重慶科技學(xué)院線性代數(shù)考題及答案.doc

試 卷 一一（33%）填空題（表示單位矩陣）：1 設(shè)，則 -1 ； ；2 設(shè)矩陣，則行列式 -1/70 ；3 若向量組，則當(dāng)參數(shù) =0 時(shí)，線性相關(guān)；4 矩陣的伴隨矩陣= ；5 設(shè)矩陣及均可逆，則 ；6 分塊矩陣的逆矩陣為 ；7 設(shè)矩陣。若齊次線性方程組的解空間是2維的，則齊次線性方程組的解空間是 3 維的；8 與向量，均正交的一個(gè)單位向量為 ；9 已知矩陣，則當(dāng)數(shù)滿足條件 k1 時(shí)，是正定的；10 若實(shí)對稱矩陣有兩個(gè)不同的特征值, 且則當(dāng)參數(shù)滿足條件 k-1/2 時(shí)，矩陣是正定的。二（12%）求矩陣方程的解，其中，三（12%）設(shè)3階方陣有特征值，是其相應(yīng)于特征值 的特征向量，是其相應(yīng)于特征值的特征向量。1. 求。2. 若3階實(shí)對稱矩陣的特征值也是，證明：與必定相似。四（12%）設(shè)線性方程組1 問：當(dāng)參數(shù)滿足什么條件時(shí)，方程組無解、有唯一解、有無窮多解？2 當(dāng)方程組有無窮多解時(shí)，求出其通解（寫成向量形式）。五（12%）矩陣。1. 求一2. 問：是否存在秩大于2的矩陣使得？為什么？六（12%）設(shè)實(shí)對稱矩陣 1. 求參數(shù)；2. 求一正交矩陣七（7%）證明題：1 設(shè) 是矩陣的兩個(gè)互異的特征值，是的屬于的線性無關(guān)的特征向量，是的屬于的特征向量。證明：線性無關(guān)。證明：若線性相關(guān)，則可由唯一的線性表示，設(shè)若，則，由線性表示唯一可知，矛盾。若，則 線性無關(guān)，若，矛盾；若，則，矛盾。2 已知階方陣相似于對角陣，并且，矩陣的特征向量均是矩陣的特征向量（注：，的特征值未必相同）。證明試 卷 二一 （24%）填空題：1 假設(shè)矩陣，則。2 假設(shè)向量組A：，則當(dāng)參數(shù)滿足條件 t= -1 時(shí)，向量組A的秩為1； t=2 時(shí)A的秩為2； 時(shí)A的秩為3。3 若向量是矩陣的特征向量，則。4 設(shè)矩陣，且，則參數(shù)滿足條件 a=b 。5 若矩陣與對角陣相似，則滿足條件 x=3 。解：A與對角陣相似，則A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量。由當(dāng)時(shí)，有。6. 若是正交矩陣，則滿足條件a = d = 0, c = 1. 7. 若對滿足條件的實(shí)對稱矩陣， 都是正定矩陣，則實(shí)數(shù)必定滿足條件 a -1.二 （8%）求矩陣的行列式的值。()三 （15%）已知矩陣，向量。1 若是線性方程組的解，試求的值，并求這時(shí)的通解；2 若有無窮多組解，但不是的解，求的值。解：1. 若是線性方程組的解，則，。此時(shí)，的通解為若有無窮多組解，但不是的解，則四 （15%）解矩陣方程 。其中，。五 （15%）設(shè)二次型1 寫出二次型的矩陣；2 求正交變換將化成標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形。六 （12%）設(shè)3階矩陣的特征值是（二重）和，且，是的相應(yīng)于特征值2的特征向量，是的相應(yīng)于特征值是4的特征向量。求矩陣及。七 （5%）已知矩陣，。問：當(dāng)參數(shù)滿足什么條件時(shí)，矩陣方程有解，但無解？八 （6%）證明題：1 已知向量組可以由線性表示。若向量組的秩為2，證明：線性無關(guān)。,所以線性無關(guān)。2 設(shè)2階方陣，且，。若不全為零，證明：不與任何對角陣相似。若不全為零，則所以A沒有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，不與任何對角陣相似。試 卷 三一 （27%）填空題1 若矩陣,，且，則的值分別為；2 設(shè)對任意列向量，則矩陣 ；3 設(shè)階方陣， 。若的行列式 ，則矩陣的行列式 -6 ；4 設(shè)為階可逆方陣，階矩陣的逆矩陣為 ；5 齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 ；6 若二次型是正定的，則參數(shù)的取值范圍是 ；7 若是正交矩陣, 則參數(shù)的值分別為 ；8 假設(shè)階矩陣的特征值為。則行列式的值為 -10 ；9 若實(shí)二次型的矩陣分別為，則的正慣性指數(shù)相同，負(fù)慣性指數(shù)也相同的充分必要條件是參數(shù)滿足 。