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二、微分運算法則,三、微分在近似計算中的應用,第五節(jié),一、微分的概念,函數(shù)的微分,第二章,一、微分的概念,引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?,設薄片邊長為 x , 面積為 A , 則,面積的增量為,關于x 的線性主部,故,當 x 在,取,變到,邊長由,其,的微分,定義: 若函數(shù),在點 的增量可表示為,( A 為不依賴于x 的常數(shù)),則稱函數(shù),而 稱為,記作,即,定理: 函數(shù),在點 可微的充要條件是,即,在點,可微,定理 : 函數(shù),證: “必要性”,已知,在點 可微 ,則,故,在點 可導,且,在點 可微的充要條件是,在點 處可導,且,即,定理 : 函數(shù),在點 可微的充要條件是,在點 處可導,且,即,“充分性”,已知,即,在點 的可導,則,說明:,時 ,所以,時,很小時, 有近似公式,與,是等價無窮小,當,故當,微分的幾何意義,當 很小時,則有,從而,導數(shù)也叫作微商,切線縱坐標的增量,自變量的微分,記作,記,例如,基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P116表),又如,二、 微分運算法則,設 u(x) , v(x) 均可微 , 則,(C 為常數(shù)),分別可微 ,的微分為,微分形式不變,5. 復合函數(shù)的微分,則復合函數(shù),例1.,求,解:,例2. 設,求,解: 利用一階微分形式不變性 , 有,例3. 在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立:,說明: 上述微分的問題就是我們在不定積分要研究的內(nèi)容.,注意,數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性.,注意:,注,數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性 , 例如,三、 微分在近似計算中的應用,當,很小時,使用原則:,得近似等式:,特別當,很小時,常用近似公式:,很小),證明:,令,得,的近似值 .,解: 設,取,則,例4. 求,的近似值 .,解:,例5. 計算,例6. 有一批半徑為1cm 的球 ,為了提高球面的光潔度,解: 已知球體體積為,鍍銅體積為 V 在,時體積的增量,因此每只球需用銅約為,( g ),用銅多少克 .,估計一下, 每只球需,要鍍上一層銅 ,厚度定為 0.01cm ,內(nèi)容小結,1. 微分概念,微分的定義及幾何意義,可微,可導,2. 微分運算法則,微分形式不變性 :,( u 是自變量或中間變量 ),3. 微分的應用,近似計算,估計誤差,思考與練習,1. 設函數(shù),的圖形如下, 試在圖中標出的點,處的,及,并說明其正負 .,2.,5. 設,由方程,確定,解:,方程兩邊求微分,得,當,時,由上式得,求,則,作業(yè),P123 1 ; 3 (4) , (6) , (8) , (10) ; 4

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