塑性加工過程CAE-02FEM基礎(chǔ).ppt

塑性加工過程CAE 板料沖壓成形CAE分析,鮑 益 東 南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院 航空宇航制造工程系,第三章 板料成形的有限元基礎(chǔ),3.1 序言 3.2 桿和梁單元 3.2 二維問題 3.3 有限元求解技術(shù) 3.4 板殼單元,3.1 序言,3.1.1 基本概念 3.1.2 矩陣代數(shù)的回顧 3.1.3 彈簧元,3.1 序言,有限元方法或有限元分析的基本思想就是將一個(gè)復(fù)雜的物體分解成許多易于處理的小片來處理。這種思路在日常生活和工程實(shí)際中經(jīng)常被使用。,3.1.1 基本概念,搭積木游戲,建筑,3.1.1 基本概念,圓面積的近似求解：,注意：一個(gè)復(fù)雜的連續(xù)的物體可以被許多小片（單元）來近似代替。,工程中有限元的應(yīng)用 機(jī)械、航空、土木、汽車工程 結(jié)構(gòu)分析（靜態(tài)/動(dòng)態(tài)、線性/非線性） 熱/液體流動(dòng) 電磁 地質(zhì)力學(xué) 生物力學(xué) ,齒輪式彈性軸接的模型,3.1.1 基本概念,有限元的簡要發(fā)展歷史 1943 Courant 1956 Tuner, Clough, Martin, Topp (Stiffness) 1960 Clough (“Finite Element” 平面問題) 1970s 在大型機(jī)上得到應(yīng)用 1980s 在微機(jī)上得到應(yīng)用，前后處理軟件 1990s 大型機(jī)構(gòu)系統(tǒng)分析,3.1.1 基本概念,3.1.1 基本概念,易拉罐的跌落測試,結(jié)構(gòu)分析中的有限元（過程） 將結(jié)構(gòu)體劃分成小片（單元，節(jié)點(diǎn)） 形成描繪物理特性的單元?jiǎng)偠?將單元組裝成一個(gè)整體結(jié)構(gòu)的近似方程組 求解已經(jīng)引入位置物理量（位移）的方程組 計(jì)算單元中用戶所關(guān)心的物理量（應(yīng)變，應(yīng)力）,3.1.1 基本概念,計(jì)算機(jī) 前處理（建立有限元模型，載荷和約束） 有限元求解器（組裝和求解系統(tǒng)方程） 后處理（顯示計(jì)算結(jié)果） 商業(yè)化有限元軟件包 ANSYS，NASTRAN，ALGOR(通用目的) ABAQUS(非線性動(dòng)力分析) PATRAN，HyperMesh(前后處理) LS-DYNA(碰撞動(dòng)力分析) DynaForm(前后處理) ,3.1.1 基本概念,本章有限元基礎(chǔ)課的目的 理解有限元分析的基本原理和思路 掌握本章中所涉及到的單元模型的推導(dǎo)和適用范圍 對一個(gè)給定的問題能夠建立適當(dāng)?shù)挠邢拊Ｐ?能夠解釋并評價(jià)有限元分析結(jié)果的優(yōu)劣（知道問題的物理意思） 明白有限元的局限性（不要錯(cuò)誤地應(yīng)用有限元數(shù)值工具）,3.1.1 基本概念,線性代數(shù)方程組系統(tǒng)： 矩陣形式： A稱為nn矩陣，x和b分別是n維的列向量,3.1.1 矩陣代數(shù)的回顧,矩陣的加法減法： 矩陣的乘法： 矩陣的轉(zhuǎn)置： 對稱矩陣： 單位矩陣：,3.1.1 矩陣代數(shù)的回顧,矩陣行列式的值： 奇異矩陣： 如果 det A =0，那么系統(tǒng)存在問題（非唯一解，發(fā)散等） 矩陣的逆：,3.1.1 矩陣代數(shù)的回顧,線性方程組系統(tǒng)的求解技術(shù)： 高斯消去法 迭代法 正定矩陣： 對于所有非零向量X，有XTAX0，A為正定矩陣 正定矩陣為非奇異矩陣 矩陣的導(dǎo)數(shù)和積分：,3.1.1 矩陣代數(shù)的回顧,彈簧元：,3.1.3 彈簧單元,考慮彈簧元的力的平衡條件： 節(jié)點(diǎn)i： 節(jié)點(diǎn)j： 矩陣形式： 注意：K為對稱矩陣，K是非奇異的還是奇異的？