二（14%）假設(shè)階矩陣滿足。1 證明矩陣及均可逆，并分別求及；2 證明：若，矩陣肯定不可逆。三（14%）假設(shè)矩陣，。已知線性方程組有無窮多組解。試求參數(shù)的值，并求方程組的通解（要求用的一特解及相應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示）。四（15%）已知矩陣相似于對角陣。1 求參數(shù)的值，并求的特征值及相應(yīng)的特征向量；2 求一可逆矩陣，使得為對角陣，并寫出相應(yīng)的對角陣；3 問：是否存在正交矩陣，使得為對角陣？試說明你的理由。解：當(dāng)l= -1時(shí)，解，并且由A相似于對角陣知，所以a=3. 取，所以對應(yīng)于l= -1的特征向量為。當(dāng)l= 4時(shí)，解，取，所以對應(yīng)于l= 4的特征向量為。(2) (3) 不存在正交矩陣，使得為對角陣。因?yàn)锳不是實(shí)對稱的，所以不同特征值對應(yīng)的特征向量只是線性無關(guān)的，而不是正交的。五（12%）已知矩陣，矩陣，求矩陣，使得。六（12%）假設(shè)3維向量；。已知向量組與向量組等價(jià)。1 求的秩及其一個(gè)最大線性無關(guān)組，并求參數(shù)的值；2 令矩陣，求滿足的矩陣。解：已知向量組與向量組等價(jià)。所以線性無關(guān)，所以為的一個(gè)極大無關(guān)組。七（6%）假設(shè)階矩陣滿足。1 證明：關(guān)于矩陣的秩有等式，并且相似于對角陣；2 若，試求行列式的值。試 卷 四一 （30%）填空題1. 設(shè), 則 ；2. 若矩陣滿足，則的逆矩陣 ；3. 若向量組的秩為2，則參數(shù)滿足條件 t= -2 ；4. 假設(shè)3階矩陣的特征值為，矩陣，其中，是的伴隨矩陣，則的行列式 -165 ；,的特征值為，即-11，-5，-3。5. 相似于對角陣的充要條件是滿足條件 ；6. 若與相似，則 ； 7. 設(shè)是3階實(shí)對稱矩陣的相應(yīng)于某個(gè)非零二重特征值的特征向量。若不可逆，則的另一個(gè)特征值為 0 ，相應(yīng)的一個(gè)特征向量為 ；8. 3元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2, 已知是它的3個(gè)解向量,其中,則該方程組的通解是 ；的基礎(chǔ)解系有1個(gè)解向量。且，所以的基礎(chǔ)解系為，則該方程組的通解是9. 若4階矩陣的秩都等于1，則矩陣的行列式 0 。二 （10%）計(jì)算下述行列式的值。 ()三 （15%）設(shè)線性方程組 。問：當(dāng)參數(shù)取何值時(shí), 線性方程組有唯一解？ ()四 當(dāng)參數(shù)取何值時(shí)，線性方程組有無窮多組解？ ()當(dāng)線性方程組有無窮多組解時(shí)，求出其通解（用向量形式表示）。五 （12%）假設(shè)矩陣，矩陣滿足，其中是的伴隨矩陣，求。六 （10%）已知向量組線性無關(guān)，問：參數(shù)滿足什么條件時(shí)，向量組線性相關(guān)？解：設(shè)為列向量組，則。B的列向量組線性相關(guān)七 （15%）已知二次型，1. 寫出二次型的矩陣； 2. 求一正交變換，將變成其標(biāo)準(zhǔn)形； 3. 求當(dāng)時(shí)的最大值。八 （8%）證明題：1. 設(shè)向量組中，線性相關(guān)，線性無關(guān)，證明：能由線性表示。2. 設(shè)是階正定矩陣,證明：矩陣也是正定矩陣。是階正定矩陣,則的所有特征值。并且A可逆，所以為的特征值，當(dāng)時(shí)，所以的所有特征值，所以矩陣也是正定矩陣。試 卷 五一(30%)填空題1. 設(shè)3階矩陣，。若的行列式，則的行列式 ；2. 與向量及都正交的單位向量為 ；3. 矩陣的伴隨矩陣 ；4. 假設(shè)，則= ；= ；5. 若為方陣，則方陣的逆矩陣 ；6. 已知矩陣，若不可逆，則參數(shù)滿足條件 ，這時(shí)，的秩為 ； 7. 假設(shè)階方陣滿足，則是可逆的，且 ；8. 假設(shè)矩陣相似于對角陣，并且2是的一個(gè)二重特征值，則參數(shù)的值分別等于 。二（12%）已知矩陣。1. 求的行列式的值；2. 根據(jù)的不同的值，求的秩及列向量組的極大線性無關(guān)組。三（12%）假設(shè)，。求矩陣方程的解。四（14%）假設(shè)矩陣，。1. 問：當(dāng)參數(shù)取什么值時(shí)，線性方程組有唯一解、有無窮多組解、無解？2. 當(dāng)線性方程組有無窮多組解時(shí)，求出其通解。五（14%）已知三階方陣與矩陣相似，求參數(shù)的值，并求一可逆矩陣，使得。