數(shù)學(xué)建模與經(jīng)濟(jì)學(xué)的關(guān)系

數(shù)學(xué)模型與經(jīng)濟(jì)學(xué)的關(guān)系摘要：隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)模型這個(gè)詞匯越來越多的出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會活動(dòng)中。每一門學(xué)科要想成為一門科學(xué)，首先要經(jīng)過數(shù)學(xué)的推理驗(yàn)證，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，經(jīng)濟(jì)學(xué)也不例外。本文主要闡述了最優(yōu)價(jià)格模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的指導(dǎo)意義，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型是研究經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要工具，在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中占有重要的地位。文章從經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵、構(gòu)建經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的方法、遵循的基本原則以及所要注意的問題進(jìn)行了簡要分析和論述。 數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)息息相關(guān)，可以說每一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究、決策，都離不開數(shù)學(xué)的應(yīng)用。特別是自從諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)創(chuàng)設(shè)以來，利用數(shù)學(xué)工具來分析經(jīng)濟(jì)問題得到的理論成果層出不窮，經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用數(shù)學(xué)方法的趨勢越來越明顯。當(dāng)代西方經(jīng)濟(jì)學(xué)認(rèn)為，經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本方法是分析經(jīng)濟(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系，建立經(jīng)濟(jì)模型，從中引申出經(jīng)濟(jì)原則和理論，進(jìn)行預(yù)測、決策和監(jiān)控。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)的運(yùn)用首要的問題是實(shí)用性和實(shí)踐性問題，即能否用所建立的模型去概括某一經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象或說明某一經(jīng)濟(jì)問題。因而，數(shù)學(xué)模型分析已成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的基本趨向，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型在研究許多特定的經(jīng)濟(jì)問題時(shí)具有重要的不可替代的作用，在經(jīng)濟(jì)學(xué)日益計(jì)量化、定量分析的今天，數(shù)學(xué)模型方法顯得愈來愈重要。關(guān)鍵字：經(jīng)濟(jì)學(xué) 數(shù)學(xué)模型 最優(yōu)價(jià)格 一.引言科學(xué)與生產(chǎn)生活和數(shù)學(xué)模型的關(guān)系變得越來越緊密。工程師要建立數(shù)學(xué)模型，用這個(gè)模型對控制裝置作出相應(yīng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算。城市規(guī)劃工作者需要建立一個(gè)包括人口、經(jīng)濟(jì)、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實(shí)際問題與工作者掌握的數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁。將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到實(shí)際問題中時(shí)，往往首先是把這個(gè)問題的內(nèi)在規(guī)律用數(shù)字、圖表或者公式、符號表示出來，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)的處理得到定量的結(jié)果，以供人們作分析、預(yù)報(bào)、決策或者控制，這個(gè)過程實(shí)際上就是一個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的過程。數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)的聯(lián)系是十分緊密的，而對數(shù)學(xué)的應(yīng)用往往要通過數(shù)學(xué)模型。