,3.1.3 彈簧單元,彈簧元系統(tǒng)： 單元1： 單元2：,3.1.3 彈簧單元,對整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行單元?jiǎng)偠染仃嚨慕M裝： 考慮節(jié)點(diǎn)力的平衡條件： 節(jié)點(diǎn)1： 節(jié)點(diǎn)2： 節(jié)點(diǎn)3： 矩陣形式： K為該彈簧系統(tǒng)的剛度矩陣（結(jié)構(gòu)矩陣）,3.1.3 彈簧單元,單元?jiǎng)偠染仃嚵硪环N組裝方法： 分別擴(kuò)大單元1和2的剛度矩陣 這與根據(jù)節(jié)點(diǎn)力平衡得出的矩陣是一樣的。,3.1.3 彈簧單元,引入邊界條件和力的條件： 假設(shè)u1=0，F(xiàn)2=F3=P，那么 未知量為： u2，u3和F1 求解方程可得：,3.1.3 彈簧單元,檢查計(jì)算結(jié)果： 結(jié)構(gòu)變形后的形狀 外力平衡 有關(guān)彈簧元的注意事項(xiàng)： 適于剛度分析的計(jì)算 不適合用于彈簧本身的應(yīng)力分析計(jì)算 在彈簧元的橫向是否具有剛度，彈簧元是否具有扭轉(zhuǎn)剛度,3.1.3 彈簧單元,例子1： 已知： 求： (a) 整體剛度矩陣 (b) 節(jié)點(diǎn)2和3的位移 (c) 節(jié)點(diǎn)1和4的支反力 (d) 彈簧2的力,3.1.3 彈簧單元,（a）問：分別求出單元?jiǎng)偠染仃嚕?單元1： 單元2： 單元3： 組裝后：,3.1.3 彈簧單元,組裝后： 注意到整體剛度矩陣是對稱并帶狀分布的。 該系統(tǒng)的平衡方程為：,3.1.3 彈簧單元,（b）問： 將邊界條件（u1=u4=0）應(yīng)用到平衡方程中，去掉1行1列，4行4列后： 求解得： （c）問： 從平衡方程組中的1和4可得：,3.1.3 彈簧單元,（d）問： 彈簧元2的平衡方程為： 式中i=2，j=3，可以計(jì)算出彈簧力為：,3.1.3 彈簧單元,例子2： 問題描述：對上述一個(gè)具有任意彈簧元節(jié)點(diǎn)和單元的系統(tǒng)，求其整體剛度矩陣。,3.1.3 彈簧單元,單元拓?fù)潢P(guān)系： 上表中為每個(gè)彈簧元的局部節(jié)點(diǎn)號和整體節(jié)點(diǎn)號的對應(yīng)關(guān)系。 然后依次求出每個(gè)彈簧元的剛度矩陣：,3.1.3 彈簧單元,組裝后： 整體剛度矩陣是對稱并帶狀分布的。,3.1.3 彈簧單元,3.2 桿和梁單元,3.2.1 線性靜力分析 3.2.2 桿單元 3.2.3 梁單元,大部分結(jié)構(gòu)分析問題都可以看作是線性靜力分析問題，它們都基于以下假設(shè)： 1. 小變形（加載方式不會因?yàn)樽冃味淖儯?2. 線彈性材料（不存在塑性和破裂） 3. 靜力載荷（在結(jié)構(gòu)上的載荷是慢速平穩(wěn)地施加上去的） 線性靜力分析可以解決結(jié)構(gòu)分析問題中大部分的問題，對于大多數(shù)的結(jié)構(gòu)分析問題，靜力分析可以得到一個(gè)近似的結(jié)果。 線性靜力分析是非線性分析的基礎(chǔ)。,3.2.1 線性靜力分析,桿單元：,3.2.2 桿單元,剛度矩陣直接法： 假設(shè)位移u沿著桿的軸向線性分布： K即為桿單元的剛度系數(shù)，桿單元和彈簧元類似。,3.2.2 桿單元,單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?