六（12%）設(shè)二次型1. 求一可逆線性變換將變成其標(biāo)準(zhǔn)形；2. 根據(jù)參數(shù)的不同取值，討論的秩及正、負(fù)慣性指數(shù)；3. 問：當(dāng)參數(shù)取什么值時(shí)，是正定二次型？七（6%）假設(shè)是階正交陣。若是實(shí)對稱矩陣，證明：的特征值只能是1和，并且，若，則肯定是的特征值。證明：所以的特征值只能是1和。若，且不是的特征值，則可逆，由得此時(shí)，矛盾。試 卷 六一、 填空題1. 設(shè)3階方陣A滿足AT = -A (其中AT表示A的轉(zhuǎn)置), 則行列式|A| = 0 . 2. 矩陣的伴隨矩陣= . 3. 向量組, , , 的秩為 2 , 它的一個(gè)最大線性無關(guān)組是 , , 。4. 設(shè)A為可逆矩陣, 則矩陣方程2XA + 3B = C的解X = . 5. 設(shè)矩陣A = 是正交矩陣, 則x, y的值分別為 . 6. 二次型f(x1, x2, x3) = 2+- 3+ 4x1x2 - 6x2x3的矩陣是 .二、 選擇題1. 設(shè)A是4階方陣, 則下列條件中 D 與“秩(A) = 3”等價(jià). (A) A的列向量組線性無關(guān), （與“秩(A) = 4”等價(jià).）(B) 行列式|A| = 0, (C) A的3階子式都不為零, (D) 齊次線性方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系中僅含有1個(gè)解向量. 2. 設(shè)A, B都是23的矩陣, 它們的轉(zhuǎn)置分別記為AT 和 BT, 則下列等式中恒成立的是 B . (A) (ATB)T = ABT, (B) 行列式| ATB | = 0, （必有非零解，則必有非零解，則| ATB | = 0） (C) 秩(A+B) = 秩(A) +秩(B), (D) . 3. 下列矩陣中不能相似對角化的是 A . (A) , (B) , (C) , (D) .4. 下列陳述中正確的是 B . (A) 若兩個(gè)矩陣等價(jià), 則它們的行列式相等, （行列式差一個(gè)倍數(shù)） (B) 若兩個(gè)矩陣等價(jià), 則它們的秩相等, (C) 若兩個(gè)矩陣相似, 則它們有相同的特征向量, （有相同的特征值） (D) 若兩個(gè)矩陣合同, 則它們有相同的特征值. 三、 計(jì)算題1. 計(jì)算行列式的值.2. 求矩陣A = 的逆矩陣. 3. 對于方程組 來說, (1) 當(dāng)參數(shù)a與b滿足什么條件時(shí)無解?(2) 當(dāng)參數(shù)a與b滿足什么條件時(shí)有唯一解? (3) 當(dāng)參數(shù)a與b滿足什么條件時(shí)有無窮多解?并在此條件下求出其通解.4. 設(shè)a1=, a2.=, 用Schimidt正交化方法求一個(gè)與向量組a1, a2等價(jià)的正交向量組x1, x2. 并用x1, x2把a(bǔ)2線性表示出來.解：5. 設(shè)矩陣A = , (1) 求A的特征多項(xiàng)式和特征值. (2) 求正交矩陣P使P -1AP為對角矩陣. (3) 矩陣A的正慣性指數(shù)是多少? 矩陣A是否為正定矩陣? 四、 證明題設(shè)n階方陣A滿足A2 = A, E為n階單位矩陣. 證明:(1) A + E和A - 2E都可逆, (2) A的特征值只能為0或1, (3) A相似于一個(gè)對角矩陣. 2006-2007學(xué)年第3學(xué)期(上)線性代數(shù)試卷一. (18%)填空題(E表示單位矩陣). 1. 假設(shè)a = (1, 3), b = (1, -1), 則(aTb)100 = _. 解: aTb =(1, -1) =, baT = (1, -1)= -2, (aTb)100 = (aTb)(aTb)(aTb).(aTb)(aTb) = aT(baT)(baT). (baT)b = aT(-2)99b = -299aTb 99個(gè)baT100個(gè)aTb=. 2. 矩陣A =的逆矩陣A-1 = _. 解: (法一) |A| = 14 - 23 = 4 - 6 = -2. A* =, A-1 =A* =. (法二) (A, E) = . 由此可得A-1 =. 3. 若33矩陣A = (a, b, g)的行列式等于2, 矩陣B = (b, g, a), 則矩陣A + B的行列式|A+B| = _. (-1)(-1)解: |A+B| = |(a +b, b +g, g +a)| = |(a, b +g, g +a)| + |(b, b +g, g +a)| (-1)(-1)= |(a, b +g, g)| + |(b, g, g +a)| = |(a, b, g)| + |(b, g, a)| = |A| - |(b, a, g)| = |A| + |(a, b, g)| = |A| + |A| = 2 + 2 = 4. 