小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率.doc

小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率一、數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵 1. 在實(shí)驗(yàn)稿課標(biāo)中“統(tǒng)計(jì)觀念”是核心概念，現(xiàn)在為什么改名為“數(shù)據(jù)分析觀念” 呢？ 在不列顛百科全書中關(guān)于統(tǒng)計(jì)學(xué)是這樣定義：統(tǒng)計(jì)學(xué)是關(guān)于收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)。 的確，統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個研究對象是數(shù)據(jù)，它是通過收集數(shù)據(jù)，以及對數(shù)據(jù)的分析來幫我們解決問題的。 在義務(wù)教育階段 我們 處理的數(shù)據(jù)都是有實(shí)際背景的，正如課表組組長 史寧中 教授所述：“數(shù)據(jù)是信息的載體，這個載體包括數(shù)，也包括言語、信號、圖像，凡是能夠承載事物信息的東西都構(gòu)成數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計(jì)學(xué)就是通過這些載體來提取信息進(jìn)行分析的科學(xué)和藝術(shù)?！?可見，統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個核心是數(shù)據(jù)分析，實(shí)驗(yàn)稿中叫統(tǒng)計(jì)觀念，現(xiàn)在叫數(shù)據(jù)分析觀念，這兩點(diǎn)并沒有本質(zhì)性的不同，而是用這樣的語言更加點(diǎn)出了統(tǒng)計(jì)的核心就是數(shù)據(jù)分析讓人一目了然。 2. 數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵 在課標(biāo)當(dāng)中，對于數(shù)據(jù)分析觀念，有這樣的描述：了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息； 了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面說明只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心。 3. 如何發(fā)展學(xué)生的 “ 數(shù)據(jù)分析觀念 ” ？ 第一，就是讓學(xué)生去經(jīng)歷這個數(shù)據(jù)分析的過程，體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息。 例如，清華附屬小學(xué) 安華 老師執(zhí)教的一年級統(tǒng)計(jì)。 安 老師為學(xué)生提供了四部動畫片，選出大家最喜歡看的一部進(jìn)行播放。學(xué)生的想法各不相同，這可怎么辦呢？老師啟發(fā)學(xué)生自己去想辦法，讓學(xué)生感悟到我們是為了解決問題而來做統(tǒng)計(jì)的。統(tǒng)計(jì)什么？怎樣統(tǒng)計(jì)呢？學(xué)生自始至終都在思考中，他們最先想到舉手表決，卻沒有準(zhǔn)確統(tǒng)計(jì)出結(jié)果，然后又繼續(xù)想辦法，有的學(xué)生說站起來這樣數(shù)的更清楚了，還有說在小組內(nèi)去統(tǒng)計(jì)，然后我們再匯總，最后大家都統(tǒng)一到用投票表決的方法來統(tǒng)計(jì)。當(dāng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)上來以后，如何讓學(xué)生體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息呢？ 安 老師讓學(xué)生利用數(shù)據(jù)來推斷，看哪部動畫片，要用數(shù)據(jù)來說話。恰巧當(dāng)時這個班正好有一個孩子是請假沒來，老師提出問題：如果這名同學(xué)也來投票表決，還是去看“多啦 A 夢”嗎？學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)利用簡單推理也做出了判斷。 第二，鼓勵學(xué)生掌握數(shù)據(jù)分析的方法，根據(jù)問題的背景能選擇合適的方法。 例如，體育課上 11 名男同學(xué) 100 米 跑的成績： 13 秒 2 17 秒 13 秒 5 15 秒 8 12 秒 17 秒 1 16 秒 7 15 秒 6 17 秒 16 秒 6 16 秒 7 。 平均數(shù)： 15 秒 6 ，中位數(shù)： 16 秒 6 （1）如果選擇參加一項(xiàng)比賽，希望有一半的男同學(xué)可以參加，選擇哪個成績作為標(biāo)準(zhǔn)？ （2）如果希望確定一個較高的標(biāo)準(zhǔn)，選擇哪個成績作為標(biāo)準(zhǔn)？（答案不唯一） （3）如果要確定一個標(biāo)準(zhǔn)，你如何確定？為什么？ 第三，通過數(shù)據(jù)分析，讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。 