單元的平衡方程組為： 節(jié)點(diǎn)自由度： 對一維的桿單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)就只有一個(gè)自由度 剛度矩陣K中系數(shù)的物理意義： K中第j列的系數(shù)表示在節(jié)點(diǎn)j施加單位位移而其他節(jié)點(diǎn)固定不動(dòng)的時(shí)候，桿上所承受的力。,3.2.2 桿單元,剛度矩陣正規(guī)推導(dǎo)方法： 定義兩個(gè)形函數(shù)： 位移u沿著桿的軸向線性分布： 可得應(yīng)變?yōu)椋?B為單元的應(yīng)變-位移矩陣：,3.2.2 桿單元,單元應(yīng)力為： 桿單元上的應(yīng)變能為： 桿單元2個(gè)節(jié)點(diǎn)所做的功為： 對于保守系統(tǒng)，U = W ，故有：,3.2.2 桿單元,上式等價(jià)于： 其中k即為單元?jiǎng)偠染仃?上述方法就是正規(guī)的推導(dǎo)過程，該方法也可以用來推導(dǎo)其他類型的單元?jiǎng)偠染仃嚒?單元?jiǎng)偠染仃囈部梢酝ㄟ^其他嚴(yán)格的方法獲得，比如最小勢能原理，伽遼金方法等。 于是我們可以得到桿單元的剛度矩陣： 上式結(jié)果和直接法的結(jié)果一樣。,3.2.2 桿單元,例子： 問題描述：在節(jié)點(diǎn)2處施加F，求桿1和桿2上的應(yīng)力。 求解方法：用1-D桿單元。 單元1和單元2的剛度矩陣分別為： 假設(shè)在節(jié)點(diǎn)2處是用一個(gè)無摩擦的鉸鏈將桿1和桿2所連接。,3.2.2 桿單元,組裝后： 載荷和邊界條件為： 刪除第1行第1列和第3行第3列后得：,3.2.2 桿單元,最后可以得到單元1內(nèi)的應(yīng)力： 同理，可以得到單元2內(nèi)的應(yīng)力： 負(fù)號表示單元2所受的是壓應(yīng)力。,3.2.2 桿單元,注意： 1 ) 在這個(gè)例子中，根據(jù)一維線性理論所計(jì)算出來的單元1和2中的應(yīng)力是精確解，所以如果我們將單元細(xì)化不會提高精度。 2 ) 如果對于階梯桿結(jié)構(gòu)，其中的A要采用橫截面的平均面積。 3 ) 為了得到單元1和2中的應(yīng)力，我們首先要得到節(jié)點(diǎn)的位移，因?yàn)椴捎玫幕谖灰茍龅挠邢拊ā?3.2.2 桿單元,二維空間上的桿單元： 注意：在線彈性理論的前提下，橫向位移 對桿單元的拉伸沒有貢獻(xiàn)。,3.2.2 桿單元,坐標(biāo)變換： 矩陣形式：,3.2.2 桿單元,對于2個(gè)節(jié)點(diǎn)的桿單元有： 節(jié)點(diǎn)力也采用相同的變換方法： 二維空間下的局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣：,3.2.2 桿單元,擴(kuò)大后： 矩陣形式： K為整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣,3.2.2 桿單元,K的顯式表達(dá)式為： 單元應(yīng)力：,3.2.2 桿單元,三維空間上的桿單元： 先在局部坐標(biāo)系下求出單元?jiǎng)偠染仃?，然后再轉(zhuǎn)換并組裝到整體坐標(biāo)系下進(jìn)行計(jì)算。,3.2.2 桿單元,簡單的平面梁單元： 基本的梁理論：,3.2.3 梁單元,3.3 二維問題,3.3.1 基本理論回顧 3.3.2 二維問題的有限元,應(yīng)力和應(yīng)變： 在特定的條件下，應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)可以簡化，因此，一般的三維問題可以簡化成二維問題來分析,3.3.1 基本理論回顧,平面應(yīng)力： 平面應(yīng)變：,3.3.1 基本理論回顧,本構(gòu)關(guān)系（平面應(yīng)力）： 本構(gòu)關(guān)系（平面應(yīng)變）：,3.3.1 基本理論回顧,應(yīng)變與位移的關(guān)系： 邊界條件：,3.3.1 基本理論回顧,常應(yīng)變單元（CST or T3） 位移函數(shù)：,3.3.2 二維問題的有限元,位移插值函數(shù)：,3.3.2 二維問題的有限元,應(yīng)變： CST單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?t為單元厚度，k為一個(gè)66的對稱矩陣。