理論力學(xué)教學(xué)材料-12振動(dòng).ppt

1,第十二章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng),2,動(dòng)力學(xué),振動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見(jiàn)的現(xiàn)象。 例如：鐘擺的往復(fù)擺動(dòng),汽車(chē)行駛時(shí)的顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī)床等工作時(shí)的振動(dòng)，以及地震時(shí)引起的建筑物的振動(dòng)等。,利：振動(dòng)給料機(jī) 弊：磨損，減少壽命，影響強(qiáng)度 振動(dòng)篩 引起噪聲，影響勞動(dòng)條件 振動(dòng)沉拔樁機(jī)等 消耗能量，降低精度等。,3. 研究振動(dòng)的目的：消除或減小有害的振動(dòng)，充分利用振動(dòng) 為人類(lèi)服務(wù)。,2. 振動(dòng)的利弊：,1. 所謂振動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。,3,動(dòng)力學(xué),4,動(dòng)力學(xué),實(shí)際中的振動(dòng)往往很復(fù)雜，為了便于研究，需簡(jiǎn)化為力學(xué)模型。,質(zhì)量彈簧系統(tǒng),振體,5,動(dòng)力學(xué),運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使物體回到平衡位置的力稱(chēng)為恢復(fù)力,6,動(dòng)力學(xué),12-1 單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng),一、振動(dòng)的微分方程：,只需用一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)就可確定振體的位置，這種系統(tǒng)稱(chēng)為單自由度系統(tǒng)。物體受到初干擾后，僅在恢復(fù)力作用下的振動(dòng)稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振動(dòng),圖示質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則,7,動(dòng)力學(xué),這就是質(zhì)量彈簧系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的微分方程。,對(duì)于其他類(lèi)型，同理可得。如,單擺：,8,動(dòng)力學(xué),復(fù)擺：,對(duì)于任何一個(gè)單自由度系統(tǒng)，以 q 為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開(kāi)始量取 ），則自由振動(dòng)的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：,解為：,9,動(dòng)力學(xué),設(shè) t = 0 時(shí)， 代入上兩式得：,或：,C1，C2由初始條件決定為,10,動(dòng)力學(xué),n 圓頻率，振體在2秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。 n=2f n、f 都稱(chēng)為系統(tǒng)的固有頻率或自然頻率,A振體離開(kāi)平衡位置的最大位移，稱(chēng)為振幅,n t + 相位，決定振體在某瞬時(shí) t 的位置, 初相位，決定振體運(yùn)動(dòng)的起始位置,T 周期，每振動(dòng)一次所經(jīng)歷的時(shí)間,f 頻率，每秒鐘振動(dòng)的次數(shù)，單位：HZ ， f = 1 / T,11,動(dòng)力學(xué),無(wú)阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)：,(2) 振幅A和初相位 取決于運(yùn)動(dòng)的初始條件(初位移和初速度)；,(1) 振動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；,(3)周期T 和固有頻率n 僅決定于系統(tǒng)本身的固有參數(shù)(m,k,J)。,四、其它 1. 如果系統(tǒng)在振動(dòng)方向上受到某個(gè)常力的作用，該常力只影響靜平衡點(diǎn)O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律，如振動(dòng)頻率、振幅和相位等。,12,動(dòng)力學(xué),2. 彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度,并聯(lián),串聯(lián),13,動(dòng)力學(xué),二、 求系統(tǒng)固有頻率的方法,彈簧在全部重力作用下的靜變形,對(duì)于質(zhì)量彈簧這類(lèi)系統(tǒng)，當(dāng)振體靜止平衡時(shí)，有：,于是：,無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。 當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，速度為零，即系統(tǒng)動(dòng)能等于零，勢(shì)能達(dá)到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)）。,14,動(dòng)力學(xué),當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值。,如：,由Tmax=Vmax求wn的方法稱(chēng)為能量法。,15,動(dòng)力學(xué),綜上所述，求系統(tǒng)固有頻率的方法有：,：集中質(zhì)量在全部重力 作用下的靜變形,由Tmax=Vmax , 求出,能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對(duì)于計(jì)算較復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，用能量法來(lái)求更為簡(jiǎn)便。