4. 齊次線性方程組3x + 2y - 5z = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系是_. 解: 依次取=, 得=, , 于是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:x1 = (-2/3, 1, 0)T, x2 = (5/3, 0, 1)T.注: 本題答案不唯一, 比如還可以取x1 = (-2, 3, 0)T, x2 = (5, 0, 3)T. 5. 向量組a1 = (1, 2, 3, 4)T, a2 = (2, -1, 1, 0)T, a3 = (1, -3, -2, -4)T, a4 = (3, 1, 4, 1)T的一個(gè)極大線性無關(guān)組是_. 解: (a1, a2, a3, a4) =. 由此可見該向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組是a1, a2, a4. 注: 本題答案不唯一, 比如還可以取a1, a3, a4; 也可以取a2, a3, a4. 但a1, a2, a3線性相關(guān)取, 因此a1, a2, a3不是該向量組的極大線性無關(guān)組. 6. 若矩陣, 合同, 則參數(shù)a, b滿足條件_. 解: 記A =, B =. 若A與B合同, 則存在可逆矩陣P使得PTBP = A, 又因?yàn)锽T = B, 故AT = (PTBP)T = PTBT(PT)T = PTBP = A, 可見A是對稱矩陣, 故a = 2. 再由A與B合同可知A與B有相同的秩和正慣性指數(shù), 而B的秩和正慣性指數(shù)分別為2和1, 因此A的秩和正慣性指數(shù)也分別為2和1, 于是A的兩個(gè)特征值l1和l2一個(gè)是正的一個(gè)是負(fù)的, 從而|A| = l1l2 0. 由于a = 2, 所以|A| = = b - 4. 因而b 4. 二. (12%)選擇題. 1. 假設(shè)A, B是同階方陣, 數(shù)k 0, 則正確的命題是( ). (A) |A + B| = |A| + |B|; (B) |kA| = k|A|;(C) r(A + B) = r(A) + r(B); (D) r(kA) = r(A). 解: 取A =, B =, 則|A| = 1, |B| = 0, |A + B| = 2, 而|A| + |B| = 1; 取A =, k = 2, 則|A| = 1, |kA| = 4, 而k|A| = 2; 取A =, B =, 則r(A) = 2, r(B) = 1, r(A+B) = 2, 而r(A) + r(B) = 3; 設(shè)r(A) = r, 即A的最高階非零子式的階數(shù)為r, 取其中的一個(gè)r階非零子式記為D =, 則kA中有一個(gè)與之對應(yīng)的r階子式= krD 0, 可見r(kA) r = r(A). 類似地, 可以證明r(A) r(kA). 因此r(A) = r(kA). (換一個(gè)角度) k 0 kA是由A經(jīng)過各行乘以非零的數(shù)k得到的 kA與A等價(jià) r(kA) = r(A). (再換一個(gè)角度) k 0 kE可逆 r(kA) = r(kE)A) = r(A). 故選D.2. 假設(shè)矩陣A =, 則不與A相似的矩陣為( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) .解: , 以及都是2階方陣而且都有兩個(gè)不同的特征值1和2, 可見它們都與相似, 因此, , 都與A相似. 又因?yàn)橄嗨频木仃嚲哂邢嗤男辛惺? |A| = 2, 而= -3, 可見不與A相似. (換一個(gè)角度) 因?yàn)橄嗨频木仃嚲哂邢嗤嫩E, tr(A) = 1+2 = 3, tr= 0+2 = 2, 可見不與A相似. (再換一個(gè)角度) 因?yàn)橄嗨频木仃嚲哂邢嗤奶卣髦? A的兩個(gè)特征值分別為1和2, 而的兩個(gè)特征值分別為-1和3, 可見不與A相似. 故選D. 3. 假設(shè)A, B都是非零矩陣且AB = O, 則正確的命題是( ). (A) A的行向量組線性相關(guān); (B) B的行向量組線性相關(guān); (C) A, B的行向量組都線性相關(guān); (D) A, B的列向量組都線性相關(guān). 解: 取A =, B =, 則A, B都是非零矩陣且