自動(dòng)控制原理微分方程.ppt

2.1 控制系統(tǒng)的微分方程,2.1.1 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng),2.1.2 微分方程的列寫(xiě),2.1.3 系統(tǒng)元件間的負(fù)載效應(yīng),2.1.4 系統(tǒng)非線性微分方程的線性化,2.1.1 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng),對(duì)于任意系統(tǒng)，都可以用下方程來(lái)描述,1、任取系數(shù)ai和bj是常數(shù)時(shí)，系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng) 。,2、任取系數(shù)ai和bj是時(shí)間t的函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)為線性時(shí)變系統(tǒng) 。,3、任取系數(shù)ai和bj是輸入量、輸出量及它們的導(dǎo)函數(shù)，或是時(shí)間t的其他函數(shù)形式時(shí)，系統(tǒng)為非線性系統(tǒng) 。,疊加原理,設(shè)有一個(gè)物理系統(tǒng)，,單獨(dú)對(duì)它施加輸入xi1(t)時(shí)， 輸出為x01(t)；,單獨(dú)施加輸入為xi2(t)時(shí)， 輸出為x02(t)；,同時(shí)施加輸入axi1(t)和bxi2(t)時(shí)， 若輸出為ax01(t)+bx02(t) ，,則系統(tǒng)為線性的。,線性、非線性這一系統(tǒng)特性并不隨 系統(tǒng)的表示方法而改變，因?yàn)樗皇?系統(tǒng)本身的固有特性。,線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的根本區(qū)別表 現(xiàn)為：,線性系統(tǒng)滿足疊加原理,非線性系統(tǒng)則不滿足疊加原理,對(duì)一個(gè)線性系統(tǒng)，一個(gè)輸入的存在并不影響 由另一個(gè)輸入引起的輸出，即對(duì)線性系統(tǒng)而 言，各個(gè)輸入產(chǎn)生的輸出是互不影響的。,因此，在分析多個(gè)輸入加在系統(tǒng)上而引起的總輸出時(shí)，可以先分析由單個(gè)輸入產(chǎn)生的輸出，然后把這些輸出疊加起來(lái)即可。,當(dāng)輸入作用在系統(tǒng)不同部位時(shí)，系統(tǒng)的輸出仍然是各輸入所引起的輸出的疊加。,意義：,2.1.2 微分方程的列寫(xiě),例1 機(jī)械方面:組合機(jī)床動(dòng)力滑臺(tái)銑平面,例2 電學(xué)方面:無(wú)源網(wǎng)絡(luò),列寫(xiě)微分方程的步驟,例1 機(jī)械方面:組合機(jī)床動(dòng)力滑臺(tái)銑平面,根據(jù)牛頓第二定律F=ma，得,其中， F軸切削力的軸向分量 Fc阻尼力 Fk彈性恢復(fù)力,同時(shí)進(jìn)行等量的代換（變量更換）：,例2 電學(xué)方面:無(wú)源網(wǎng)絡(luò),由基爾霍夫定律和歐姆定律,對(duì)（4）求導(dǎo),列寫(xiě)微分方程的步驟:,1、據(jù)系統(tǒng)的工作原理明確輸入量、輸出量。,2、將系統(tǒng)劃分成若干環(huán)節(jié)，從輸入端開(kāi)始， 根據(jù)物理學(xué)定律每一個(gè)環(huán)節(jié)列寫(xiě)一個(gè)方 程。（考慮負(fù)載效應(yīng)）,3、將各方程中的中間變量消去，求出描述 輸入量和輸出量之間關(guān)系的微分放程。,4、將微分方程標(biāo)準(zhǔn)化；將與輸入有關(guān)的各 項(xiàng)放在方程等式右邊；與輸出有關(guān)的各 項(xiàng)放在方程等式左邊，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降 冪排列。,標(biāo)準(zhǔn)形式如下:,5、在列寫(xiě)元件的微分方程或求出系統(tǒng)的微 分方程時(shí)，對(duì)非線性項(xiàng)應(yīng)加以線性化。,2.1.3 系統(tǒng)元件間的負(fù)載效應(yīng),在列寫(xiě)微分方程時(shí)，要考慮相鄰元件的 負(fù)載效應(yīng)。,那么，什么是負(fù)載效應(yīng)?,對(duì)于由兩個(gè)物理元件組成的系統(tǒng)而言， 若其中一個(gè)元件的存在，使另一元件在 相同輸入下的輸出受到影響，則如前者 對(duì)后者施加了負(fù)載。,因此，這一影響稱為負(fù)載效應(yīng)或稱耦合。,例1:兩個(gè)由質(zhì)量、彈簧串聯(lián)而成的振動(dòng)系統(tǒng)。,1) 當(dāng)m2,k2不存在 即m1,k1是一單自由度系統(tǒng),其動(dòng)力學(xué)方程為：,2)將m2,k2接在m1與k1上時(shí)，組成圖示 兩自由由度系統(tǒng)。,則有：,其動(dòng)力學(xué)方程為：,3)若不計(jì)m2的運(yùn)動(dòng)對(duì)m1的影響。,則有：,則動(dòng)力方程為：,例2：有兩級(jí)串聯(lián)的RC電路組成的濾波網(wǎng)絡(luò),1)計(jì)R2與C2存在影響R1與C1的輸出電流i1,2)不計(jì)R2與C2存在影響R1與C1的輸出電流i1,若R=R=R、C=C=C，并記RC=T，則,所以未計(jì)負(fù)載效應(yīng)是錯(cuò)誤的,2.1.4 系統(tǒng)非線性微分方程的線性化,系統(tǒng)通常都有一個(gè)預(yù)定工作點(diǎn)即系統(tǒng)處 于某一平衡位置。,對(duì)于自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)或 隨動(dòng)系統(tǒng)，只要系統(tǒng)的工作狀態(tài)稍一偏 離此平衡位置，整個(gè)系統(tǒng)就會(huì)立即作出 反應(yīng)，并力圖恢復(fù)原來(lái)的位置。,系統(tǒng)各變量偏離預(yù)定工作點(diǎn)的偏差一般很小。,因此只要作為非線性函數(shù)的各變量在預(yù) 定工作點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)存在，那么 就可以在預(yù)定工作點(diǎn)處將系統(tǒng)的著一非 線性函數(shù)以其自變量的偏差形式展開(kāi)成 泰勒級(jí)數(shù)。,如果此偏差很小，則級(jí)數(shù)中 此偏差的高次項(xiàng)可以忽略只剩下一次項(xiàng)， 最后獲得此偏差為變量的線性函數(shù)。,例:單擺系統(tǒng),拉普拉斯變換,1.定義：設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t=0時(shí)有定義，而且積分,存在，則稱F(s)是f(t)的拉普拉斯變換。簡(jiǎn)稱拉氏變換,f(t)稱為 F(s)的拉氏逆變換。記為：,2.常用函數(shù)的拉氏變換：,3.拉氏變換的基本性質(zhì),(1)線性性質(zhì) 原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。,則