,16,動(dòng)力學(xué),例1 圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無(wú)側(cè)向擺動(dòng)，且輪子與繩子間無(wú)滑動(dòng)，不計(jì)繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為R，質(zhì)量為M，重物質(zhì)量 m ，試列出系統(tǒng)微幅振動(dòng)微分方程，求出其固有頻率。,17,動(dòng)力學(xué),解：以 x 為廣義坐標(biāo)，靜平衡位置為 坐標(biāo)原點(diǎn)。,在任意位置x 時(shí)：,靜平衡時(shí)：,18,動(dòng)力學(xué),應(yīng)用動(dòng)量矩定理x：,由 ， 有,振動(dòng)微分方程： 固有頻率：,19,動(dòng)力學(xué),解2 ： 用機(jī)械能守恒定律 以x為廣義坐標(biāo)（取靜平衡位置為原點(diǎn)）,以平衡位置為計(jì)算勢(shì)能的零位置，并注意輪心位移x時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)2x,因平衡時(shí),20,動(dòng)力學(xué),由 T+V= 有：,對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)，再消去 ，得,21,動(dòng)力學(xué),例2 鼓輪：質(zhì)量M，對(duì)輪心回轉(zhuǎn)半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑 r ，彈簧剛度 ，重物E質(zhì)量為m, 不計(jì)輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長(zhǎng)。求系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率。,解：取靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取C偏離平衡位置x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：,22,動(dòng)力學(xué),以平衡位置為重力及彈性勢(shì)能零位置，則：,23,動(dòng)力學(xué),設(shè) 則有,根據(jù)Tmax=Vmax , 解得,24,動(dòng)力學(xué),12-2 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng),一、阻尼的概念： 阻尼：振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)所受的阻力。 粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，介質(zhì)粘性引起的阻尼力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱(chēng)為粘性阻尼。,投影式：, 粘性阻尼系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)阻尼系數(shù)。,自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅不隨時(shí)間而變。但實(shí)際中振動(dòng)的振幅幾乎都是隨時(shí)間逐漸減小的（也稱(chēng)為衰減振動(dòng)），這是因?yàn)橛凶枘帷?25,動(dòng)力學(xué),二、振動(dòng)微分方程及其解： 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：,有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。,26,動(dòng)力學(xué),其通解分三種情況討論： 1、小阻尼情形,有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率,27,動(dòng)力學(xué),衰減振動(dòng)的特點(diǎn)： (1) 振動(dòng)周期變大， 頻率減小。,阻尼比,當(dāng) 時(shí)，可以認(rèn)為,28,動(dòng)力學(xué),(2) 振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減,對(duì)數(shù)減幅系數(shù)：,相鄰兩次振幅之比,振幅：,2、大阻尼阻尼情形,積分常數(shù)由C1、C2由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。,29,動(dòng)力學(xué),物體的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無(wú)限地趨向平衡位置，不再具備振動(dòng)的特性。,3、臨界阻尼情形 臨界阻尼系數(shù),（C1、C2由運(yùn)動(dòng)的初始條 件決定）,綜上所述，系統(tǒng)受粘滯阻尼作用時(shí)，只有在nn的情況下才發(fā)生振動(dòng)，振動(dòng)的周期較無(wú)阻尼時(shí)略長(zhǎng)，而振幅則按幾何級(jí)數(shù)遞減。,30,動(dòng)力學(xué),例3 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系數(shù) 。,解：,得n=0.4（1/s）,31,動(dòng)力學(xué),12-3 單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng),自由振動(dòng)由于有阻尼的存在而逐漸衰減，但實(shí)際有很多振動(dòng)并不衰減，這時(shí)因?yàn)槭艿礁蓴_力的作用。干擾力時(shí)對(duì)系統(tǒng)起著激振作用的力，它不依賴(lài)于系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)而給系統(tǒng)不斷地輸入能量，使其持速振動(dòng)。比如：轉(zhuǎn)子的偏心、支撐點(diǎn)或懸掛點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等。 