2025年湖南省中考數(shù)學模擬試卷（二）

第1頁（共1頁）2025年湖南省中考數(shù)學模擬試卷（二）一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列實數(shù)是無理數(shù)的是（）A． B． C． D．3.142．（3分）若a，b是正整數(shù)，且滿足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，則下列a與b的關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)+1＝3b C．a(chǎn)+1＝b3 D．3a＝b33．（3分）如圖，平面鏡MN放置在水平地面CD上，墻面PD⊥CD于點D，一束光線AO照射到鏡面MN上，反射光線為OB，點B在PD上，若∠OBD＝55°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．45° D．55°4．（3分）計算的結(jié)果是（）A．4 B． C． D．165．（3分）代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．6．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點P，作射線BP，交AD于點G，交CD的延長線于點H．若AB＝AG，GD＝5，CH＝9，則AB的長為（）A．3 B．4 C．5 D．67．（3分）某班25名學生參加一分鐘跳繩測試，成績（單位：次）如表：成績171及以下172173174175及以上人數(shù)27862則本次測試成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．172和172 B．172和173 C．173和172 D．173和1738．（3分）如圖是我國清代康熙年間八角青花碗，其輪廓是一個正八邊形，若正八邊形的邊長為4cm，對角線AB、CD相交于點E．則線段AB的長為（）A． B． C． D．129．（3分）小穎在國際龍舟競渡中心廣場點P處觀看200米直道競速賽．如圖所示，賽道AB為東西方向，賽道起點A位于點P的北偏西30°方向上，終點B位于點P的北偏東60°方向上，AB＝200米，則點P到賽道AB的距離約為（）（參考數(shù)據(jù)：）．A．85.5米 B．86.6米 C．87.5米 D．88.5米10．（3分）已知直線y＝m與拋物線y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）和直線y＝﹣2x﹣4交于點A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m）三點．設(shè)n＝x1+x2+x3，則m，n滿足的關(guān)系是（）A．m+2n＝4 B．2m+n＝4 C．2m﹣n＝4 D．m﹣2n＝4二、填空題（本題共8小題，每小題3分，計24分）11．（3分）分解因式：x3﹣9x＝．12．（3分）3月8日晚間，據(jù)燈塔專業(yè)版數(shù)據(jù)，《哪吒2》全球票房（含預售及海外）已超148億元，148億用科學記數(shù)法表示為．13．（3分）分式方程2的解為x＝．14．（3分）已知關(guān)于x的方程的一個根為x＝2，則另一個根為．15．（3分）如圖，將一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點分別放在直尺的兩條平行對邊上，若∠α＝75°，則∠β＝．16．（3分）在中國歷法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，它們經(jīng)常和其它漢字來搭配命名，如化學中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如圖為有機物甲烷、乙烷、丙烷的分子結(jié)構(gòu)圖，請你依照規(guī)律，推測出壬烷中“H”的個數(shù)為．17．（3分）如圖，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，點B′恰好落在斜邊AC的中點上，連接A′B，若BC＝2，則A′B的長為．18．（6分）如圖是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形ABCD．連接AQ，BP，CN，DM．若正方形ABCD的面積為2a，陰影部分的面積為2b．則CP＝；CQ＝．（以上均用含a，b的代數(shù)式表示）三、解答題（本大題共8個小題，第19-20題每小題6分，第21-22題每小題6分，第23-24題每小題6分，第25-26題每小題6分，共66分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．（6分）化簡求值：（2a﹣b）2﹣4a（a﹣b）+2ab，其中a＝1，b＝﹣3．20．（6分）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別為CD、AD邊上的點．（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得AE＝CF，你添加的條件是；（2）添加了條件后，證明AE＝CF．21．