2018屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)階段提升突破練四理新人教A版.doc

階段提升突破練(四)(立體幾何)(60分鐘100分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直線l.若直線m，n滿足m，n，則()A.mlB.mnC.nlD.mn【解題導(dǎo)引】根據(jù)線、面垂直的定義判斷.【解析】選C.由題意知，=l，所以l，因?yàn)閚，所以nl.2.(2017長(zhǎng)沙二模)如圖是一個(gè)四面體的三視圖，這個(gè)三視圖均是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，正視圖和俯視圖中的虛線是三角形的中線，則該四面體的體積為()A.B.C.D.2【解析】選A.由四面體的三視圖得該四面體為棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-BDE，其中點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，BDE面積S=1，三棱錐C1-BDE的高h(yuǎn)=CC1=2，所以該四面體的體積：V=Sh=.3.(2017全國(guó)卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A.10B.12C.14D.16【解題導(dǎo)引】主要考查如何將三視圖轉(zhuǎn)化為幾何體問題，突出考查考生的空間想象能力.【解析】選B.由三視圖可畫出立體圖，該立體圖各面中只有兩個(gè)相同的梯形的面，S梯=22=6，S全梯=62=12.【加固練習(xí)】(2017黃岡模擬)某一簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的外接球的表面積是()A.13B.16C.25D.27【解析】選C.幾何體為底面為正方形的長(zhǎng)方體，底面對(duì)角線為4，高為3，所以長(zhǎng)方體底面邊長(zhǎng)為2，則長(zhǎng)方體外接球半徑為r，則2r=5，所以r=，所以長(zhǎng)方體外接球的表面積S=4r2=25.4.(2017合肥二模)若平面截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面平行的棱有()A.0條B.1條C.2條D.1條或2條【解析】選C.如圖所示，四邊形EFGH為平行四邊形，則EFGH，因?yàn)镋F平面BCD，GH平面BCD，所以EF平面BCD，因?yàn)镋F平面ACD，平面BCD平面ACD=CD，所以EFCD，所以CD平面EFGH，同理AB平面EFGH.5.(2017昆明一模)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，則異面直線BC1與PD所成角等于()A.30B.45C.60D.90【解題導(dǎo)引】根據(jù)題意，取CD的中點(diǎn)Q，連接BQ，C1Q，得出BQPD，C1BQ是異面直線BC1與PD所成角(或其補(bǔ)角)，利用等邊三角形求出C1BQ的值即可.【解析】選C.長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，取CD的中點(diǎn)Q，連接BQ，C1Q，因?yàn)辄c(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，所以BQPD，所以C1BQ是異面直線BC1與PD所成角(或其補(bǔ)角)，如圖所示：在C1BQ中，C1B=BQ=C1Q=，所以C1BQ=60，即異面直線BC1與PD所成角等于60.6.(2017全國(guó)卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC【解析】選C.以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則A1(2，0，2)，E(0，1，0)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，C1(0，2，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，=(-2，1，-2)，=(0，2，2)，=(-2，-2，0)，=(-2，0，2)，=(-2，2，0)，因?yàn)?-2，=2，=0，=6，所以A1EBC1.7.(2017洛陽(yáng)二模)一個(gè)透明密閉的正方體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方體，則水面在容器中的形狀可以是：(1)三角形；(2)四邊形；(3)五邊形；(4)六邊形.其中正確的結(jié)論是()A.(1)(3)B.(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)【解析】選B.正方體容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其水面總是過正方體的中心.三角形截面不過正方體的中心，故(1)不正確；過正方體的一對(duì)棱和中心可作一截面，截面形狀為長(zhǎng)方形，故(2)正確；正方體容器中盛有一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方體，則水面在容器中的形狀不可能是五邊形，故(3)不正確；過正方體一面上相鄰兩邊的中點(diǎn)以及正方體的中心得截面形狀為正六邊形，故(4)正確.8.如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為6的正方體，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF.當(dāng)A1，E，F(xiàn)，C1共面時(shí)，平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角的余弦值為()A.B.C.D.【解析】選B.以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A1(6，0，6)，D(0，0，0)，C1(0，6，6)，由題意知：當(dāng)E(6，3，0)，F(xiàn)(3，6，0)時(shí)，A1，E，F(xiàn)，C1共面，設(shè)平面A1DE的法向量為n=(a，b，c)，=(6，0，6)，=(6，3，0)，則取a=1，得n=(1，-2，-1)，設(shè)平面C1DF的一個(gè)法向量為m=(x，y，z)，=(0，6，6)，=(3，6，0)，則取x=2，得m=(2，-1，1)，設(shè)平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角為，則cos=，所以平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角的余弦值為.二、填空題(每小題5分，共20分)9.(2017山東高考)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_.【解析】由三視圖可知長(zhǎng)方體的體積為V1=211=2，兩個(gè)四分之一圓柱的體積之和為V2=1212=，所以該幾何體的體積為V=2+.答案：2+【加固訓(xùn)練】(2017大慶二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為_.【解析】由三視圖可知：該幾何體為三棱錐P-ABC，其中底面是底邊與底邊上的高都為2的等腰三角形ABC，側(cè)面PAC底面ABC，高為2.所以這個(gè)幾何體的體積V=222=.答案：10.(2017全國(guó)卷)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為_.【解析】取SC的中點(diǎn)O，連接OA，OB，因?yàn)镾A=AC，SB=BC，所以O(shè)ASC，OBSC.因?yàn)槠矫鍿AC平面SBC，所以O(shè)A平面SBC.設(shè)OA=r，VA-SBC=SSBCOA=2rrr=r3，所以r3=9r=3，所以球的表面積為4r2=36.答案：3611.(2017本溪二模)已知a，b表示兩條不同直線，表示三個(gè)不同平面，給出下列命題：若=a，b，ab，則；若a，a垂直于內(nèi)的任意一條直線，則；若，=a，=b，則ab；若a不垂直于平面，則a不可能垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線；若a，a，則.上述五個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_.【解析】對(duì)于，根據(jù)線面垂直的判定定理，需要一條直線垂直于同一平面內(nèi)兩條相交的直線，故ab，a不一定垂直平面，故不正確，對(duì)于，a，a垂直于內(nèi)的任意一條直線，滿足線面垂直的定理，即可得到a，又a，則，故正確，對(duì)于，=a，=b，則ab或ab，或相交，故不正確，對(duì)于，若a不垂直于平面，則a可能垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，故不正確，對(duì)于，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，若a，a，則，故正確.答案：12.如圖，PA平面ABC，ACBC，PA=AC=1，BC=，則二面角A-PB-C的余弦值大小為_.【解析】以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳(1，0，0)，B(0，0)，C(0，0，0)，P(1，0，1)，所以=(0，0，1)，=(-1，-1)，=(0，0)，設(shè)平面APB的法向量為n1=(x1，y1，z1)，平面PBC的法向量為n2=(x2，y2，z2)，則所以可取n1=(2，0)，n2=(-1，0，1)，所以cos=-，所以二面角A-PB-C的余弦值為.答案：三、解答題(每小題10分，共40分)13. (2017江蘇高考)如圖，在三棱錐A-BCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC.(2)ADAC.【解題導(dǎo)引】(1)利用ABEF及線面平行判定定理可得結(jié)論.(2)利用面面垂直的性質(zhì)得BCAD，又ABAD，從而得到AD平面ABC，即可得ADAC.【證明】(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳BAD，EFAD，所以EFAB.又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD，所以BCAD.又因?yàn)锳BAD，BCAB=B，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，所以ADAC.14.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中點(diǎn).(1)求證：平面EAC平面PBC.(2)若二面角P-AC-E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.【解析】(1)因?yàn)镻C平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPC，因?yàn)锳B=2，AD=CD=1，ADC=90，所以AC=BC=，所以AC2+BC2=AB2，所以ACBC.