平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用舉例(2).ppt

第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用舉例,基礎(chǔ)梳理,1.兩個(gè)向量的夾角,(1)定義 已知兩個(gè) 向量a和b,作 =a, =b,則AOB=叫做向量a與b的夾角. (2)范圍 向量夾角的取值范圍是 ,a與b同向時(shí),夾角= ;a與b反向時(shí),夾角= . (3)向量垂直 如果向量a與b的夾角= , 則a與b垂直,記作 .,ab,非零,0180,0,180,90,2. 平面向量的數(shù)量積 (1)平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為,我們把數(shù)量 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab= ,并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 . (2)一向量在另一向量方向上的投影 定義 設(shè)是a和b的夾角,則 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做 的投影.b在a的方向上的投影是一個(gè)實(shí)數(shù),而不是向量,當(dāng)090時(shí),它是 ,當(dāng)90180時(shí),它是 ,當(dāng)=90時(shí),它是 . ab的幾何意義 數(shù)量積ab等于a的長度|a|與 的投影|b|cos 的乘積.,b在a方向上,|a|b|cos ,0,|a|b|cos ,|a|cos ,b在a方向上,正數(shù),負(fù)數(shù),0,3. 向量的數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a,b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則 (1)ea=ae= . (2)ab ab= . (3)當(dāng)a與b同向時(shí),ab= ; 當(dāng)a與b反向時(shí),ab= . 特別地:aa=a2=|a|2或|a|= . (4)|ab| |a|b|. (5)cos = (是a與b的夾角).,|a|cos ,0,|a|b|,|a|b|,4. 向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab= (交換律); (2)(a)b= = (數(shù)乘結(jié)合律); (3)(a+b)c= (分配律). 5. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)ab= . (2)|a|= , |b|= . (3)ab . (4)若a與b夾角為,則cos = . (5)若c的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2), 則|c|= .,6. 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用 用向量方法解決幾何問題一般分四步: （1）選好基向量; (2)建立平面幾何與向量的 ,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為 ; (3)通過 研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題; (4)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成 .,幾何關(guān)系,聯(lián)系,向量問題,向量運(yùn)算,基礎(chǔ)達(dá)標(biāo),1.(2010重慶改編)若向量a=(3，m)，b=(2，-1)， ab=0，則實(shí)數(shù)m的值為_,解析：因?yàn)閍b6m0，所以m6.,6,2. (2010安徽改編)設(shè)向量a=(1,0)，b= ， 則下列結(jié)論中正確的有_ (寫出所有正確結(jié)論的序號) |a|=|b|； ab= ； a-b與b垂直；ab.,解析：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，直接驗(yàn)證 即可判定是錯(cuò)誤的；而ab ， (ab)b0，即ab與b垂直，故只有 是正確的,3. (必修4P77練習(xí)2改編)設(shè)e1，e2是兩個(gè)單位向量， 它們的夾角是60，則(2e1-e2)(-3e1+2e2)=_.,解析：(2e1e2)(3e12e2) 6e2e7e1e2 62711cos 60 .,4. 已知向量a=(2,1)，ab=10，|a+b|=5 ， 則|b|=_.,5,解析：由a(2,1)得|a| ，由|ab|5知 (ab)2|a|2|b|22ab50，得|b|5.,5. (必修4P81習(xí)題13改編)已知|a|=1，|b|=6，a(b-a)=2， 則向量a與向量b的夾角是_,解析：因?yàn)橛蓷l件得aba22， 所以ab2a23， 故所求夾角的余弦為cos ， 即夾角為 .,經(jīng)典例題,【例1】(1)(2010廣東改編)若向量a=(1,1)，b=(2,5)， c=(3，x),滿足條件(8a-b)-c=30，則x=_. (2)(2010天津改編)如圖，在ABC中，ADAB， ， ，則 = .,分析： (1)利用數(shù)量積公式化簡計(jì)算； (2)利用正弦定理進(jìn)行化簡求解,題型一 數(shù)量積的運(yùn)算,解：(1)(8ab)(8,8)(2,5)(6,3)， (8ab)c633x30x4. (2) cosDAC cosDAC sinBAC sin B sin B .,.,變式1-1 (2010廣州模擬)已知點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)， C(2sin，cos ) (1)若 ，求tan 的值； (2)若 ，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 求sin 2的值,解析： (1)A(1,0)，B(0,1)，C(2sin，cos)， (2sin1，cos)， (2sin，cos1) | | |， ， 化簡得：2sincos， cos0(若cos0，則sin1，上式不成立)， tan .,(2) (1,0)， (0,1)， (2sin，cos)， (1,2) ， 2sin2cos1，sincos ， (sincos)2 ，sin2 .,題型二 模長與垂直問題,【例2】已知|a|=4，|b|=8，a與b的夾角是120. (1)計(jì)算|a+b|，|4a-2b|； (2)當(dāng)k為何值時(shí)，(a+2b)(k a-b)?,分析： (1)利用模長公式|a| 和|ab| 求解 (2)利用向量垂直的充要條件，通過坐標(biāo)表示列方程求k.,解：由已知得，ab|a|b|cos 12048 16. (1)|ab|2a22abb2162(16)6448， |ab|4. |4a2b|216a216ab4b2161616 (16)4643162， |4a2b|16.,(2)若(a2b)(k ab)， 則(a2b)(k ab)0， k a2(2k1)ab2b20， 即16k16(2k1)2640，k7.,解析：(1)方法一：bc(cos 1，sin )， 則|bc|2(cos 1)2sin22(1cos )， 1cos 1， 0|bc|24，即0|bc|2. 當(dāng)cos 1時(shí)，有|bc|2， 向量bc的長度的最大值為2. 方法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2， 當(dāng)cos 1時(shí)，有bc(2,0)，即|bc|2， bc的長度的最大值為2.,變式2-1 (2009湖北)已知向量a=(cos a，sin a)，b=(cos b，sin b)， c=(-1,0) (1)求向量b+c的長度的最大值； (2)設(shè) ，且a(b+c)，求cos b的值,(2)方法一：由已知可得bc(cos1，sin)， a(bc)coscoscossinsincos()cos. a(bc)， a(bc)0，即cos()cos. 由 ，得cos cos ， 即 2k (kZ)， 2k 或2k(kZ)， 于是cos 0或cos 1.,方法二：若 ，則a ， 又由b(cos ，sin )，c(1,0)得 a(bc) (cos 1，sin ) cos sin . a(bc)， a(bc)0，即cos sin 1， sin 1cos ，平方后化簡得 cos (cos 1)0， 解得cos 0或cos 1，,題型三 夾角問題 【例3】 已知a、b都是非零向量，且|a|=|b|=|a-b|. 求a與a+b的夾角,分析：由公式cos 可知，求兩個(gè)向量的 夾角關(guān)鍵是求數(shù)量積及模的積 本題中|a|b|ab|的充分利用是求數(shù)量積的 關(guān)鍵，考慮怎樣對條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,解： 方法一：由|a|b|ab|，得 |a|2|b|2，|b|2a22abb2， 所以ab a2. 而|ab|2|a|22ab|b|22|a|22|a|23|a|2， 所以|ab| |a|. 設(shè)a與ab的夾角為，則 cos ， 由于0180，所以30.,方法二：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)， 由|a|b|ab|，得 |a|2|b|2，|ab|2a22abb2， 所以x12y12x22y22x12y12x22y222x1x22y1y2， 即x1x2y1y2(xy)， 所以|ab|2(x1x2)2(y1y2)2 x12y12x22y22+2x1x2+2y1y2 3(x12y12)， 故|ab| .設(shè)a與ab的夾角為， 則cos ， 由于0180，所以30.,變式3-1 已知|a|= ，|b|=3，a和b的夾角為45， 求當(dāng)向量a+b與 a+b的夾角是銳角時(shí)， l的取值范圍,解析:ab|a|b|cos 45 . ab與ab的夾角為銳角， (ab)(ab)0， 即ab2(a2b2)ab0. 把a(bǔ)b3，a2b2|a|2|b|22911代入上式 得321130， 解得 ， 又因?yàn)閍b與ab的夾角為銳角，所以即1， 所以 ,題型四 向量在幾何中的應(yīng)用 【例4】已知等腰直角三角形AOB中，AC、BD 為兩直角邊上的中線，求AC、BD相交所形成的 鈍角的余弦值.,分析： 角的計(jì)算，可歸結(jié)為兩個(gè)向量的夾角的計(jì)算 本題適當(dāng)建立坐標(biāo)系后，正確地寫出相關(guān)點(diǎn) 的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)，即可通過運(yùn)算求解.,解析：如圖，分別以等腰直角三角形AOB的兩直角邊 為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2a,0)，B(0,2a)，則 D(a,0)，C(0，a)(a0 )， (2a，a)， (a，2a) AC、BD相交形成的鈍角即為 與 的夾角， cos 即AC、BD相交形成的鈍角的余弦值為 .,變式4-1 已知ABC中，AD為中線，求證：,解析：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在的直線為x軸建立 如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)A(a，b)，C(c,0)， 則 ，則 (ca，b)， =(c,0),所以 即,易錯(cuò)警示,【例1】 若正ABC的邊長為1，則 =_. 錯(cuò)解 由于正ABC的邊長為1， 所以A=B=C=60， 所以,正解： 與的夾角為180BCA120， 所以 .,【例