（8分）為了解學生一周勞動情況，我市某校隨機調(diào)查了部分學生的一周累計勞動時間，將他們一周累計勞動時間t（單位：h）劃分為A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4，D：t≥4四個組，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：（1）這次抽樣調(diào)查共抽取人，條形統(tǒng)計圖中的m＝；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求B組所在扇形圓心角的度數(shù)，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）已知該校有960名學生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請你估計該校一周累計勞動時間達到3小時及3小時以上的學生共有多少人？（4）學校準備從一周累計勞動時間較長的兩男兩女四名學生中，隨機抽取兩名學生為全校學生介紹勞動體會，請用列表法或畫樹狀圖法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．22．（8分）如圖，點A，C分別是反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y＝k2x的圖象的交點．其中點A的坐標為（﹣1，3）．過點A作AB⊥y軸于點B，過點C作CD⊥y軸于點D，連接AD，BC．（1）求反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式；（2）寫出C點的坐標，并求四邊形ABCD的面積；（3）請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．23．（9分）電影《哪吒2》成為首部登頂動畫票房榜榜首的亞洲電影，與之相關(guān)的周邊衍生品也在市場上熱銷起來，哪吒系列手辦盲盒擺件和雕像模型擺件深受游客喜愛，某經(jīng)銷商計劃同時購進哪吒系列手辦盲盒擺件和雕像模型擺件兩種玩具．據(jù)了解，16個手辦盲盒擺件和10個雕像模型擺件的進價共計1600元；24個手辦盲盒擺件和20個雕像模型擺件的進價共計2800元．（1）求購進一個哪吒系列手辦盲盒擺件和一個雕像模型擺件各需多少元？（2）為滿足顧客需求，經(jīng)銷商從廠家一次性購進手辦盲盒擺件和雕像模型擺件共200個，要求購買的總費用不超過12400元，求最多可以購買雕像模型擺件多少個？24．（9分）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠C＝90°，AB＝4，點D是⊙O上一點，連接AD，BD，延長BD至點F，連接AF，使得∠DAF＝∠ABD．（1）試判斷AF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AF＝3，∠AFB＝∠CBD，求AC的長．25．（10分）綜合與實踐已知：如圖1，△ABC和△DBE的頂點B重合，∠ACB＝∠DEB＝90°，∠BAC＝∠BDE＝45°，BE＝2，（1）當點D，E分別在AB，BC邊上時，；（2）如圖2，將圖1中的△DBE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D恰好落在AC上，連接CE．①求證：CE∥AB；②求的值；（3）如圖3，將圖1中的△DBE繞點B順時針分別旋轉(zhuǎn)α，β（0°＜α＜45°＜β＜90°），得到△D1BE1和△D2BE2，此時CE1與CE2均與AB垂直于點H．①求sinα的值；②求三角形ABD2的面積．26．（7分）定義一種新的幾何變換稱為“拋物線對稱變換”：對于任意一點P（x，y），其關(guān)于拋物線y＝ax2+bx+c的對稱點P′同時滿足以下條件：①點P′在拋物線的對稱軸上；②PP′的中點在拋物線上．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為A（1，0），另一個交點為B，與y軸交于點C（0，3），頂點為D．（1）求拋物線L的對稱軸及頂點坐標；（2）若點P（2，1），則點P關(guān)于拋物線L的對稱點P′是否存在？若存在，求出點P′的坐標，若不存在，請說明理由；（3）若點P（0，k）關(guān)于拋物線L的對稱點P′存在．①求k的取值范圍，并求出所有滿足條件的點P′的坐標；②平面內(nèi)是否存在點Q，使得以點P、P′、B、Q為頂點的四邊形是菱形，若存在，求點Q的坐標及k的值，若不存在，請說明理由；

2025年湖南省中考數(shù)學模擬試卷（二）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CBBAABDCBA一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列實數(shù)是無理數(shù)的是（）A． B． C． D．3.14【解答】解：A、是分數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意；B、是分數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意；C、是無理數(shù)，符合題意；D、3.14是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意，故選：C．2．（3分）若a，b是正整數(shù)，且滿足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，則下列a與b的關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)+1＝3b C．a(chǎn)+1＝b3 D．3a＝b3【解答】解：∵3a+3a+3a＝3×3a＝3a+1，3b×3b×3b＝（3b）3＝33b，∴a+1＝3b．故選：B．3．（3分）如圖，平面鏡MN放置在水平地面CD上，墻面PD⊥CD于點D，一束光線AO照射到鏡面MN上，反射光線為OB，點B在PD上，若∠OBD＝55°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．45° D．