史寧中說：“統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的教學(xué)重點(diǎn)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析意識，培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念，難點(diǎn)在于，如何創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)幕顒?，體現(xiàn)隨機(jī)性以及數(shù)據(jù)獲得、分析、處理進(jìn)而作出決策的全過程?！?例如：上學(xué)時間。 學(xué)生記錄自己在一個星期內(nèi)每天上學(xué)途中所需要的時間，如果把記錄時間精確到分，可能學(xué)生每天上學(xué)途中需要的時間是不一樣的，可以讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；更進(jìn)一步，讓學(xué)生感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，但數(shù)據(jù)較多時具有某種穩(wěn)定性，可以從中得到很多信息，比如，通過一個星期的調(diào)查可以知道“大概”需要多少時間。 為什么我們要在統(tǒng)計(jì)概率教學(xué)中，把數(shù)據(jù)分析觀念作為一個核心概念呢？可以從標(biāo)準(zhǔn)解讀中對核心概念的價(jià)值進(jìn)行分析。 在標(biāo)準(zhǔn)解讀中，提出了四個方面的價(jià)值。第一，它們是學(xué)生在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中最應(yīng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的重要方面 ( 教育價(jià)值 ) ；第二，核心概念往往是一類課程內(nèi)容的核心或聚焦點(diǎn)，它有利于我們把握課程內(nèi)容的線索和層次，抓住教學(xué)中的關(guān)鍵；第三，核心概念本質(zhì)上體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的基本思想；第四，這些核心概念都是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)點(diǎn)，也應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標(biāo)，并通過教師的教學(xué)予以落實(shí)。 二、統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容變化及主線分析 （一）新課標(biāo)中關(guān)于“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn) 1. 標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān)“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn) 2 分析調(diào)整原因 “統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容結(jié)構(gòu)做了較大調(diào)整，使三個學(xué)段內(nèi)容學(xué)習(xí)的層次性更加明確。強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念，與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系得更加緊密。內(nèi)容結(jié)構(gòu)上，三個學(xué)段有較大的差別。第一學(xué)段內(nèi)容大減少，只保留 3 條要求。主要是學(xué)會分類、會進(jìn)行簡單的數(shù)據(jù)搜集與整理的；第二學(xué)段分為“簡單數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程”和“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”兩部分，共 8 條；第三學(xué)段分為“抽樣與數(shù)據(jù)分析”和“事件的概率兩部分”，共 11 條。這樣調(diào)整的原因在于，在實(shí)驗(yàn)過程中原來第一學(xué)段對于統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的要求，按照學(xué)生現(xiàn)有的理解水平，學(xué)習(xí)有一定困難，教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施有很大難度。同時，在內(nèi)容上與后面兩個學(xué)段有很大的重復(fù)。因此，較大幅度降低了第一學(xué)段統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的要求，對后兩個學(xué)段的內(nèi)容也做相關(guān)的調(diào)整，如中位數(shù)、眾數(shù)等內(nèi)容從第二學(xué)段移到第三學(xué)段。