2020版高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)練習(xí)（含解析）新人教A版.docx

1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)課時(shí)過(guò)關(guān)能力提升基礎(chǔ)鞏固1已知(a+b)n展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則n等于()A.11B.10C.9D.8解析:只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,n2+1=5.n=8.答案:D2(a+b)n二項(xiàng)展開(kāi)式中與第(r-1)項(xiàng)系數(shù)相等的項(xiàng)是()A.第(n-r)項(xiàng)B.第(n-r+1)項(xiàng)C.第(n-r+2)項(xiàng)D.第(n-r+3)項(xiàng)解析:因?yàn)榈?r-1)項(xiàng)的系數(shù)為Cnr-2=Cnn-r+2,所以第(n-r+3)項(xiàng)與第(r-1)項(xiàng)的系數(shù)相等.答案:D3若x+1xn展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為()A.10B.20C.30D.120解析:由2n=64,得n=6,則Tk+1=C6kx6-k1xk=C6kx6-2k(0k6,kN).由6-2k=0,得k=3,則T4=C63=20.答案:B4若(x+3y)n的展開(kāi)式的系數(shù)和等于(7a+b)10展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和,則n的值為()A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b)10展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為210,令x=1,y=1,則由題意知,4n=210,解得n=5.答案:A5若3x-13x2n的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,則展開(kāi)式中含1x3的項(xiàng)是()A.7x3B.-7x3C.21x3D.-21x3解析:由3x-13x2n的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128可得2n=128,n=7.其通項(xiàng)Tk+1=C7k(3x)7-k-13x2k=(-1)kC7k37-kx7-5k3,令7-5k3=-3,解得k=6,此時(shí)T7=21x3.答案:C6已知Cn0+2Cn1+22Cn2+2nCnn=729,則Cn1+Cn3+Cn5的值等于()A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.則Cn1+Cn3+Cn5=C61+C63+C65=32.答案:B7如圖是一個(gè)類(lèi)似楊輝三角的遞推式,則第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為.解析:由于每行第1個(gè)數(shù)1,3,5,7,9成等差數(shù)列,由等差數(shù)列的知識(shí)可知,an=2n-1.答案:2n-18設(shè)(2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a10(x-1)10,則a0+a1+a2+a3+a10=.解析:令x=2,則(22-3)10=a0+a1+a2+a10,所以a0+a1+a10=1.答案:19如圖,在楊輝三角中,虛線所對(duì)應(yīng)的斜行的各數(shù)之和構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列an,則數(shù)列的第10項(xiàng)為.解析:由題圖可知a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,從第三項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)為前兩項(xiàng)之和,a10=a9+a8=2a8+a7=3a7+2a6=5a6+3a5=8a5+5a4=13a4+8a3=21a3+13a2=42+13=55.答案:5510設(shè)(2-3x)100=a0+a1x+a2x2+a100x100,求下列各式的值.(1)a0;(2)a1+a2+a3+a4+a100;(3)a1+a3+a5+a99;(4)(a0+a2+a100)2-(a1+a3+a99)2;(5)|a0|+|a1|+|a100|.解:(1)令x=0,則展開(kāi)式為a0=2100.(2)令x=1,可得a0+a1+a2+a100=(2-3)100,(*)所以a1+a2+a100=(2-3)100-2100.(3)令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+3)100,與(2)中(*)式相減得a1+a3+a99=(2-3)100-(2+3)1002.(4)原式=(a0+a2+a100)+(a1+a3+a99)(a0+a2+a100)-(a1+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2-3)(2+3)100=1100=1.(5)因?yàn)門(mén)r+1=(-1)rC100r2100-r(3)rxr,所以a2k-10(kN*).所以|a0|+|a1|+|a2|+|a100|=a0-a1+a2-a3+a100=(2+3)100.11若(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+a10y10,求:(1)各項(xiàng)系數(shù)之和;(2)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和.解: (1)各項(xiàng)系數(shù)之和即為a0+a1+a2+a10,可用“賦值法”求解.令x=y=1,得a0+a1+a2+a10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為a0+a2+a4+a10,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為a1+a3+a5+a9.由(1)知a0+a1+a2+a10=1,令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+a10=510,+,得2(a0+a2+a10)=1+510,則奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為1+5102;-,得2(a1+a3+a9)=1-510,則偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為1-5102.