55°【解答】解：由條件可知∠BDO＝90°，∠BOD＝180°﹣90°﹣55°＝35°，∴∠AOC＝∠BOD＝35°，故選：B．4．（3分）計算的結(jié)果是（）A．4 B． C． D．16【解答】解：原式4．故選：A．5．（3分）代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【解答】解：由題可知：x﹣1＞0，解得：x＞1．在數(shù)軸上表示為：，故選：A．6．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點P，作射線BP，交AD于點G，交CD的延長線于點H．若AB＝AG，GD＝5，CH＝9，則AB的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由作圖過程可知BH平分∠ABC，∴∠ABH＝∠CBH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，BC＝AD，AB∥CD，∴∠ABH＝∠CHB＝∠CBH，∴BC＝CH＝9，∴AD＝BC＝9，∵GD＝5，∴AG＝AD﹣GD＝9﹣5＝4∴AB＝AG＝4，故選：B．7．（3分）某班25名學生參加一分鐘跳繩測試，成績（單位：次）如表：成績171及以下172173174175及以上人數(shù)27862則本次測試成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．172和172 B．172和173 C．173和172 D．173和173【解答】解：由表格中的數(shù)據(jù)可知，在這一組數(shù)據(jù)中173是出現(xiàn)次數(shù)最多的，故眾數(shù)是173；而將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后，處于中間位置的數(shù)的是173，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是173．故選：D．8．（3分）如圖是我國清代康熙年間八角青花碗，其輪廓是一個正八邊形，若正八邊形的邊長為4cm，對角線AB、CD相交于點E．則線段AB的長為（）A． B． C． D．12【解答】解：如圖，過點F作FG⊥AB于G，由題意可知，四邊形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，在Rt△ACE中，，同理，∴，∴，故選：C．9．（3分）小穎在國際龍舟競渡中心廣場點P處觀看200米直道競速賽．如圖所示，賽道AB為東西方向，賽道起點A位于點P的北偏西30°方向上，終點B位于點P的北偏東60°方向上，AB＝200米，則點P到賽道AB的距離約為（）（參考數(shù)據(jù)：）．A．85.5米 B．86.6米 C．87.5米 D．88.5米【解答】解：過點P作PC⊥AB，垂足為C，設(shè)PC＝x米，∵起點A位于點P的北偏西30°方向上，終點B位于點P的北偏東60°方向上，∴（米），（米），∵AB＝200米，∴AC+BC＝200，∴，∴，∴PC＝86.6米，∴點P到賽道AB的距離約為86.6米，故選：B．10．（3分）已知直線y＝m與拋物線y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）和直線y＝﹣2x﹣4交于點A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m）三點．設(shè)n＝x1+x2+x3，則m，n滿足的關(guān)系是（）A．m+2n＝4 B．2m+n＝4 C．2m﹣n＝4 D．m﹣2n＝4【解答】解：設(shè)A（x1，m），B（x2，m）在拋物線y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）上，C（x3，m）在直線y＝﹣2x﹣4上．可得．根據(jù)題意得m＝﹣2x3﹣4．可得．則．可得m+2n＝4．故選：A．二、填空題（本題共8小題，每小題3分，計24分）11．（3分）分解因式：x3﹣9x＝x（x+3）（x﹣3）．【解答】解：原式＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3），故答案為：x（x+3）（x﹣3）．12．（3分）3月8日晚間，據(jù)燈塔專業(yè)版數(shù)據(jù)，《哪吒2》全球票房（含預售及海外）已超148億元，148億用科學記數(shù)法表示為1.48×1010．【解答】解：148億1.48×1010．故答案為：1.48×1010．13．（3分）分式方程2的解為x＝2．【解答】解：2，3x＝2x+2，x＝2，經(jīng)檢驗x＝2是方程的解，故答案為：2．14．（3分）已知關(guān)于x的方程的一個根為x＝2，則另一個根為6．【解答】解：設(shè)另一個根為x2，由根與系數(shù)關(guān)系可得，即2x2＝12，解得x2＝6，故答案為：6．15．（3分）如圖，將一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點分別放在直尺的兩條平行對邊上，若∠α＝75°，則∠β＝135°．【解答】解：如圖，，∵∠α＝75°，∠2＝60°，∴∠1＝180°﹣75°﹣60°＝45°（平角定義），∵直尺的兩條對邊平行，∴∠β+∠1＝180°，∴∠β＝180°﹣45°＝135°．故答案為：135°．16．（3分）在中國歷法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，它們經(jīng)常和其它漢字來搭配命名，如化學中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如圖為有機物甲烷、乙烷、丙烷的分子結(jié)構(gòu)圖，請你依照規(guī)律，推測出壬烷中“H”的個數(shù)為20．