又因?yàn)锽CPC=C，所以AC平面PBC，因?yàn)锳C平面EAC，所以平面EAC平面PBC.(2)如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，-1，0).設(shè)P(0，0，a)(a0)，則E，=(1，1，0)，=(0，0，a)，=，取m=(1，-1，0)，則m=m=0，m為平面PAC的一個(gè)法向量.設(shè)n=(x，y，z)為平面EAC的一個(gè)法向量，則n=n=0，即取x=a，y=-a，z=-2，則n=(a，-a，-2)，依題意，|cos|=，則a=1.于是n=(1，-1，-2)，=(1，1，-1).設(shè)直線PA與平面EAC所成角為，則sin=|cos|=，即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.【加固訓(xùn)練】1.如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，AS=AB.過點(diǎn)A作AFSB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn).求證：(1)平面EFG平面ABC.(2)BCSA.【證明】(1)因?yàn)锳S=AB，AFSB，垂足為F，所以點(diǎn)F是SB的中點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)E是SA的中點(diǎn)，所以EFAB.因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又因?yàn)镋FEG=E，所以平面EFG平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍿AB平面SBC，且交線為SB，又因?yàn)锳F平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因?yàn)锽C平面SBC，所以AFBC.又因?yàn)锳BBC，AFAB=A，AF平面SAB，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因?yàn)镾A平面SAB，所以BCSA.2.如圖所示，已知PA平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AD，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)，求證：(1)MN平面PAD.(2)平面PMC平面PDC.【證明】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=AD=a，AB=b.(1)易知為平面PAD的一個(gè)法向量，=(b，0，0).又因?yàn)?，所以=0，所以.又因?yàn)镸N平面PAD，所以MN平面PAD.(2)由(1)知P(0，0，a)，C(b，a，0)，M，D(0，a，0)，所以=(b，a，-a)，=，=(0，a，-a)，設(shè)平面PMC的一個(gè)法向量為n1=(x1，y1，z1)，由即所以令z1=b，則n1=(2a，-b，b)，設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n2=(x2，y2，z2)，則即解得令z2=1，則n2=(0，1，1)，由于n1n2=0-b+b=0，所以n1n2，所以平面PMC平面PDC.15.如圖，在四棱錐A-EFCB中，AEF為等邊三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O為EF的中點(diǎn).(1)求證：AOBE.(2)求二面角F-AE-B的余弦值.【解題導(dǎo)引】(1)要證AOEB，只需證明AO平面EBCF.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角余弦值.【解析】(1)因?yàn)锳EF是等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，所以AOEF.又因?yàn)槠矫鍭EF平面EFCB，交線EF，AO平面AEF，所以AO平面EBCF.因?yàn)锽E平面EBCF，所以AOBE.(2)取BC的中點(diǎn)D，連接OD.如圖分別以O(shè)E，OD，OA為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，a)，E(a，0，0)，B(2，2-a，0)，=(a，0，-a)，=(2，2-a，-a)，設(shè)平面ABE的法向量n1=(x，y，z)，則令z=1，得所以n1=(，-1，1).平面AEF的法向量n2=(0，1，0).所以cos=-.因?yàn)槎娼荈-AE-B為鈍二面角，所以余弦值為-.16.如圖(1)，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2，現(xiàn)將梯形沿CB，DA折起，使EFAB且EF=2AB，得一簡(jiǎn)單組合體ABCDEF如圖(2)所示，已知M，N分別為AF，BD的中點(diǎn). (1)求證：MN平面BCF.(2)若直線DE與平面ABFE所成角的正切值為，則求平面CDEF與平面ADE所成的銳二面角大小.【解析】(1)連接AC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，N為BD中點(diǎn)，所以N為AC中點(diǎn).在ACF中，M為AF中點(diǎn)，故MNCF.因?yàn)镃F平面BCF，MN平面BCF，所以MN平面BCF.(2)依題意知DAAB，DAAE且ABA