無論現(xiàn)在還是以后的學(xué)習(xí)和工作，建立數(shù)學(xué)模型都將是一個(gè)解決問題的重要的方法。二.最優(yōu)價(jià)格模型經(jīng)濟(jì)問題往往通過轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型來分析。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。它具有高度的抽象性，在經(jīng)濟(jì)上應(yīng)用的范圍很廣。經(jīng)濟(jì)范疇和經(jīng)濟(jì)過程同樣是質(zhì)和量的統(tǒng)一。在對生產(chǎn)方式以及與之相適應(yīng)的生產(chǎn)關(guān)系進(jìn)行質(zhì)的分析的前提下，對反映生產(chǎn)方式以及與之相適應(yīng)的生產(chǎn)關(guān)系的經(jīng)濟(jì)范疇和經(jīng)濟(jì)過程進(jìn)行量的分析，將有助于認(rèn)識的深化，有助于理論的應(yīng)用。從這一方面來說，馬克思主義經(jīng)濟(jì)學(xué)所提示的原理和規(guī)律，不少都有可能用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，用數(shù)學(xué)模型來表示。馬克思自己就曾經(jīng)想運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來說明經(jīng)濟(jì)危機(jī)的規(guī)律性。馬克思提出了運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的前提條件：首先，材料必須是足夠的；其次，材料必須是經(jīng)過檢驗(yàn)的。數(shù)學(xué)模型為西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家提供了方便。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家在他們的研究中大量地運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，他們所用的數(shù)學(xué)方法幾乎遍及純數(shù)學(xué)的各主要分支。不可否認(rèn)，數(shù)理分析的方法要比單純文字說明、推理更方便、更精確，有時(shí)也更能說服人。大量的數(shù)學(xué)符號和算式推導(dǎo)，使經(jīng)濟(jì)過程和現(xiàn)象的表述較為簡潔、清晰和直觀。現(xiàn)在的數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)，金融數(shù)學(xué)，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的蓬勃發(fā)展和其廣闊的發(fā)展前景都說明了經(jīng)濟(jì)是必須要和數(shù)學(xué)結(jié)合起來研究的，而且經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究史是一個(gè)從定性分析研究向定量研究轉(zhuǎn)變的過程，并最終是嚴(yán)密的定量研究的趨勢，而在定量研究過程中，是否能準(zhǔn)確地建立數(shù)學(xué)模型關(guān)系著該領(lǐng)域研究的成功與否。在經(jīng)濟(jì)學(xué)界和數(shù)學(xué)界都赫赫有名的數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)大師約翰納什，通過數(shù)學(xué)模型把日常生活中生動(dòng)的經(jīng)濟(jì)問題分析并深化研究，總結(jié)出了著名的納什均衡1。這個(gè)著名的經(jīng)濟(jì)論斷成為經(jīng)濟(jì)學(xué)界堅(jiān)實(shí)的理論基石，為以后研究更個(gè)領(lǐng)域的博弈問題提供了理論基礎(chǔ)，可以說正是數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)的完美結(jié)合才創(chuàng)造除了世界寶貴的財(cái)富，經(jīng)濟(jì)和數(shù)學(xué)密不可分的關(guān)系也就不言而喻了。下面的最優(yōu)價(jià)格模型是我們經(jīng)濟(jì)學(xué)中比較經(jīng)典的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，從中也可以看出數(shù)學(xué)模型的建立對經(jīng)濟(jì)學(xué)有很重要的意義。1.最優(yōu)價(jià)格如何建立模型2 2.分析問題我們要簡練一個(gè)最有的的價(jià)格模型，首先要深入了解實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題以及與問題有關(guān)的背景知識，對現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象及原始背景進(jìn)行細(xì)致觀察和周密調(diào)查，以獲取大量的數(shù)據(jù)資料，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行加工分析、分組整理。 3.模型基本假設(shè)假設(shè)2最優(yōu)價(jià)格，簡單的說就是使商家或企業(yè)獲得最大利潤的產(chǎn)品的價(jià)格。對于最優(yōu)價(jià)格的問題，應(yīng)該是每個(gè)企業(yè)關(guān)注的。