【解答】解：由圖可得，甲烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個數(shù)是2+2×1＝4；乙烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個數(shù)是2+2×2＝6；丙烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個數(shù)是2+2×3＝8；…，∴第9個壬烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個數(shù)是：2+2×9＝20；故答案為：20．17．（3分）如圖，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，點B′恰好落在斜邊AC的中點上，連接A′B，若BC＝2，則A′B的長為．【解答】解：過A′作A′M⊥BC交BC的延長線于點M，由旋轉(zhuǎn)可知，B′C＝BC＝2，∠ACB＝∠A′CB′，AC＝A′C，∵B′是AC的中點，∴AC＝4＝A′C，∵Rt△ABC中，，∴∠ACB＝60°，∴∠A′CB′＝60°，∴∠A′CM＝180°﹣∠ACB﹣∠A′CB′＝60°，∵Rt△A′CM中，，，∴，，∴，∴BM＝BC+CM＝2+2＝4，∴．故答案為：．18．（6分）如圖是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形ABCD．連接AQ，BP，CN，DM．若正方形ABCD的面積為2a，陰影部分的面積為2b．則CP＝；CQ＝．（以上均用含a，b的代數(shù)式表示）【解答】解：由題意得CP＝BQ，∵正方形ABCD的面積為2a，∴AD，∵陰影部分的面積為2b，∴S△BPC（2a﹣2b）CP?BQCP2，∴CP．∵S△CNPCP?PQ（2b﹣S正方形PQMN）（2b﹣PQ2），∴2PQ＝2b﹣PQ2，∴PQ．∴CQ＝CP+PQ．故答案為：；．三、解答題（本大題共8個小題，第19-20題每小題6分，第21-22題每小題6分，第23-24題每小題6分，第25-26題每小題6分，共66分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．（6分）化簡求值：（2a﹣b）2﹣4a（a﹣b）+2ab，其中a＝1，b＝﹣3．【解答】解：（2a﹣b）2﹣4a（a﹣b）+2ab＝4a2﹣4ab+b2﹣4a2+4ab+2ab＝b2+2ab，當a＝1，b＝﹣3時，原式＝（﹣3）2+2×1×（﹣3）＝9﹣6＝3．20．（6分）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別為CD、AD邊上的點．（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得AE＝CF，你添加的條件是DE＝DF（答案不唯一，符合題意即可）；（2）添加了條件后，證明AE＝CF．【解答】（1）解：添加DE＝DF，可根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)果，故答案為：DE＝DF（答案不唯一，符合題意即可）；（2）證明：在菱形ABCD中，AD＝CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．21．（8分）為了解學生一周勞動情況，我市某校隨機調(diào)查了部分學生的一周累計勞動時間，將他們一周累計勞動時間t（單位：h）劃分為A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4，D：t≥4四個組，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：（1）這次抽樣調(diào)查共抽取100人，條形統(tǒng)計圖中的m＝42；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求B組所在扇形圓心角的度數(shù)，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）已知該校有960名學生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請你估計該校一周累計勞動時間達到3小時及3小時以上的學生共有多少人？（4）學校準備從一周累計勞動時間較長的兩男兩女四名學生中，隨機抽取兩名學生為全校學生介紹勞動體會，請用列表法或畫樹狀圖法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）這次抽樣調(diào)查共抽取的人數(shù)有：28÷28%＝100（人），m＝100×42%＝42，故答案為：100，42；（2）B組所在扇形圓心角的度數(shù)是：360°×20%＝72°；B組的人數(shù)有：100×20%＝20（人），補全統(tǒng)計圖如下：（3）根據(jù)題意得：960×（42%+28%）＝672（人），答：估計該校一周累計勞動時間達到3小時及3小時以上的學生共有672人；（4）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生結(jié)果數(shù)為8，所以抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生概率為．22．（8分）如圖，點A，C分別是反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y＝k2x的圖象的交點．其中點A的坐標為（﹣1，3）．過點A作AB⊥y軸于點B，過點C作CD⊥y軸于點D，連接AD，BC．