利用導數(shù)研究函數(shù)的極值(2).ppt

,復習:,如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ,則 為常數(shù).,單調(diào)性的判斷方法有哪些？ 單調(diào)性與導數(shù)有何關(guān)系?,f (x)0,f (x)0,設函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，,如果f (x)0，則f(x)在此區(qū)間為增函數(shù)；,如果f (x)0，則f(x)在此區(qū)間為減函數(shù)；,如果f (x)=0，則f(x)在此區(qū)間為常數(shù)函數(shù)；,練習:判斷函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)性。,函數(shù)的極值,函數(shù) y=f (x)在點x1 、x2 、x3 、x4處的函數(shù)值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，與它們左右近旁各點處的函數(shù)值，相比有什么特點?,觀察圖像：,一、函數(shù)的極值定義,如果對X0附近的所有點X，都有f(x)f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點X0處取極大值， 記作y極大值= f(x0)；并把X0稱為函數(shù)f(x)的一個極大植點。,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點,已知 函數(shù)y=f(x)，設X0是定義域（a,b)內(nèi)任一點，,探究 1、圖中有哪些極值點和最值點？ 2、函數(shù)極值點可以有多個嗎？極大值一定比極小值大么？ 3、最值和極值有什么聯(lián)系和區(qū)別? 4、端點可能是極值點嗎？,練習：課本30頁A、1,(1）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，在函數(shù)的整個定義區(qū)間內(nèi)可能有多個極大值或極小值，而最值是對整體而言。 （2）極大值不一定比極小值大。 (3)極值點不一定是最值點。,觀察與思考：極值與導數(shù)有何關(guān)系？,在極值點處，曲線如果有切線，則切線是水平的。,f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,f (b)=0,結(jié)論：設x=x0是y=f(x)的極值點，且f(x)在x=x0是可導的，則必有f (x0)=0,f (x)0,x1,f (x)0,f (x)0,f (x)0,二、判斷函數(shù)極值的方法,x2,注意：函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是局部性質(zhì)。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間上可能有多個極大值或極小值，并對同一個函數(shù)來說，在某一點的極大值也可能小于另一點的極小值。,例.判斷下面4個命題，其中是真命題序號為 。 可導函數(shù)必有極值； 函數(shù)的極值點必在定義域內(nèi)； 函數(shù)的極小值一定小于極大值。 （設極小值、極大值都存在）； 函數(shù)的極小值（或極大值）不會多于一個。,例1 求函數(shù) 的極值。,解：定義域為R，y=x2-4,由y=0可得x=-2或 x=2,當x變化時，y, y的變化情況如下表：,因此，當x=-2時， y極大值=28/3,當x=2時， y極小值=4/3,(-，-2）,(-2，2）,(2，+）,+,+,極大值28/3,極小值 -4/3,1、求可導函數(shù)f(x)極值的 步驟：,(2)求導數(shù)f (x)；,(3)求方程f (x）=0的根；,(4)把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格,檢查f (x)在方程根左右的符號 如果左正右負（+ -）， 那么f(x)在這個根處取得極大值,如果左負右正（- +）， 那么f(x)在這個根處取得極小值；,(1) 確定函數(shù)的定義域；,2、思考與討論：在區(qū)間-3，5上，,最小值分別是多少？-3，3上呢？,4、求可導函數(shù)y=f(x)在a,b上的最值步驟如何？,的最大值，,1、求y=f(x)在開區(qū)間（a,b)內(nèi)所有使f (x）=0的點； 2、計算函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)使f (x）=0的所有點和端點的函數(shù)值，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。,練習1,求下列函數(shù)的極值:,解:,令 解得 列表:,+,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,所以, 當 時, f (x)有極小值,求下列函數(shù)的極值:,解:,解得 列表:,+,+,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以, 當 x = 3 時, f (x)有極大值 54 ;,當 x = 3 時, f (x)有極小值 54 .,練習1,練習2：下圖是導函數(shù) 的圖象, 在標記的點中, 在哪一點處,(1)導函數(shù) 有極大值? (2)導函數(shù) 有極小值? (3)函數(shù) 有極大值? (4)函數(shù) 有極小值?,或,例2 求函數(shù) y=(x2-1)3+1 的極值。,解：定義域為R， y=6x(x2-1)2。,由y=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1,當x變化時，y , y的變化情況如下表：,因此，當x=0時， y極小值=0,點評：可導函數(shù),在點x0取得極值的充分必要條,件是,且在點x0左側(cè)和右側(cè)， f (x)異號。,練習：課本30頁A 2（2）,例3 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，當x=-1時取極大值7；當x=3時取得極小值， 求這個極小值及a、b、c的值。,練習：1、求函數(shù)f(x)=x+2sinx在區(qū)間0,2內(nèi)的極值,練習2:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為 10,求a、b的值.,解: =3x2+2ax+b=0有一個根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,當a=-3,b=3時, ,此時f(x)在x=1處無 極值,不合題意.,當a=4,b=-11時,-3/111時, ,此時x=1是極 值點.,從而所求的解為a=4,b=-11.,1、可導函數(shù)的極值點概念及與導數(shù)的關(guān)系。 2、求極值的方法步驟。 3、極值與最值的