系統(tǒng)在干擾力的作用下的振動(dòng)稱(chēng)為受迫振動(dòng)或強(qiáng)迫振動(dòng)。 干擾力的種類(lèi)很多，我們只討論簡(jiǎn)諧變化的干擾力：,H力幅：干擾力的最大值； 干擾力的圓頻率,32,動(dòng)力學(xué),一、有阻尼情形,這就是有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：二階常系數(shù)非齊次微分方程。其解為：,1、振動(dòng)微分方程及其解,33,動(dòng)力學(xué),x1是對(duì)應(yīng)齊次方程 的通解,小阻尼：,（A、 積分常數(shù)，取決于初始條件）,x2 是特解：,代入原方程并整理, 受迫振動(dòng)的振幅, 強(qiáng)迫振動(dòng)相位滯后干擾力相位角,振動(dòng)微分方程的全解為,34,動(dòng)力學(xué),衰減振動(dòng) 受迫振動(dòng),（1）nn時(shí),（2）n=n時(shí),（3）nn時(shí),上述三式的第一部分很快就消失了。第一部分消失之前的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為暫態(tài)響應(yīng)，第一部分消失之后的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。受迫振動(dòng)指的是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：,35,動(dòng)力學(xué),2、有阻尼受迫振動(dòng)的特點(diǎn)：,（1）振動(dòng)規(guī)律 ，為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，不隨阻尼而衰減。,（2）與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)。 （3）頻率等于干擾力的頻率，不受阻尼影響。,二、無(wú)阻尼情形,當(dāng)n=0時(shí)，振動(dòng)微分方程：,對(duì)應(yīng)齊次方程的解：,特解：,當(dāng)n=0時(shí)，有前述：,36,動(dòng)力學(xué),方程全解：,阻尼比,三、幅頻曲線(xiàn) 共振現(xiàn)象,將受迫振動(dòng)的振幅改寫(xiě)為：,式中： 靜偏離：在干擾力力幅作用下，振體偏離平衡位置的距離,37,動(dòng)力學(xué),于是：,放大系數(shù)或動(dòng)力系數(shù),對(duì)于不同的阻尼比x，可得一系列放大系數(shù)隨頻率比/n的變化曲線(xiàn)，稱(chēng)為振幅頻率曲線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)幅頻曲線(xiàn)。,38,動(dòng)力學(xué),阻尼對(duì)振幅影響顯著。一定時(shí)，阻尼增大，振幅顯著下降。,共振頻率,39,動(dòng)力學(xué),有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)相位總比干擾力滯后一相位角，稱(chēng)為相位差。,一般較小，可以認(rèn)為當(dāng)=n時(shí)系統(tǒng)發(fā)生共振，此時(shí),四、相頻曲線(xiàn),（4）n/n=0，即無(wú)阻尼情況，當(dāng)=n時(shí)系統(tǒng)發(fā)生共振，B。,40,動(dòng)力學(xué),(1) 在0 內(nèi)變化。 (2) 單調(diào)上升。 (3) 當(dāng)/n0時(shí)， 0。 (4) 當(dāng)/n1（共振區(qū)）時(shí)，變化劇烈， /n=1時(shí)無(wú)論阻尼大小，=/2 。 (5) 當(dāng)/n 1時(shí)， =。強(qiáng)迫振動(dòng)與干擾力反相。,對(duì)于不同的阻尼比x=n/n，可得一系列相位差隨頻率比/n的變化曲線(xiàn)，稱(chēng)為相位差頻率曲線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)相頻曲線(xiàn)。,41,動(dòng)力學(xué),例4 已知物體重P=3500N，k=20000N/m , 干擾力H=100N, f=2.5Hz , =1600Ns/m , 求B, ,強(qiáng)迫振動(dòng)方程。,解：,42,動(dòng)力學(xué),43,動(dòng)力學(xué),12-4 臨界轉(zhuǎn)速 減振與隔振的概念,一、轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速 引起轉(zhuǎn)子劇烈振動(dòng)的特定轉(zhuǎn)速稱(chēng)為臨界轉(zhuǎn)速。這種現(xiàn)象是由共振引起的，在軸的設(shè)計(jì)中對(duì)高速軸應(yīng)進(jìn)行該項(xiàng)驗(yàn)算。,單圓盤(pán)轉(zhuǎn)子： 圓盤(pán)：質(zhì)量m , 質(zhì)心C點(diǎn)；轉(zhuǎn)軸過(guò)盤(pán)的幾何中心A點(diǎn)，AC= e ，盤(pán)和軸共同以勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)。 當(dāng) n（ n為圓盤(pán)轉(zhuǎn)軸所組成的系統(tǒng)橫向振動(dòng)的固有頻率）時(shí)，OC= x+e (x為軸中點(diǎn)A的彎曲變形）。,44,動(dòng)力學(xué),（k為轉(zhuǎn)軸相當(dāng)剛度系數(shù)）,臨界角速度： 臨界轉(zhuǎn)速：,45,動(dòng)力學(xué),質(zhì)心C位于O、A之間 OC= x- e,當(dāng)轉(zhuǎn)速 非常高時(shí)，圓盤(pán)質(zhì)心C與兩支點(diǎn)的連線(xiàn)相接近，圓盤(pán)接近于繞質(zhì)心C旋轉(zhuǎn)，于是轉(zhuǎn)動(dòng)平穩(wěn)。 為確保安全，軸的工作轉(zhuǎn)速一定要避開(kāi)它的臨界轉(zhuǎn)速。,46,動(dòng)力學(xué),二、減振與隔振的概念 劇烈的振動(dòng)不但影響機(jī)器本身的正常工作，還會(huì)影響周