方），根據(jù)矩的弦外面再畫一個矩（曲尺，實際上用作直角三角），將“外半其一矩”得到的三角形剪下環(huán)繞復制形成一個大正方形，可看到其中有邊長三勾方、邊長四股方、邊長五弦方三個正方形。驗算勾方、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等從圖形上來看，大正方形減去四個三角形面積后為弦方，再是大正方形減去右上、左下兩個長方形面積后為勾方股方之和。因三角形為長方形面積的一半，可推出四個三角形面積等于右上、左下兩個長方形面積，所以勾方+股方=弦方。趙爽弦圖或許是中國人最著名的一種證法。 趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形abde是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則 面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子： 4（ab/2）+（b-a）2=c2; 化簡后便可得： a2+b2=c2 亦即： c=（a2+b2） 可見，中國古人主要采取拼圖法進行證明。后來美國總統(tǒng)加菲爾德也曾采用拼圖法，利用面積巧妙的證明了勾股定理，他用了兩個全等的直角三角形拼成一個梯形，利用面積法進行證明，非常巧妙。 2.3其他方法 最快：射影定理法，利用相似形來證明。 面積思想：利用三角形五心的性質(zhì)，利用面積來證明。 綜上所述，勾股定理的證明是人類智慧的結(jié)晶。 勾股定理證明方法 勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。 中國古代對這一數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學著作周髀算經(jīng)的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學知識的對話：周公問：我聽說您對數(shù)學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數(shù)據(jù)呢？商高回答說：數(shù)的產(chǎn)生對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形矩得到的一條直角邊勾等于3，另一條直角邊股等于4的時候，那么它的斜邊弦就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的呵。如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學界把它稱為勾股定理是非常恰當?shù)摹?在九章算術(shù)一書中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達。書中的勾股章說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦?！本耪滤阈g(shù)系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢以來的數(shù)學成就，共收集了246個數(shù)學的應用問題和各個問題的解法，列為九章，可能是所有中國數(shù)學著作中影響最大的一部。 中國古代的數(shù)學家們最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”， 用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。 上中間的那個小正方形組成的。 每個直角三角形的面積為ab/2； 中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。 于是便可得如下的式子： 4（ab/2）+（b-a）2=c2 化簡后便可得：a2+b2=c2 在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形abde是由4個相等的直角三角形再加 劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數(shù)的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入) ， 結(jié)果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。 1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭日志上發(fā)表了他對勾股定理的證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法 古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學創(chuàng)新的重大意義。 這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為的直角 三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式 化簡得 ，。 勾股定理的證明方法 。 這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數(shù)學史上被傳為佳話。 的平方=3的平方+4的平方 在圖一中，dabc為一直角三角形，其中?a為直角。我們在邊ab、bc和ac之上分別畫上三個正方形abfg、bced和ackh。過a點畫一直線al使其垂直於de并交de於l，交bc於m。不難證明，dfbc全等於dabd(s.a.s.)。所以正方形abfg的面積=2?dfbc的面積=2?dabd的面積=長方形bmld的面積。類似地，正方形ackh的面積=長方形mcel的面積。即正方形bced的面積=正方形abfg的面積+正方形ackh的面積，亦即是ab2+ac2=bc2。由此證實了勾股定理。 這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關系來進行。不單如此，它更具體地解釋了，兩條直角邊邊長平方之和的幾何意義，這就是以ml將正方形分成bmld和mcel的兩個部分! 這個證明的另一個重要意義，是在於它的出處。這個證明是出自古希臘大數(shù)學歐幾里得之手。 歐幾里得(euclidofalexandria)約生於公元前325年，卒於約公元前265年。他曾經(jīng)在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，并完成了著作幾何原本。幾何原本是一部劃時代的著作，它收集了過去人類對數(shù)學的知識，并利用公理法建立起演繹體系，對后世數(shù)學發(fā)展產(chǎn)生深遠的影響。而書中的第一卷命題47，就記載著以上的一個對勾股定理的證明。 圖二中，我們將4個大小相同的直角三角形放在一個大正方形之內(nèi)，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個正方形。設直角三角形的斜邊長度為c，其余兩邊的長度為a和b，則由於大正方形的面積應該等於4個直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有 (a+b)2=4(1/2ab)+c2 展開得a2+2ab+b2=2ab+c2 化簡得a2+b2=c2 由此得知勾股定理成立。 勾股定理證明方法 勾股定理的種證明方法(部分) 【證法1】(梅文鼎證明) 做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使d、e、f在一條直線上.過c作ac的延長線交df于點p. d、e、f在一條直線上,且rtgefrtebd, egf=bed， egf+gef=90， bed+gef=90， beg=180?90?=90?. 又ab=be=eg=ga=c， abeg是一個邊長為c的正方形. abc+cbe=90?. rtabcrtebd, abc=ebd. ebd+cbe=90?. 即cbd=90?. 又bde=90?，bcp=90?， bc=bd=a. bdpc是一個邊長為a的正方形. 同理，hpfg是一個邊長為b的正方形. 設多邊形ghcbe的面積為s，則 , . 【證法2】(項明達證明) 做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(ba)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使e、a、c三點在一條直線上. 過點q作qpbc，交ac于點p. 過點b作bmpq，垂足為m;再過點 f作fnpq，垂足為n. bca=90?，qpbc， mpc=90?， bmpq， bmp=90?， bcpm是一個矩形，即mbc=90?. qbm+mba=qba=90?， abc+mba=mbc=90?， qbm=abc， 又bmp=90?，bca=90?，bq=ba=c， rtbmqrtbca. 同理可證rtqnfrtaef. 【證法3】(趙浩杰證明) 做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(ba)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形. 分別以cf，ae為邊長做正方形fcji和aeig， ef=df-de=b-a，ei=b， fi=a， g,i,j在同一直線上， cj=cf=a，cb=cd=c， cjb=cfd=90?， rtcjbrtcfd， 同理，rtabgrtade， rtcjbrtcfdrtabgrtade abg=bcj, bcj+cbj=90?, abg+cbj=90?, abc=90?, g,b,i,j在同一直線上， 【證法4】(歐幾里得證明) 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使h、c、b三點在一條直線上，連結(jié) bf、cd.過c作clde， 交ab于點m，交de于點 l. af=ac，ab=ad， fab=gad， fabgad， fab的面積等于， gad的面積等于矩形adlm 的面積的一半， 矩形adlm的面積=. 同理可證，矩形mleb的面積=. 正方形adeb的面積 =矩形adlm的面積+矩形mleb的面積 ，即. 勾股定理的別名 勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數(shù)學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發(fā)現(xiàn)并且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。 我國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家。我國古代數(shù)學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”.在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。 在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。 在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