,3.3.2 二維問題的有限元,雙線性四邊形單元（Q4） 位移函數(shù)：,3.3.2 二維問題的有限元,例子：,3.3.2 二維問題的有限元,網(wǎng)格劃分：,3.3.2 二維問題的有限元,計(jì)算結(jié)果：,3.3.2 二維問題的有限元,載荷的變換： 集中力(點(diǎn)載荷)，面力(壓力載荷)，體力(重力)為三種主要的外載荷。 面力和體力都需要經(jīng)過變換以后才能加到有限元中。 變換的基本思想就是：等效功。,3.3.2 二維問題的有限元,其中，t為單元厚度，L為單元邊長，un為垂直于邊界AB的位移分量。 對于Q4單元來說，有：,3.3.2 二維問題的有限元,應(yīng)力計(jì)算： 單元內(nèi)的應(yīng)力計(jì)算公式為： B為應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系矩陣，d為計(jì)算后的節(jié)點(diǎn)位移向量。 我們可以計(jì)算出單元內(nèi)部任意一點(diǎn)的應(yīng)力，包括單元中心和節(jié)點(diǎn)位置。 應(yīng)力分布的等值線可以通過后處理軟件顯示出來。,3.3.2 二維問題的有限元,討論： 1）需要了解每個(gè)單元類型的特性： T3和Q4：線性位移，常量應(yīng)變和應(yīng)力 T6和Q8：二次位移，線性的應(yīng)變和應(yīng)力 2）對于一個(gè)特定的問題選擇一種合適的單元 毫無疑問，應(yīng)該盡可能地采用高階單元和細(xì)網(wǎng)格。 3）要避免單元具有大形狀比和尖角：,3.3.2 二維問題的有限元,討論： 4）單元之間要互相連通： 在有限元模型中不能存在間隙或自由單元。,3.3.2 二維問題的有限元,3.3 有限元求解技術(shù),3.3.1 方程組求解 3.3.2 有限元方法的實(shí)質(zhì) 3.3.3 數(shù)值誤差 3.3.4 有限元求解的收斂性,直接法（高斯消去法）： 求解時(shí)間是和NB2成正比（N為矩陣的維數(shù)，B為矩陣的帶寬） 適合小到中等規(guī)模的問題，小帶寬的問題。 對于多重載荷的情況，容易處理。 迭代法： 求解時(shí)間事先不可預(yù)知 降低對存儲空間的要求 適合大型規(guī)模問題的求解（帶寬可以很大，收斂快） 對于不同載荷的工況需要重新求解。,3.3.1 方程組求解,高斯消去法例子： 回代求解：,3.3.1 方程組求解,迭代法（高斯-賽德爾）例子： 從一個(gè)初始解X(0)開始按照以下公式計(jì)算： 一直到X滿足以下條件，迭代終止。 其中為收斂控制的容忍誤差。,3.3.1 方程組求解,有限元模型是基于很多近似以后對實(shí)際結(jié)構(gòu)的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。 實(shí)際結(jié)構(gòu)具有無限個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以具有無限個(gè)自由度。 有限元模型具有有限個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以具有有限個(gè)自由度。 