這樣使統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容在三個學(xué)段的要求上有明顯區(qū)分，在難度上也表現(xiàn)一定的梯度。 （二）統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容主線 統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容主線，主要包括四方面的內(nèi)容，第一是數(shù)據(jù)分析過程；第二是數(shù)據(jù)分析方法；第三是數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；第四是隨機(jī)現(xiàn)象及簡單事件發(fā)生的概率。這四條主線很重要，我們常說教知識不僅僅要教給學(xué)生一顆一顆的珍珠，還需要把這些珍珠串成一條一條美麗的項(xiàng)鏈，顯然主線就是串這個項(xiàng)鏈非常重要的方面。 我們可以看到課標(biāo)每個學(xué)段的第一句話，都是提出了有關(guān)過程的要求，顯然就成為了統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的最主要或者最首要的一個主線，標(biāo)準(zhǔn)在三個階段都提出了相應(yīng)的要求：在第一學(xué)段中，提出“經(jīng)歷簡單的數(shù)據(jù)收集和整理過程”；在第二學(xué)段中，提出“經(jīng)歷簡單的收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程（可使用計(jì)算器）”。在第三學(xué)段中，提出“經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，了解數(shù)據(jù)處理的過程；能用計(jì)算器處理較為復(fù)雜的數(shù)據(jù)”。 從三個學(xué)段的要求不難看到，首先過程都是重要的，第二數(shù)據(jù)分析的過程可以包括收集、整理、描述和分析，另外隨著年齡的差別，在要求上會有所差別，第一學(xué)段經(jīng)歷簡單就可以了，到第二學(xué)段稍微要把描述分析數(shù)據(jù)提出來是這樣一個過程，為了使大家對這個過程，再加深理解，我們下面列舉標(biāo)準(zhǔn)中的一個案例，來說明這個過程。 第一學(xué)段（標(biāo)準(zhǔn)例 19 ）：對全班同學(xué)的身高進(jìn)行調(diào)查分析。 從以下的數(shù)據(jù)中可以得到哪些信息呢？ 第 1 小組 116 128 124 135 128 141 第 2 小組 129 130 134 127 134 138 第 3 小組 138 142 119 123 127 146 第 4 小組 119 137 136 138 150 152 第 5 小組 125 120 131 143 135 148 第 6 小組 138 132 147 139 148 139 說明 學(xué)校一般每年都要測量學(xué)生的身高，這為學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)提供了很好的數(shù)據(jù)資源，因此這個問題可以貫穿第一學(xué)段和第二學(xué)段，根據(jù)不同學(xué)段的學(xué)生特點(diǎn)，要求可以有所不同。希望學(xué)生把每年測量身高的數(shù)據(jù)都保留下來，養(yǎng)成保存資料的習(xí)慣。在第一學(xué)段，主要讓學(xué)生感悟可以從數(shù)據(jù)中得到一些信息。教學(xué)中可以作如下設(shè)計(jì)： （ 1 ）指導(dǎo)學(xué)生將全班同學(xué)的身高進(jìn)行匯總。 （ 2 ）從匯總后的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)信息。比如，最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（極差），大部分同學(xué)的身高是多少（眾數(shù)）等。在討論過程中，括號中的有些名詞并不需要出現(xiàn)，但是希望學(xué)生體會數(shù)據(jù)所代表的意義。 （ 3 ）在整理中，可以讓學(xué)生嘗試創(chuàng)造靈活的方法。例如，尋找最高，可以直接比較尋找，當(dāng)學(xué)生人數(shù)比較多時，也可以分組尋找組內(nèi)最高，然后在每組的最高中尋找最高；在考慮順序問題時，學(xué)生可能會有不同的排序方法。例如，先找到最小（大）的，然后在剩余的數(shù)中再找到最?。ù螅┑?，依次將這些數(shù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┑捻樞蜻M(jìn)行排序；或者先固定一個數(shù)，拿第二個數(shù)與之比較，然后取第三個數(shù)與前兩個數(shù)比較，根據(jù)它們之間的大小關(guān)系決定位置，這樣繼續(xù)下去，最后將這些數(shù)排序。無論學(xué)生的出發(fā)點(diǎn)如何，只要思路清晰、排序正確即可。 第二學(xué)段（標(biāo)準(zhǔn)例 38 ）： 對全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析。 說明 在上面的例子中，已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生對全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析。