導數(shù)的應用.ppsVIP

一元微積分學,大 學 數(shù) 學（一）,第一講 一元微積分的應用(一),函數(shù)的單調(diào)性、極值,第六章 一元微積分的應用,本章學習要求： 熟練掌握求函數(shù)的極值、最大最小值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷函數(shù)的凸凹性以及求函數(shù)拐點的方法。 能運用函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性證明不等式。 掌握建立與導數(shù)和微分有關(guān)的數(shù)學模型的方法。能熟練求解相關(guān)變化率和最大、最小值的應用問題。 知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。 掌握建立與定積分有關(guān)的數(shù)學模型的方法。 熟練掌握“微分元素法”，能熟練運用定積分表達和計算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧長、變力作功、液體的壓力等。 能利用定積分定義式計算一些極限。,第六章 一元微積分的應用,第一、二節(jié) 運用導數(shù)研究函數(shù),一、導數(shù)的簡單應用,二、函數(shù)的單調(diào)性,三、函數(shù)極值,四、函數(shù)的最大值、最小值,五、函數(shù)的凹凸性,一、導數(shù)的簡單應用,1. 導數(shù)在幾何中的簡單應用,在某點處的切線方程和法線方程 .,(2) 求兩條相交的曲線在交點處的交角 .,(1) 求物體運動的速度、加速度或變量的變化率 .,(2) 求變量間的相關(guān)變化率 .,2. 導數(shù)在物理學中的簡單應用,解,解,解,解,在實際問題中，往往是同時出現(xiàn)幾個變量. 變量 之間有確定的關(guān)系，并且它們都是另外某一個變量的 函數(shù)( 例如，都是時間 t 的函數(shù). ) 從它們對這另一個 變量的變化率之間的關(guān)系出發(fā)，由已知的一個或幾個 變量的變化率求出一個變量的未知的變化率，就是所 謂的相關(guān)變化率問題.,解,解,解,下面我們運用函數(shù)的導數(shù)(微分)來研究函數(shù)的有關(guān) 性質(zhì)：單調(diào)性、凹凸性、極值等，并研究如何作出函數(shù) 的圖形.,由拉格朗日中值定理的推論我們已經(jīng)知道:,二、函數(shù)的單調(diào)性,觀察下面的圖形, 你能得出什么結(jié)論？,綜上所述, 可知:,提供了判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,解,三、函數(shù)的極值,函數(shù)的極值是個局部性的概念.,我們已經(jīng)知道的與函數(shù)極值有關(guān)的定理和公式:,定理,費 馬 Pierre de Fermat (16011665),費馬，法國數(shù)學家. 出身于一個商人 家庭. 他的祖父、父親、叔父都從商. 他 的父親是當?shù)氐牡诙?zhí)政官, 經(jīng)辦著一個 生意興隆的皮革商店. 費馬畢業(yè)于法國奧爾良大學，以律師 為職. 曾任圖盧茲議會會員, 享有長袍貴 族特權(quán). 精通 6 種語言. 業(yè)余愛好數(shù)學并 在數(shù)論、幾何、概率論、微積分等領(lǐng)域內(nèi) 作出了創(chuàng)造性的工作.,費馬大定理被稱為“會下金蛋的母雞” .,首先考察下列函數(shù)的圖形:,判別函數(shù)的極值點, 主要是判別極值可疑點左、右,對于可微函數(shù)將歸結(jié)于判別函數(shù)的導數(shù)的符號.,兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性.,(單調(diào)增加),(單調(diào)減少),(單調(diào)減少),(單調(diào)增加),定理,由定理中 (1) 的條件, 得,由定理中(2) 的條件, 得,看這一部分,此時應另找其他方法.,高階的泰勒展開式？,定理,列表討論單調(diào)性, 判別極值:,解,極小,極小,極大,解,解,首先看看函數(shù)的圖形.,由圖形可知:,不是函數(shù)的極值點.,問題在于如何進行解析描述.,我們再看一下泰勒公式：,就是說：,綜上所述,定理,在工程技術(shù)和生產(chǎn)實踐中, 常常需要考慮,在一定條件下, 怎樣才能使用料最少、費用最,省, 而效率和效益最高等問題. 這些問題反映,到數(shù)學上就是最優(yōu)化問題.,優(yōu)化技術(shù)應用價值很大,四、函數(shù)的最大、最小值,怎樣求函數(shù)在一個區(qū)間上 的最大、最小值呢？,溫故而知新,最小值 , 只要先求出函數(shù),一切極值可疑點 ( 駐點和一階導數(shù)不存在的,點), 然后比較極值可疑點的函數(shù)值及區(qū)間端,點函數(shù)值 , 其中最大者就是函數(shù),最小者就是函數(shù),求最值的幾個特殊情況,極大(小)值點 , 則該點就是函數(shù)的最大(小)值點 .,實際判斷原則,計算函數(shù)值:,( 端點值 ),解,沒有什么新的東西,設(shè)容積(體積)為 V , 半徑為 r , 高為 h .,用料最省即指容器的表面積 A 最小.,應用題,解,又 A 的最小值一定存在 ,故當要求的容器的容積為 A 時 , 選擇半徑,某出版社出版一種書, 印刷 x 冊所需,成本為,每冊售價 p 與,假設(shè)書可全部售出, 問應將價格 p 定為多,少才能使出版社獲利最大？,由經(jīng)驗公式, 得,于是,得唯一極值可疑點,解,即為 Q 的最大點 .,從而應將價格 p 定為,此時最大獲利為,將一根直徑為 d 的圓木鋸成截面為矩形的梁.,問應如何選擇矩形截面的高 h 和寬 b才能使梁的抗,彎截面模量 W 最大？,由力學知識, 梁的抗彎截面模量為,由右圖可以看出：,解,問題歸結(jié)為求函數(shù) W 的最大值：,由于梁的最大抗彎截面模