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1 圓的方程圓的方程 題型一題型一、圓的方程求法、圓的方程求法 1 （1）方程 222 2210xyaxayaa+ =表示圓，則a的取值范圍是（D） A2a） ，求P點(diǎn)的軌跡. 8 11點(diǎn)()0,2A是圓 22 16xy+=內(nèi)的定點(diǎn)，點(diǎn),B C是這個圓上的兩個動點(diǎn)，若BACA, 求BC中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么曲線。 12已知圓C方程為：4 22 =+yx.( )1直線l過點(diǎn)()1,2P，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)， 若 2 3AB=，求直線l的方程；( )2過圓C上一動點(diǎn)M作平行于x軸的直線m， 設(shè)m與y軸 的交點(diǎn)為N，若向量OQOMON=+ ，求動點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明此方程表示的曲線。 13已知動點(diǎn)A與兩個定點(diǎn))0 , 0(O，)0 , 3(M的距離的比為 2 1 （1）求動點(diǎn)A的軌跡方程； （2）若點(diǎn) B，C 的坐標(biāo)分別為)4, 2(，) 3, 4( ，求ABC的重心 G 的軌跡方程。 解： （1）設(shè)),(yxA，則由 2 1 | | = AM AO ，得 2 1 ) 3( 22 22 = + + yx yx 化簡得：032 22 =+xyx，即動點(diǎn)A的軌跡方程為4) 1( 22 =+yx （2）設(shè)),(yxG，),( 00 yxA，則有4) 1( 2 0 2 0 =+yx 因為是ABC的重心，則 3 2 3 42 00 + = + = xx x， 3 7 3 34 00 = = yy y 即73, 23 00 +=yyxx，故有4)73() 13( 22 =+yx 所以ABC的重心 G 的軌跡方程為 9 4 ) 3 7 () 3 1 ( 22 =+yx 9 題型三題型三、與圓相關(guān)的值、最值、取值范圍問題、與圓相關(guān)的值、最值、取值范圍問題 1(1)直線l截圓02 22 =+yyx所得弦AB的中點(diǎn)是) 2 3 , 2 1 (C，則|AB=_ （2） 過點(diǎn)()1,3P引圓 22 44100xyxy+=的弦， 則所作的弦中最短的弦長為 （） A2 2B4C8D4 2 （3） 已知P(3， 0)是圓x2+y2-8x-2y+12=0內(nèi)一點(diǎn)則過點(diǎn)P的最短弦所在直線方程是x+y-3=0， 過點(diǎn) P 的最長弦所在直線方程是x-y-3=0 （4） 若圓 22 4xy+=與圓 22 260xyay+=（a0） 的公共弦的長為2 3， 則a=_ . 2(1)直線3x+y23=0 截圓x2y24 得的劣弧所對的圓心角為_ 3 【解析】 ：由 =+ =+ 4 0323 22 yx yx 消y得：x23x+2=0 x1=2，x2=1 A（2，0） ，B（1，3） |AB|= 22 )30() 12(+=2 又|OB|OA|=2 AOB是等邊三角形，AOB= 3 ，故選 C. 評述： 本題考查直線與圓相交的基本知識， 及正三角形的性質(zhì)以及邏輯思維能力和數(shù)形結(jié)合 思想， 同時也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的簡捷性.如果注意到直線AB的傾斜角為 120.則等腰 OAB的底角為 60.因此AOB=60.更加體現(xiàn)出平面幾何的意義. （2）過點(diǎn)(1,2)的直線l將圓 22 (2)4xy+=分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小 時，直線l的斜率k= 2 2 3 （1）自點(diǎn))4 , 1(A作圓1)3()2( 22 =+yx的切線，則切線長為_ （2）由直線1yx=+上的一點(diǎn)向圓 22 (3)1xy+=引切線，則切線長的最小值為() A1B2 2C7D3 （3）已知兩點(diǎn))2 , 0(),0 , 1(B B B BA A A A，點(diǎn)P P P P是圓1) 1( 22 =+y y y yx x x x上任意一點(diǎn)，則PABPABPABPAB面積 10 的最大值與最小值分別是_ 2 54 , 2 54+ （4）點(diǎn)),(y y y yx x x xP P P P在直線0102=+y y y yx x x x上，PBPBPBPBPAPAPAPA,與圓4 22 =+y y y yx x x x相切于B B B BA A A A,兩點(diǎn)， 求四邊形PAOBPAOBPAOBPAOB面積的最小值 （ 5 ） 已 知 點(diǎn)),(y y y yx x x xP P P P是 直 線)0(04=+k k k ky y y ykxkxkxkx上 一 動 點(diǎn) ，PBPBPBPBPAPAPAPA,是 圓C C C C： 02 22 =+y y y yy y y yx x x x的兩條切線，B B B BA A A A,是切點(diǎn)，若四邊形PACBPACBPACBPACB的最小面積為 2，則k k k k的值 為（D） A2B 2 21 C22D2 4（1） 設(shè) M 是圓 22 (5)(3)9xy+=上的點(diǎn)， 則 M 點(diǎn)到直線342 