在這個學(xué)段中，要求學(xué)生結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù)，進(jìn)行進(jìn)一步的整理，然后進(jìn)行分析。整理的目的是為了便于分析，例如，條形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生占全班學(xué)生的比例及其差異；折線統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解幾年來學(xué)生身高變化的情況，預(yù)測未來身高變化趨勢。學(xué)生還可以討論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學(xué)的身高，自己的身高在全班的什么位置。 教學(xué)設(shè)計(jì)時，可以關(guān)注如下要點(diǎn)： （ 1 ）組織學(xué)生討論并明確畫統(tǒng)計(jì)圖的基本標(biāo)準(zhǔn)。如果學(xué)生意見不一致，可以根據(jù)意見的不同把學(xué)生分組，各自畫出統(tǒng)計(jì)圖后進(jìn)行比較。 （ 2 ）可以把幾年來全班同學(xué)平均身高的數(shù)據(jù)畫出折線統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生與自己身高數(shù)據(jù)的折線圖進(jìn)行分析比較。還可以對男女生的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和比較。 （ 3 ）組織學(xué)生討論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學(xué)的身高，自己的身高在全班的什么位置。學(xué)生可以用平均身高作為代表，用自己的身高與平均身高進(jìn)行比較；可以用出現(xiàn)次數(shù)最多的身高作為代表（“眾數(shù)”的意義），用自己的身高與其相比；也可以用班級中等水平學(xué)生的身高作為代表（“中位數(shù)”的意義），用自己的身高與其相比。學(xué)生只要能說出自己的理由就可以，不需要出現(xiàn)“眾數(shù)”“中位數(shù)”等名詞（只要求教師理解，不要求給學(xué)生講解）。 （ 4 ）雖然數(shù)據(jù)整理和分析的方法可以有所不同，但要求分析的結(jié)論清晰，能夠更好地反映實(shí)際背景。 第三學(xué)段： 比較自己班級與別的班級同學(xué)的身高狀況。 說明 對于兩個班級學(xué)生身高狀況比較，通常可以通過平均值來判斷，但有時候僅僅通過平均數(shù)是不夠的，如果一個班同學(xué)之間身高差異很大，而另一個班同學(xué)之間身高差異很小，即使前一個班的平均高一些，也不能說這個班的整體狀況很好。因此，在判斷身高狀況時，不僅要看平均值，還需要參考方差。 同樣的一個內(nèi)容，在不同的年級可以有不同的要求，第一學(xué)段，要求的難度，就是在提取信息的數(shù)量上，要求并不是非常的高，關(guān)鍵是讓他意識到，感悟到數(shù)據(jù)是信息，那么到了第二學(xué)段，顯得這個要求又有所變化了，總之要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析的過程，要親自參與其中。 三、數(shù)據(jù)分析的方法 1收集數(shù)據(jù)的方法 在收集數(shù)據(jù)的方法中我們要把握這么幾點(diǎn)：第一點(diǎn)就是我們所涉及的數(shù)據(jù)，可能是全體數(shù)據(jù)，或者我們說總體數(shù)據(jù)，也可能是通過抽樣獲得的數(shù)據(jù)，抽樣數(shù)據(jù)，在小學(xué)階段，學(xué)生收集的基本上都是總體數(shù)據(jù)。 第二個就是數(shù)據(jù)的來源，實(shí)際上是有兩種，一種就是閱讀別人現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，比如說報(bào)刊資料上等等的數(shù)據(jù)，還有一點(diǎn)就是需要自己的調(diào)查的數(shù)據(jù)，對于小學(xué)來說除了要看別人的數(shù)據(jù)非常重要，也要自己要做一些調(diào)查數(shù)據(jù)，在這方面很多老師都有非常好的經(jīng)驗(yàn)和設(shè)計(jì)好的例子，比如我看到一些課堂中，老師們引入了讓一年級的孩子來統(tǒng)計(jì)換乳牙的情況，或者讓有些同學(xué)來統(tǒng)計(jì)看電視的時間等等，值得注意的是如果我們讓學(xué)生去收集自己調(diào)查的數(shù)據(jù)，一定要教給他們一些方法，比如說我曾看到，有的學(xué)生并不知道什么叫乳牙，他也不知道看電視的時間應(yīng)該怎么統(tǒng)計(jì)，所以這樣以來呢，報(bào)出來的數(shù)據(jù)就不夠真實(shí)，是比影響統(tǒng)計(jì)的效果，那我們可以安排一些活動，讓學(xué)生在老師的指導(dǎo)下，或者在家長的幫助下，讓他來去調(diào)查，這樣會更好。 常用的收集數(shù)據(jù)的方法包括這么幾方面：調(diào)查的方法、實(shí)驗(yàn)的方法、測量的方法、查閱資料的方法等等?？