如果一個(gè)廠長有權(quán)根據(jù)產(chǎn)品成本和銷售情況制定商品價(jià)格的話，他當(dāng)然會尋求能使工廠利潤最大的所謂最優(yōu)價(jià)格。本文所討論的最優(yōu)價(jià)格模型，是指在產(chǎn)銷平衡狀態(tài)下的模型，這里的產(chǎn)銷平衡是指工廠產(chǎn)品的產(chǎn)量等于市場上的銷售量。為了模型的更加合理性，這里假設(shè)產(chǎn)品的銷售量依賴于產(chǎn)品的價(jià)格，產(chǎn)品的成本與產(chǎn)品的產(chǎn)量也是相關(guān)聯(lián)的。4.模型建立2利潤是銷售收入與生產(chǎn)支出之差。假設(shè)每件產(chǎn)品售價(jià)為p,成本為q，銷售量為x（與產(chǎn)量相等），總收入與總支出分別是I和C，則可以得到:I=px （1）C=qx （2）另外，我們知道在市場競爭的情況下銷售量x依賴于價(jià)格p，因此銷售量應(yīng)該是價(jià)格的函數(shù)，記作:x = f (p) （3）這里f稱為需求函數(shù)，是p的減函數(shù)。我們再考慮成本與產(chǎn)品數(shù)量的關(guān)系。通常情況下，成本是隨著產(chǎn)品的數(shù)量逐漸降低的，因此可以認(rèn)為產(chǎn)品的成本是產(chǎn)品數(shù)量的函數(shù)。記作: q = Q(x)（4）其中，我們把Q叫做成本函數(shù)，是x的減函數(shù)。這樣，x和q都可以由p來確定。可以得到銷售收入和生產(chǎn)支出C都是價(jià)格p的函數(shù)，設(shè)利潤為U，則可以表示為:U(p) = I(p) - C(p)（5）其中，I (p) = px = pf (p)，C (p) = qx = Q (x)x =Q (f (p)f (p)。使利潤U達(dá)到最大的價(jià)格就是最優(yōu)價(jià)格。設(shè)最優(yōu)價(jià)格為p*，那么可以得到當(dāng)dU/dp = 0時(shí)p的值即為p*。即有dU/dp = dU/dp 當(dāng)p = p*時(shí)：我們把dI/dp稱為邊際收入（價(jià)格變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)收入的改變量），dC/dp稱為邊際支出（價(jià)格變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)的支出的改變量）。上式表明，最大利潤是在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到的。為了得到進(jìn)一步的結(jié)果，本文假設(shè)出需求函數(shù)和成本函數(shù)的具體形式。設(shè)需求函數(shù)是簡單的線性函數(shù)： f (p) = a-bp ab0 bp （6） 其中，a可以理解為這種產(chǎn)品免費(fèi)供應(yīng)（p = 0）社會的需求量，稱為“絕對需求量”。b表示價(jià)格上漲一個(gè)單位時(shí)銷售量下降的幅度（當(dāng)然也是價(jià)格下跌一個(gè)單位時(shí)銷售量上升的幅度），它反映市場需求對價(jià)格的敏感程度。接下來，設(shè)成本函數(shù)為：Q (x) = m + 1/ (tx + n) （其中 m ，t ，n 0） （7）其中，m表示產(chǎn)品的最底成本，t表示產(chǎn)品數(shù)量增加或減少帶來的幅度，n調(diào)節(jié)常數(shù)，即產(chǎn)品的最大成本為（m + 1/n）。5.模型求解將（1）（3）和（6），（7）帶入（4）式可得:U (p) = I (p) C (p)= pf(p) Q (f (p)f (p)=(a bp) p m 1/(ta + n tbp) （8） 用微分的方法可以求出使U (p)最大的最優(yōu)價(jià)格。由dU/dp = 0式和（8）式可以得到：b t p(2btn + 2abt + b t m)p +(n + 2atn + a t + 2abt m + 2btmn)p m(n + ta)n = 0 （9）這是一個(gè)關(guān)于p的三次方程，對于實(shí)際問題，當(dāng)?shù)玫絘、b 、m 、n 、t的數(shù)值帶到（9）式中，再用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法求出p*。6.結(jié)果分析在實(shí)際的工作之中，a和b可以由價(jià)格p和銷售量x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合來確定。m和n實(shí)際上是已知的常數(shù)，t也是根據(jù)產(chǎn)量的多少可以得出的。對于（9）式的求解在有些時(shí)候可能不容易得到精確的數(shù)值，我們可以根據(jù)實(shí)際情況得到具有一定精度的近似值。四.總結(jié)除了上述最優(yōu)價(jià)格模型，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的彈性理論，金融工程中的期貨期權(quán)理論，最優(yōu)化和影子價(jià)格都是經(jīng)濟(jì)和數(shù)學(xué)的完美結(jié)合，數(shù)學(xué)模型為經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究開辟了一條寬闊的大路，同時(shí)也使經(jīng)濟(jì)學(xué)從定性研究向定量研究轉(zhuǎn)化，更加具有理性和發(fā)散思維，正是數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)