位移場是被有限個(gè)節(jié)點(diǎn)位移的值所控制的：,3.3.2 有限元方法的實(shí)質(zhì),剛度效果： 有限元模型比實(shí)際結(jié)構(gòu)要更剛一些。 一般來說，位移解要比實(shí)際情況偏小一些。 所以，有限元計(jì)算的位移是精確解的一個(gè)下限：,3.3.2 有限元方法的實(shí)質(zhì),誤差錯(cuò)誤（模型和計(jì)算）。 誤差的類型： 模型誤差（梁，板，理論） 離散誤差（有限，分段， ） 數(shù)值誤差（在求解有限元方程組的時(shí)候） 例子（數(shù)值誤差）：,3.3.3 數(shù)值誤差,有限元方程組為： 如果K2 K1的話，方程組是奇異的，病態(tài)的：,3.3.3 數(shù)值誤差,如果K2 K1的話，方程組是非病態(tài)的： 在有限元模型中不同部分的剛度相差很大的話有可能導(dǎo)致有限元方程組的病態(tài)，產(chǎn)生很大的誤差。 病態(tài)方程組的情況下，很小的輸入變化量（右端項(xiàng)向量）求解時(shí)會引起很大的變化量。,3.3.3 數(shù)值誤差,隨著有限元模型中的網(wǎng)格不斷地被加密和細(xì)化，有限元的計(jì)算結(jié)果將收斂于被求解的問題的數(shù)學(xué)模型的精確解。 有限元網(wǎng)格自適應(yīng)類型： h-refinement: 減小單元尺寸（h指單元的尺寸）。 p-refinement: 增加單元多項(xiàng)式插值函數(shù)的階次（p指更高階次的多項(xiàng)式插值函數(shù)）。 r-refinement: 重新劃分有限元網(wǎng)格。 hp-refinement: h方法和p方法互相結(jié)合的方法。,3.3.4 有限元求解的收斂性,網(wǎng)格自適應(yīng)類型例子：,3.3.4 有限元求解的收斂性,網(wǎng)格自適應(yīng)類型例子：,3.3.4 有限元求解的收斂性,網(wǎng)格自適應(yīng)類型例子：,3.3.4 有限元求解的收斂性,3.4 板殼單元,3.4.1 板理論 3.4.2 板單元 3.4.3 殼和殼單元,板理論： 平板 橫向加載 彎曲效應(yīng)為主 注意： 應(yīng)用范圍： 剪力墻 地板 架子等,3.4.1 板理論,板單元的力和彎矩： 應(yīng)力：,3.4.1 板理論,板單元的力和應(yīng)力之間的關(guān)系： 單位長度的彎矩： 單位長度的扭矩： 單位長度的剪力： 最大彎曲應(yīng)力： 最大彎曲應(yīng)力總是在 在中性層沒有彎曲應(yīng)力（與梁單元類似）,3.4.1 板理論,薄板理論（Kichhoff 板理論）： 直法線假設(shè)（與梁單元類似）： 與中性層垂直的直法線在變形后仍然與中性層保持垂直，也就是說沒有剪切變形： 位移：,3.4.1 板理論,應(yīng)變： 注意：在中性層沒有拉伸變形。 應(yīng)力（平面應(yīng)力）： 剪力和彎矩：,3.4.1 板理論,厚板理論（Mindlin 板理論）： 如果板厚不夠薄，即 t/L 1/10，應(yīng)該采用厚板理論。 直線假設(shè)：該理論認(rèn)為在變形過程中截面角度發(fā)生改變，即： 與中性層垂直的直線在變形后與中性層不再保持垂直，但仍然是直線。,3.4.1 板理論,新的獨(dú)立變量： x和y ：分別為直線沿x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角度，變形前該直線與中性層垂直。 新的關(guān)系： 注意：如果我們引入以下條件，厚板理論又可以退化成薄板理論。,3.4.1 板理論,Kichhoff 板單元： 四節(jié)點(diǎn)四邊形單元 每個(gè)節(jié)點(diǎn)的自由度： 每個(gè)單元的z方向的位移為：,3.4.2 板單元,Kichhoff 板單元是一種不協(xié)調(diào)單元，但是其剛度矩陣仍舊可以寫成： B為