偠灾瑢W(xué)生應(yīng)該對收集數(shù)據(jù)的方法有一個比較豐富的體驗(yàn)，課標(biāo)無論在第一學(xué)段還是第二學(xué)段都提出了這樣的要求，比如說在第一學(xué)段課標(biāo)是這樣說的，要了解一些調(diào)查、測量等收集數(shù)據(jù)的簡單方法。那么有的老師說這兩個好像也沒有太大區(qū)別，其實(shí)嚴(yán)格意義上都是學(xué)生自己去做，當(dāng)然我們可以這么理解，調(diào)查就是學(xué)生去問問自己的同伴，那么測量呢，比如說我們可以量量這個課桌有多長，我們量量我們班的課桌大體上都是多長，包括我們在前面舉過的上學(xué)時間都可以理解是測量。在第二學(xué)段，顯然又進(jìn)了一步，要求學(xué)生能夠自己來設(shè)計(jì)簡單的調(diào)查表，這跟第一學(xué)段相比有進(jìn)一步的提高，而且能夠選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，就不僅僅是了解了，在選擇方法中包括了我們說的調(diào)查，可以做一些測量，還可以做一些試驗(yàn)，比如說我們原來肯定做過的物理試驗(yàn)，或者說呢有的課上這樣讓學(xué)生做試驗(yàn)，反彈高度，就不同高度拋一個球，肯定起始高度越高，反彈高度一般情況下都會高，那么到底是什么關(guān)系呢，這時候通過試驗(yàn)來獲取一些數(shù)據(jù)。這三點(diǎn)都是學(xué)生能夠自己獲得的。當(dāng)然我們也要讓學(xué)生了解現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，也就是從報(bào)刊、雜質(zhì)、電視等等媒體中呢，有意識的獲得一些數(shù)據(jù)，那么總而言之應(yīng)該對收集數(shù)據(jù)的方法有比較豐富的體驗(yàn)。 2整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法 當(dāng)人們收集了一堆數(shù)據(jù)以后，這些數(shù)據(jù)往往看起來比較雜亂，這就需要來整理數(shù)據(jù)，在不損失信息的前提下，對看起來雜亂無章的數(shù)據(jù)進(jìn)行必要的歸納和整理，然后把整理后的數(shù)據(jù)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)圖表等直觀地表示出來，并加以適當(dāng)?shù)姆治?，為人們作出決策和推斷提供依據(jù)。 常用的收集數(shù)據(jù)方法包括調(diào)查、試驗(yàn)、測量、查閱資料等。學(xué)生應(yīng)該對收集數(shù)據(jù)的方法都有比較豐富的體驗(yàn)。為此，標(biāo)準(zhǔn)在第一學(xué)段提出“了解調(diào)查、測量等收集數(shù)據(jù)的簡單方法”；在第二學(xué)段提出“會根據(jù)實(shí)際問題設(shè)計(jì)簡單的調(diào)查表，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缯{(diào)查、試驗(yàn)、測量）收集數(shù)據(jù)”“能從報(bào)紙雜志、電視等媒體中，有意識地獲得一些數(shù)據(jù)信息”。 在第二學(xué)段，學(xué)生將學(xué)習(xí)條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖等常見的統(tǒng)計(jì)圖，并且能用它們直觀、有效地表示數(shù)據(jù)。第二學(xué)段還將學(xué)習(xí)一個重要的刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)。 統(tǒng)計(jì)圖可以很直觀反應(yīng)數(shù)據(jù)，學(xué)生對統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)的分析以及預(yù)測都是數(shù)據(jù)分析觀念的重要體現(xiàn)。對于統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)，提出幾點(diǎn)需要注意的：第一，不要急于引入正規(guī)統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)，在第一學(xué)段標(biāo)準(zhǔn)要求鼓勵學(xué)生用自己的方式來描述數(shù)據(jù)。第二，在描述數(shù)據(jù)的過程中，使學(xué)生不斷體會各種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)，能根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖來描述數(shù)據(jù)。第三，鼓勵學(xué)生讀懂媒體中的一些統(tǒng)計(jì)圖表。第四，鼓勵學(xué)生從統(tǒng)計(jì)圖中獲取盡可能地有用信息。 這個問題也是大家普遍困惑的，到底引導(dǎo)學(xué)生從哪些方面來“讀圖”呢？ Curcio (1987 ) 把學(xué)生對統(tǒng)計(jì)圖的認(rèn)識分為三個水平：（ 1 ）數(shù)據(jù)本身的讀?。?reading the data ），包括用能夠得到的信息來回答具體的問題，這些問題圖表中有明顯的答案。 (2) 數(shù)據(jù)之間的讀?。?reading between the data ）。