0xy+ =的最短距離是_ （2） 圓0122 22 =+yxyx上的動點(diǎn)Q到直線0843=+yx距離的最小值為_ （3）圓01044 22 =+yxyx上的點(diǎn)到直線014 =+yx的最大距離與最小距離的差是() A36B18C6 2D5 2 （4）若圓042 22 =+yxyx的圓心到直線0=+ayx的距離為 2 2 ,則a的值為() A2或2B 2 3 2 1 或C2或0D2或0 5（1） 圓 22 2430xyxy+=上到直線10xy+ =的距離為2的點(diǎn)共有_個 （2）圓9) 3()3( 22 =+y y y yx x x x上到直線01143=+y y y yx x x x的距離等于 1 的點(diǎn)有個數(shù)為 _3 （3）與圓1)2( 22 =+y y y yx x x x相切，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線共有_條4 （4）若圓01044 22 =+yxyx上至少有三個不同的點(diǎn)到直線0:=+byaxl的距 離為22,則直線l的傾斜角的取值范圍是(B) A 412 ，B 12 5 12 ，C 36 ，D 2 0 ， （5）若圓 222 )5()3(r r r ry y y yx x x x=+上有且只有兩個點(diǎn)到直線0234=y y y yx x x x的距離等于 1，則半徑r r r r的取值范圍為_64=+aayx內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線 2 00 ayyxx=+與 該圓的位置關(guān)系為_相離（填相切、相交、相離） （5）設(shè)集合 A=（x,y)|x2y24,B=(x,y)|(x1)2(y1)2r2(r0),當(dāng) AB=B 時，r 的取 值范圍是（） 12 A （0， 2 1）B （0，1C （0，2 2 D （0， 2 （6）設(shè)集合() 22 ,|25=+Mx yxy,() () 2 2 ,|9=+Nx yxay,若 MN=M，則 實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2a2 9 （1）已知直線l過點(diǎn)），（02，當(dāng)直線l與圓xyx2 22 =+有兩個交點(diǎn)時，其斜率k的取 值范圍是(C) A( ) 2 2 2 2，B( ) 22，C 22 44 ，D 1 1 8 8 ， （2）若直線 x 3 y=m 與圓x2y2=1 的兩個交點(diǎn)都在第一象限，則 m 的取值范圍是（） A （1，2）B （2，2）C （1，3 ）D （ 3 ，2） （3） 直線yx m= +與圓 22 1xy+=在第一象限內(nèi)有兩個不同交點(diǎn)， 則m的取值范圍是 （） A02mb b b ba a a a）始終平分圓0824 22 =+y y y yx x x xy y y yx x x x的周 長，則 b b b ba a a a 21 +的最小值是（D） A1B5C24D223+ （3）若直線220(0,0)axbyab+=經(jīng)過圓 22 2410xyxy+ =的圓心， 則 ba 11 +的最小值是（） A 2 1 B 4 1 C4D2 （4）若直線1=+bybybybyaxaxaxax與圓1 22 =+y y y yx x x x相切，則實(shí)數(shù)abababab的取值范圍是_ 2 1 , 2 1 15.（1）已知點(diǎn)) 1 , 1(A和圓4)7()5( : 22 =+yxC，求一束光線從點(diǎn) A 經(jīng) x 軸反射到 圓周 C 的最短路程為_8_ （2）已知圓C：4) 1()3( 22 =+yx和直線l l l l：05 =y y y yx x x x，在C上求兩點(diǎn)，使它 們與l的距離分別是最近和最遠(yuǎn). （3）平面上兩點(diǎn)()1,0A、()1,0B，在圓C：()() 22 344xy+=上取一點(diǎn)P，求使 22 APBP+取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo). 15 16已知圓 22 60xyxym+=與直線230xy+=相交于,P Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)， 若 OPOQ，求實(shí)數(shù)m的值. 17已知曲線 22 :2(410)10200C xykxkyk+=，其中1k ； （1）求證：曲線C都是圓，并且圓心在同一條直線上； （2）證明：曲線C過定點(diǎn)； （3）若曲線C與x軸相切，求k的值； 18設(shè)方程x2y22（m3)x2(14m2)y16m49=0 (1)m 為何值時，方程表示圓？ （2）m 為何值時，方程表示的圓的半徑最?。?（3）方程表示圓時，求圓心的軌跡方程 19已知直線l：2830mxym=和圓 22 :612200C xyxy+=； （1）mR時，證明l與C總相交； （2）m取何值時，l被C截得弦長最短，求此弦長. 16 21已知圓C C C C方程為：01264 22 =+y y y yx x x xy y y yx x x x，點(diǎn))5 , 3(A A A A （1）求過點(diǎn)A A A A的圓的切線方程； （2）O O O O是坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OCOCOCOCOAOAOAOA,，求AOCAOCAOCAOC的面積S S S S。 