偏微分方程數(shù)值解(2).ppt

第十章 偏微分方程數(shù)值解,一、典型的偏微分方程介紹,1. 橢圓型方程,Laplace 方程,Poisson方程,2. 拋物型方程,熱傳導方程,其中a是常數(shù)。它表示長度為L的細桿內，物體溫度分布的規(guī)律,土壤水運動方程：,溶質運移方程：,（水流穩(wěn)態(tài)）,（瞬態(tài)）,3雙曲型方程,波動方程,它表示長度為L的弦振動的規(guī)律。,二、定解問題,決定方程唯一解所必須給定的初始條件和邊界條件,叫做定解條件,邊界條件,初始條件,計算機只能作有限次的加、減、乘、除運算， 它既不能求導數(shù)，更不能解偏微分方程。如果想 在計算機上求得微分方程數(shù)值解，它的主要做法 是把偏微分方程中所有的偏導數(shù)分別用差商代替， 從而得到一個代數(shù)方程組差分方程組，然后 對差分方程求解，并以所求的解作為偏微分方程 數(shù)值解。,10.1 差分法簡介,對區(qū)域進行剖分，用網格點來代替連續(xù)區(qū)域，,因此差分法亦稱“網格法”。,把整體分割成若干個單元來處理問題的方法在,數(shù)學上稱為“離散化方法”,在結點上采用離散化方法（數(shù)值微分、數(shù)值積分、,泰勒展開等）將微分方程的初邊值問題化成關于,離散變量的相應問題，這個相應問題的解就是方程,在點xi上的數(shù)值解f(x)，或在點（xi , ti）上的數(shù)值解,U( xi , ti)。一般來說，不同的離散化導致不同的方法。,例：取一邊長為1的正方形均勻薄板，上下側面絕熱，四周保持恒溫，求板內各點的穩(wěn)定溫定分布。,Laplace 方程第一邊值問題,記,u在這些點滿足方程,得到u (i, k)的近似ui,k，所滿足的線性代數(shù)方程組：,其中,用迭代法來解方程組,簡單迭代法,高斯賽德爾迭代法,用差分法解偏微分方程需要考慮三個問題：,1選用網格，將微分方程離散化為差分方程。,2當網格步長h 0時差分方程的準確解是否 收斂于微分方程的解？,3如何解相應的代數(shù)方程組？,10.2 橢圓型方程的差分解法,橢圓型方程最簡單的典型問題就是拉普拉斯方程,泊松方程,考慮泊松方程第一邊值問題：,(一) 矩形網格,設為xy平面上一有界區(qū)域，為其邊界， 是分段光滑曲線。,正則內點,非正則內點,邊界點,（二）五點差分格式,現(xiàn)在假設（i，k）為正則內點。沿著x，y軸方向分別用 二階中心差商代替uxx，uyy，則得,若以uh，fh表示網函數(shù)，記,則差分方程可簡寫成：,利用Taylor展式,這四個式子兩兩相加便有：,于是可得差分方程的截斷誤差,（三）邊值條件的處理,：非正則內點集合,h ：邊界點集合,（1）直接轉移法,對（xi, yk） ，用邊界上距離這點最近的點的值 作為（xi, yk）的值，即,（2）線性插