這包括做比較 ( 例如比較好、最好，最高、最小等 ) 和對數(shù)據(jù)進(jìn)行操作 ( 例如加減乘除 ) 。 (3) 超越數(shù)據(jù)本身的讀取（ reading beyond the data ），包括通過數(shù)據(jù)來進(jìn)行推斷預(yù)測推理，并回答具體的問題。 在實(shí)際教學(xué)中，教師已經(jīng)開始重視鼓勵學(xué)生嘗試由信息來進(jìn)行預(yù)測。但是，在教學(xué)中還存在了一些誤區(qū)。比如，曾經(jīng)有過這樣的案例：如圖 2 ，教師鼓勵學(xué)生根據(jù)某女生出生到 12 歲的身高，由此去預(yù)測這個學(xué)生 15 歲的身高（圖 2 到圖 7 中縱軸的身高單位為厘米）。 有的學(xué)生（雖然是很少數(shù)）脫離了數(shù)據(jù)去進(jìn)行“預(yù)測”：“我覺得她應(yīng)該能長到 190 厘米 ，因?yàn)槲蚁Ｍゴ蚧@球”。就是基于數(shù)據(jù)，學(xué)生也有五花八門的答案，有的說：“ 8 歲到 10 歲長了 10 厘米 ， 10 歲到 12 歲長了 24 厘米 ，照這個趨勢 12 到 14 歲要長 30 多厘米，我估計(jì)她到 15 歲要到 2 米 了”；有的說：“ 8 歲到 10 歲長了 10 厘米 ， 10 歲到 12 歲長了 24 厘米 ， 12 歲到 14 歲又會回到長 10 厘米 ，我估計(jì)她到 15 歲快到 180 厘米 ”；還有的說：“到 12 歲就不怎么長了，我估計(jì)她到 15 歲差不多 170 厘米 ?！泵鎸ξ寤ò碎T的答案，教師也覺得都有道理，不知如何引導(dǎo)。 這里需要注意兩點(diǎn)。第一，預(yù)測需要基于數(shù)據(jù)。對于脫離數(shù)據(jù)進(jìn)行“預(yù)測”的學(xué)生，要引導(dǎo)他用數(shù)據(jù)說話，雖然這個預(yù)測也有可能，但可能性不會大；第二，有時候?yàn)榱烁侠淼仡A(yù)測，需要我們收集更多的數(shù)據(jù)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：幾個學(xué)生的想法都有道理，但是要比較合理地預(yù)測，還需要我們掌握更多的信息，比如，可以收集曾經(jīng)和她差不多情況的人 15 歲的身高來幫助預(yù)測；或者把她與當(dāng)?shù)嘏骄砀哌M(jìn)行對比，看看 12 歲與平均身高的對比情況，由此預(yù)測 15 歲與平均身高的對比情況。當(dāng)然，無論哪種預(yù)測都不能肯定是正確的，但會比單純依靠這個學(xué)生以前的情況進(jìn)行預(yù)測要合理。進(jìn)一步，如果條件允許的話，還可以鼓勵學(xué)生實(shí)際去做。在這樣的思考下，一位老師做了如下的設(shè)計(jì)：根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖來進(jìn)行“三次”預(yù)測。 第一次，教師呈現(xiàn)小婷（女生）出生到 12 歲的身高數(shù)據(jù)（如圖 2 ），鼓勵學(xué)生預(yù)測她 15 歲的身高。和前面敘述的一樣，學(xué)生基于這個數(shù)據(jù)給出了不同答案。 教師沒有就此結(jié)束，而是給出了小婷 15 歲的身高，引起學(xué)生的反思：“實(shí)際上，小婷今年已經(jīng) 15 歲了，她的身高是 168 厘米 ”，并得到圖 3 。 在此基礎(chǔ)上再鼓勵學(xué)生預(yù)測小婷 18 歲的身高。學(xué)生發(fā)現(xiàn)小婷 12 15 歲增長的幅度不大，由此推斷 15 18 歲增長的幅度也會不大。那么是這樣嗎？有的學(xué)生提出可以找一些和小婷情況差不多的女孩，看看她們 18 歲時的身高。根據(jù)學(xué)生的想法，教師呈現(xiàn)了如下三個女生的身高（如圖 4 ，圖 5 ，圖 6 ）鼓勵學(xué)生進(jìn)行第二次預(yù)測。 學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然她們的身高具體數(shù)值不同，但 15 18 歲變化趨勢卻比較一致，增長的幅度都不大，由此可以預(yù)測小婷到 18 歲很可能只比 15 歲時增長 2 厘米 左右，即她 18 歲的身高在 170 厘米 左右。還有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)小婷的身高值與圖 6 所表示的女生比較接近，并且比這個女生略矮一些，由此根據(jù)這個女生 18 歲 171 厘米 預(yù)測小婷 170 厘米 。進(jìn)一步，有的學(xué)生提出只有這三個女生的數(shù)據(jù)是否太少了，不說明一般情況，還可以收集更多的數(shù)據(jù)。于是，教師給出了北京城市女生平均身高統(tǒng)計(jì)圖（如圖 7 ），鼓勵學(xué)生進(jìn)行第三次預(yù)測。學(xué)生發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)也有這個趨勢： 15 到 18 歲的身高增長的不多，由此預(yù)測小婷的身高是 170 厘米 左右。有的學(xué)生則根據(jù) 15 歲時小婷的身高比平均身高多 6 厘米 ，由此估計(jì)小婷 18 歲時也要多 6 厘米 ，所以是 169 厘米 左右。當(dāng)然，這些預(yù)測也并不能保證一定正確。 