22已知以點(diǎn))0,)( 2 ,(t t t tR R R Rt t t t t t t t t t t tC C C C為圓心的圓與x x x x軸交于點(diǎn)A A A AO O O O,，與y y y y軸交于點(diǎn)B B B BO O O O,， 其中O O O O為坐標(biāo)原點(diǎn)， （1）求證：OABOABOABOAB的面積為定值； （2）設(shè)直線42+=x x x xy y y y與圓C C C C交于點(diǎn)N N N NMMMM,，若ONONONONOMOMOMOM=，求圓C C C C的方程。 23已知圓 C 方程為： 22 24200xyxy+=，直線l的方程為： （2m1)x(m1)y 7m4=0 （1）證明：無論m取何值，直線l與圓 C 恒有兩個公共點(diǎn)。 （2）求直線l被圓 C 截得的線段的最短長度，并求出此時的 m 值 【分析】 ：直線過定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題便可解得. （1）證明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0. 由 270 40 xy xy += += 得 3 1 x y = = 即l恒過定點(diǎn)A（3，1）. 17 圓心C（1，2） ， AC55（半徑） ， 點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交于兩點(diǎn). （2）解：弦長最小時，lAC，由kAC 2 1 ， l的方程為 2xy5=0. 點(diǎn)撥:直線與圓相交截得弦長的最小值時,可以從垂徑定理角度考慮,充分利用圓的幾何性 質(zhì). 24已知圓 1 C： 22 2280xyxy+=與 2 C： 22 210240xyxy+= 相交于,A B兩點(diǎn)， （1）求公共弦AB所在的直線方程； （2）求圓心在直線yx= 上，且經(jīng)過,A B兩點(diǎn)的圓的方程； （3）求經(jīng)過,A B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程. 25過點(diǎn)( 2, 3)P作圓 22 :(4)(2)9Cxy+=的兩條切線，切點(diǎn)分別為,A B；求： （1）經(jīng)過圓心C，切點(diǎn),A B這三點(diǎn)圓的方程； （2）直線AB的方程； （3）線段AB的長。 26在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線34xy=相切 （1）求圓O的方程； （2）圓O與x軸相交于AB，兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)P使PAPOPB，成等比數(shù)列，求 PA PB i的取值范圍 解： （1）依題設(shè)，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線34xy=的距離， 即 4 2 1 3 r= + 得圓O的方程為 22 4xy+= 18 （2）不妨設(shè) 1212 (0)(0)A xB xxx與圓 C 相切， 求證：64 2.mn 分析:本題要充分利用圓的幾何性質(zhì)以得到簡單的解法. 解： （1）設(shè)圓 C 半徑為r，由已知得： 2 2 ab ra ab = = + = 1 1 ab r = = ，或 1 1 ab r = = 圓 C 方程為 2222 (1)(1)1,(1)(1)1xyxy+=+=或 . （2）直線0lnxmymn+=方程為， 22 :(1)(1)1lCxy+=直線 與圓相切， 22 1, nmmn nm + = + 222 (),nmmnnm+=+ 左邊展開，整理得，222.mnmn=+ 2 . 2 mn mn + += 0,0,2mnmnmn+， 2 2 2 mn mn + ， 2 ()420,mnmn+ 22,22.mnmn+或 2,2mn 22mn+， 64 2.mm+ 點(diǎn)撥:有關(guān)直線和圓的位置關(guān)系,一般可以考慮圓心到直線的距離,當(dāng)然也以聯(lián)立方程組用代 數(shù)手段解決. 20 29.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行于x軸且過點(diǎn) A(3 3，2)的入射光線l1被直線l： y= 3 3 x反射反射光線l2交y軸于 B 點(diǎn)，圓 C 過點(diǎn) A 且與l1,l2都相切. (1)求l2所在直線的方程和圓 C 的方程； (2)設(shè) P，Q 分別是直線l和圓 C 上的動點(diǎn)，求 PB+PQ 的 最小值及此時點(diǎn) P 的坐標(biāo) 解解： （1）直線 1: 2,ly=設(shè) 1 2 3 2llDD交 于點(diǎn) ，則（， ）. l的傾斜角為30， 2 60l 的傾斜角為， 2 3.k=反射光線 2 l所在的直線方程為 23(2 3)yx=.即340xy=. 已知圓 C 與 1 lA切于點(diǎn) ，設(shè)C（a,b), 圓心 C 在過點(diǎn) D 且與l垂直的直線上，38ba = +,又圓心 C 在過點(diǎn) A 且與 1 l垂直 的直線上，3 3a=,381ba = += ，圓 C 的半徑 r=3， 故所求圓 C 的方程為 22 (3 3)(1)9xy+=. （2）設(shè)點(diǎn)()0, 4B關(guān)于l的對稱點(diǎn) 00 (,)B xy，則 00 0