（1）求反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式；（2）寫出C點的坐標，并求四邊形ABCD的面積；（3）請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．【解答】解：（1）有條件可得：k1＝﹣1×3＝﹣3，∴反比例函數(shù)的解析式為，將A（﹣1，3）代入y＝k2x，可得：﹣k2＝3，即k2＝﹣3，∴正比例函數(shù)的解析式為y＝﹣3x；（2）由反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的性質(zhì)可知，點A與點C關(guān)于原點O成中心對稱，∴點C的坐標為（1，﹣3），∵AB⊥y軸于點B，CD⊥y軸于點D，∴AB∥CD且AB＝CD＝1，BC＝6，∴四邊形ABCD為平行四邊形，則S四邊形ABCD＝AB?BC＝6；（3）由函數(shù)圖象可知，當x＞1或﹣1＜x＜0是直線在雙曲線的下方，∴不等式的解集為x＞1或﹣1＜x＜0．23．（9分）電影《哪吒2》成為首部登頂動畫票房榜榜首的亞洲電影，與之相關(guān)的周邊衍生品也在市場上熱銷起來，哪吒系列手辦盲盒擺件和雕像模型擺件深受游客喜愛，某經(jīng)銷商計劃同時購進哪吒系列手辦盲盒擺件和雕像模型擺件兩種玩具．據(jù)了解，16個手辦盲盒擺件和10個雕像模型擺件的進價共計1600元；24個手辦盲盒擺件和20個雕像模型擺件的進價共計2800元．（1）求購進一個哪吒系列手辦盲盒擺件和一個雕像模型擺件各需多少元？（2）為滿足顧客需求，經(jīng)銷商從廠家一次性購進手辦盲盒擺件和雕像模型擺件共200個，要求購買的總費用不超過12400元，求最多可以購買雕像模型擺件多少個？【解答】解：（1）設(shè)進一個哪吒系列手辦盲盒擺件和一個雕像模型擺件各需x元、y元，根據(jù)題意得，解得，所以進一個哪吒系列手辦盲盒擺件和一個雕像模型擺件各需50元、80元，答：進一個哪吒系列手辦盲盒擺件和一個雕像模型擺件各需50元、80元；（2）設(shè)最多可以購買雕像模型擺件m個，則購買哪吒系列手辦盲盒擺件為（200﹣m）個，根據(jù)題意得50（200﹣m）+80m≤12400，解得m≤80，∴最多可以購買雕像模型擺件80個，答：最多可以購買雕像模型擺件80個．24．（9分）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠C＝90°，AB＝4，點D是⊙O上一點，連接AD，BD，延長BD至點F，連接AF，使得∠DAF＝∠ABD．（1）試判斷AF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AF＝3，∠AFB＝∠CBD，求AC的長．【解答】解：（1）AF與⊙O相切，理由如下：∵⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠C＝90°，AB＝4，∴AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵∠DAF＝∠ABD，∴∠BAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝90°即AB⊥AF，∴AF與⊙O相切；（2）在Rt△ABF中，，∵，∴，∴DB，∴，連接CD，OC，作DH⊥BC于點H，則∠BHD＝∠ADF＝90°，∵∠AFB＝∠CBD，∴△AFD∽△DBH，∴，∴，解得，∵∠AFB+∠DAF＝∠DAB+∠DAF＝90°，∴∠AFB＝∠DAB，∵∠DAB＝∠BCD，∴∠AFB＝∠BCD，∵∠AFB＝∠CBD，∴∠BCD＝∠CBD，∴DH垂直平分BC，∵OC＝OB，∴O在BC的垂直平分線上，∴D、H、O三點共線，∴BC＝2BH＝2，∴，即AC的長為．25．（10分）綜合與實踐已知：如圖1，△ABC和△DBE的頂點B重合，∠ACB＝∠DEB＝90°，∠BAC＝∠BDE＝45°，BE＝2，（1）當點D，E分別在AB，BC邊上時，；（2）如圖2，將圖1中的△DBE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D恰好落在AC上，連接CE．①求證：CE∥AB；②求的值；（3）如圖3，將圖1中的△DBE繞點B順時針分別旋轉(zhuǎn)α，β（0°＜α＜45°＜β＜90°），得到△D1BE1和△D2BE2，此時CE1與CE2均與AB垂直于點H．①求sinα的值；②求三角形ABD2的面積．【解答】（1）解：由題意可得：△ACB和△DEB是等腰直角三角形，∵BE＝2，，∴，，∴，，∴．（2）①證明：∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°﹣∠DBC，∠CBE＝∠DBE﹣∠DBC＝45°﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，∵．∴∠ABD＝∠CBE，∵，∴，∴△ABD∽△CBE，∴∠A＝∠BCE＝45°＝∠ABC，∴CE∥AB．②解：∵△ABD∽△CBE，∴．（3）解：①如圖，過點E1作E1G⊥BC，∵CH⊥AB，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠E1CG＝∠CE1G＝45°，∴CG＝E1G，設(shè)CG＝E1G＝x，則，由題意可得：BE1＝BE2＝BE＝2，在Rt△E1GB中，，即，∴或（舍去），∴α＝∠CBE1＝∠CBH﹣∠E1BH．②由題意可得：．∴BE1＝BE2＝BE＝2．∵，∴，∴∠E1BH＝30°，∵BE1＝BE2，∴△BE1E2為等腰三角形，又∵BH⊥E1E2，∴HE1＝HE2＝1，∴HE1＝HE2＝1，且∠HBE1＝∠HBE2＝30°．∴∠E1BE2＝60°，∴△BE1E2為等邊三角形．由題意，∠CBE2＝∠CBH+∠