以上“三次預(yù)測”的案例是鼓勵學(xué)生從數(shù)據(jù)中獲取合理信息的有益嘗試，在實(shí)踐中我們還需要更多的案例，以及如何鼓勵學(xué)生有效獲取信息的策略，這也構(gòu)成了需要進(jìn)一步研究的問題。教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生運(yùn)用所學(xué)習(xí)的方法，盡可能多地從數(shù)據(jù)中提取有用的數(shù)據(jù)，并且能夠根據(jù)問題的背景選擇合適的方法，而不是單純地名詞、計(jì)算方法等的掌握。需要我們根據(jù)問題的背景選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖。 總之，“統(tǒng)計(jì)學(xué)對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是好壞”，而不是“對錯”。 3關(guān)于統(tǒng)計(jì)教學(xué)的幾點(diǎn)建議 （1）發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，感受統(tǒng)計(jì)的價(jià)值。 （2）教師要重視統(tǒng)計(jì)，并把發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)作為重要的教學(xué)目標(biāo)。 （3）切忌將統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)處理成單純數(shù)字計(jì)算和繪圖技能。 四、數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡單隨機(jī)事件發(fā)生的可能性 1數(shù)據(jù)隨機(jī)性的內(nèi)涵 數(shù)據(jù)的隨機(jī)性主要有兩層涵義：一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。 老師們存在這樣的困惑：概率也是研究隨機(jī)現(xiàn)象的，那么為什么又提出數(shù)據(jù)的隨機(jī)性呢？ 對于這個問題， 史寧中 教授這樣回答：我聽了一些課，老師們經(jīng)常這樣處理：比如對于擲一枚均勻的硬幣，先得到出現(xiàn)正面或反面的概率是 1/2 ，然后讓學(xué)生通過反復(fù)擲硬幣去驗(yàn)證這個結(jié)果。這里有兩個問題。第一，一個硬幣，先假定它出現(xiàn)正面和反面的可能性是 1/2 ，這是數(shù)學(xué)（或者稱為概率）。這個 1/2 是通過概率的定義得到的，不是依靠擲硬幣驗(yàn)證出來的。實(shí)際上，學(xué)生做了很多次實(shí)驗(yàn)也得不到 1/2 ，反而更加糊涂了。第二，運(yùn)用定義的方式教學(xué)隨機(jī)，不能很好的培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念。需要指出的是，我們贊成做實(shí)驗(yàn)，贊成運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的思想來做實(shí)驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)是通過數(shù)據(jù)來獲取一些信息，來幫助人們做出一些判斷。同樣是擲硬幣的問題，在統(tǒng)計(jì)上就會這樣設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)：先讓學(xué)生多次擲硬幣，計(jì)算出現(xiàn)正面的比例（頻率），然后用頻率來估計(jì)一下出現(xiàn)正面的可能性是多大。如果這個可能性接近 1/2 的話，就推斷這個硬幣大概是均勻的，這是統(tǒng)計(jì)的思想。 2合理設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，體會數(shù)據(jù)的隨機(jī)性 標(biāo)準(zhǔn)中提出了“體會數(shù)據(jù)隨機(jī)”的想法，如何在課堂中設(shè)計(jì)合理的實(shí)驗(yàn)落實(shí)“體會數(shù)據(jù)隨機(jī)”的目的呢？一個好的切入點(diǎn)是對目前課堂教學(xué)中的實(shí)驗(yàn)加以分析，看看哪些實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)是合理的，哪些還需要進(jìn)一步的思考和改進(jìn)。 第一類：“驗(yàn)證”類 下面是一個五年級的課堂教學(xué)片段： 老師拿出一個盒子，盒子里有 9 個白球、 1 個黃球。如果從中任意摸出 1 個球，可能是什么顏色的球 ? 摸到白球的可能性有多大，黃球呢？ ( 學(xué)生略做思考后交流。 ) 生 1 ：可能摸到白球，也可能是黃球。 生 2 ：摸到白球的可能性是 9/10 ，因?yàn)橛?10 個球，其中 9 個是白球。 （大家都表示同意） 師 : 好，下面就請你們分小組摸球，記錄摸球的結(jié)果，驗(yàn)證一下大家的想法。 本活動的目的是驗(yàn)證摸到白球的概率是否為 9/10 ，如前所述是不提倡的。因?yàn)閷W(xué)生完全可以通過分析推理得到摸到白球的概率，他們產(chǎn)生不了做實(shí)驗(yàn)的需求。如果做了實(shí)驗(yàn)，摸到白球的頻率往往不是 9/10 ，學(xué)生反而產(chǎn)生困惑，當(dāng)然也體會不到數(shù)據(jù)的作用了。 