能力提升1已知(1+x)n的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()A.212B.211C.210D.29解析:由條件知Cn3=Cn7,n=10.(1+x)10中二項(xiàng)式系數(shù)和為210,其中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為210-1=29.答案:D2(1+x)n(3-x)的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1 024,則n的值為()A.8B.9C.10D.11解析:由題意知(1+1)n(3-1)=1024,即2n+1=1024,故n=9.答案:B3設(shè)(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n,則a0+a2+a4+a2n等于()A.2nB.3n-12C.2n+1D.3n+12解析:令x=1,得3n=a0+a1+a2+a2n-1+a2n,令x=-1,得1=a0-a1+a2-a2n-1+a2n,+,得3n+1=2(a0+a2+a2n),所以a0+a2+a2n=3n+12.故選D.答案:D4(x+1)9按x的升冪排列二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是()A.第4項(xiàng)和第5項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第5項(xiàng)和第6項(xiàng)D.第6項(xiàng)解析:展開(kāi)式中共有10項(xiàng),由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知,展開(kāi)式的中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.答案:C5在(a-b)10的二項(xiàng)展開(kāi)式中,系數(shù)最小的項(xiàng)是.解析:在(a-b)10的二項(xiàng)展開(kāi)式中,奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正,偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù),且偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值為對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù),因?yàn)檎归_(kāi)式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以系數(shù)最小的項(xiàng)為T(mén)6=C105a5(-b)5=-252a5b5.答案:-252a5b56(x2+x-1)7(2x+1)4的展開(kāi)式中奇次項(xiàng)系數(shù)的和為.解析:設(shè)(x2+x-1)7(2x+1)4=a0+a1x+a2x2+a18x18,令x=1,得a0+a1+a18=34=81.令x=-1,得a0+a2+a18-(a1+a3+a17)=-1.+,得2(a0+a2+a18)=80,a0+a2+a18=40,則展開(kāi)式中奇次項(xiàng)系數(shù)之和為40.答案:407如圖數(shù)表滿(mǎn)足:(1)第n行首尾兩數(shù)均為n;(2)圖中的遞推關(guān)系類(lèi)似楊輝三角,則第n(n2)行的第2個(gè)數(shù)是.解析:由題圖可知,第n(n2)行的第2個(gè)數(shù)是第(n-1)行第1個(gè)數(shù)跟第2個(gè)數(shù)的和,即a2=2,a3=a2+2=2+2=4,a4=a3+3=4+3=7,則an=2+2+3+4+5+n-1=1+(n-1)(1+n-1)2=n2-n+22.答案:n2-n+228若(2x+3)4=a0+a1x+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為.解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+3)4,(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+3)4(-2+3)4=1.答案:19已知(3x2+3x2)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).解:令x=1得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為(1+3)n=4n.展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和為Cn0+Cn1+Cnn=2n,由題意有4n-2n=992.即(2n)2-2n-992=0,(2n-32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因?yàn)閚=5,所以展開(kāi)式共6項(xiàng),其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)、第4項(xiàng),它們是T3=C52(3x2)3(3x2)2=90x6,T4=C53(3x2)2(3x2)3=270x223.(2)設(shè)展開(kāi)式中第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大.由Tk+1=C5k(3x2)5-k(3x2)k=C5k3kx10+4k3,得C5k3kC5k-13k-1,C5k3kC5k+13k+13k16-k,15-k3k+172k92.因?yàn)閗Z,所以k=4,所以展開(kāi)式中第5項(xiàng)系數(shù)最大.T5=C5434x263=405x263.10楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教育家.楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果,它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān),楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律.如圖是一個(gè)11階楊輝三角:(1)求第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù);(2)在第2斜列中,前5個(gè)數(shù)依次為1,3,6,10,15;第3斜列中,第5個(gè)數(shù)為35.顯然,1+3+6+10+15=35.事實(shí)上,一般有這樣的結(jié)論:第m