第二類：“體會隨機(jī)”類 看下面的一個二年級的課堂教學(xué)片段： 組織小組活動：盒子里有 3 個黃球、 3 個白球。每次摸出 1 個，摸之前先猜猜你會摸到什么顏色的球 ? 每次你都猜對了么 ? 活動結(jié)束時，老師詢問 : 有沒有每次都猜對的同學(xué) ?( 全班只有 2 人舉手。 ) 師 : 為什么我們那么多的同學(xué)都沒有猜對呢 ? ( 此時，兩個猜對的同學(xué)急于向大家介紹方法。 ) 生 1: 黃球和白球摸在手里的感覺不一樣 ! 師 :( 饒有興趣地 ) 真的嗎 ? 讓我們見識一下 ! 生 1:( 摸出一球，沒看前猜測 ) 黃色 ! ( 拿出后是白色，生 1 低頭坐了下去。 ) 師 : 怎么不試了 ? 生 1 ：沒有信心了。 師 : 怎么就沒有信心了 ? 生 1: 摸在手里分辨不出來 . 生 2: 我發(fā)現(xiàn)了，如果第一次摸出來的是黃球，第二次就猜是白球，是交錯出現(xiàn)的。 師 : 你剛才就是這樣猜的，結(jié)果都對了嗎 ? 生 2 連連點(diǎn)頭。 師 ( 半信半疑地 ) ：還有這個規(guī)律 ? 摸 1 個 ! ( 生 2 摸出 1 個白球，放回。 ) 生 2: 第二次一定是黃球。 ( 第二次生 2 果真摸出一個黃球。 ) 師：看來，下次 生 2: 第三次該是白球了 ! ( 第三次生 2 摸出個黃球。 ) 師 : 這個規(guī)律還成立么 ? 學(xué)生們直搖頭。 師：通過剛才的摸球游戲，你發(fā)現(xiàn)了什么 ? 生 : 盒子里又有黃球又有白球，摸出一個球，可能是黃球，也可能是白球 . 這個案例乍一看和上面的案例一樣，都是摸球，但仔細(xì)分析目的是不一樣的。這個實(shí)驗(yàn)的目的是使學(xué)生體會不確定性，即事先無法確定實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。其實(shí)，學(xué)生對于不確定性的認(rèn)識并不是一帆風(fēng)順的，學(xué)生們總是希望找到“確定”的結(jié)論。有的學(xué)生認(rèn)為可以憑手感判斷段結(jié)果，有的學(xué)生把球放在固定的地方從而“破壞”隨機(jī)，有趣的是還有的學(xué)生通過幾個數(shù)據(jù)的黃白相間規(guī)律就去推斷整體是這樣的。學(xué)生出現(xiàn)這些想法是正常，逐漸消除學(xué)生存在的誤解正是教學(xué)的目標(biāo)之一。而最好的辦法就是讓學(xué)生親自實(shí)驗(yàn)，案例中教師正是運(yùn)用了這一策略。 第三類：“推斷”類 上面已經(jīng)舉過這樣的例子，對于這樣的活動是在課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中大力提倡的，即通過數(shù)據(jù)來進(jìn)行推斷。 我給大家準(zhǔn)備了兩種骰子，一種是均勻的，另一種是不均勻的，但不知道 哪種是均勻的，哪種是不均勻的。 1 、 2 、 3 組是一種骰子， 4 、 5 、 6 組是一種骰子。每個小組至少拋 15 次，記錄下分別是幾點(diǎn)，然后我們統(tǒng)計(jì) “1” 點(diǎn)和 “6” 點(diǎn)的次數(shù)。（ 1 、 2 、 3 組 “1” 點(diǎn) 28 次， “6” 點(diǎn) 33 次； 4 、 5 、 6 組 “1” 點(diǎn) 40 次， “6” 點(diǎn) 27 次） 生： 1 、 2 、 3 組的骰子是均勻的， 4 、 5 、 6 組的骰子是不均勻的。 師：他的結(jié)論你們同意嗎？ 28 和 33 也不一樣啊？ 生：差距比較小。 師： 4 、 5 、 6 組呢？ 差距大。 師：我們就做出推斷， 4 、 5 、 6 組的骰子可能是不均勻的。想知道謎底嗎？ 第四類：“運(yùn)用頻率估計(jì)概率”類 有的教師在課堂中創(chuàng)設(shè)了如下的情境：父親和兒子決定誰去看奧運(yùn)會男籃決賽。但是，與過去教學(xué)不同，使用決定是否去的工具并不是硬幣，而是啤酒瓶蓋。 師：舉世矚目的北京奧運(yùn)會圓滿地、無與倫比地結(jié)束了。去過北京，現(xiàn)場看奧運(yùn)會的請舉手。沒有人，的確，就是北京當(dāng)?shù)氐娜艘操I不到奧運(yùn)會的門票。我有一位朋友，知道我當(dāng)年是學(xué)校籃球隊(duì)的隊(duì)長，就專門幫我找了一張男子籃球決賽的門票。（出示籃球票）只有一張。我兒子也是個籃球迷?？鬃诱f：“己所不欲，勿施于人”。怎么辦呢？飯桌上，我和兒子商量。我兒子看到桌子上有一個啤酒瓶蓋，就說：“爸爸，我們拋啤酒瓶蓋吧。如果正面朝上就我去，如果反面朝上就您去?！蔽艺f：“兒子，什么是正面朝上？什么是反面朝上？”（出示瓶蓋正、反面圖片，并標(biāo)注“正兒子、反爸爸”）你們想一想，（板書：問題）這個辦法好不好？認(rèn)為好的舉手。 （學(xué)生紛紛舉手表示認(rèn)可。） 師：為什么好？誰能說一下，你是怎么想的？ 生 1 ：我覺得是靠命運(yùn)決定的，所以公平。 生 2 ：我認(rèn)為是公平的，因?yàn)閮鹤拥臋C(jī)遇是二分之一，爸爸的機(jī)遇也是二分之一。 師：二分之一，就是這個瓶蓋拋起來的時候，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，只有兩種可能，（板書：可能性）并且拋一次的話，一定會有一面朝上。所以說這是公平的。有沒有不同的想法？ 生 3 ：我認(rèn)為在現(xiàn)實(shí)生活中會有所爭議，因?yàn)槠【破可w打開過，會有一定的折痕，會