高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)課件全集第1章極限與連續(xù).ppt

第1章 極限與連續(xù),【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.了解基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的定義，掌握復(fù)合函數(shù)的分解； 2.了解極限的定義，會(huì)運(yùn)用極限的運(yùn)算法則及兩個(gè)重要極限求函數(shù)極限； 3.理解函數(shù)連續(xù)性的定義，會(huì)判斷函數(shù)在點(diǎn)x0處的連續(xù)性；理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).,1.基本初等函數(shù) 在初等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，即設(shè)D為非空數(shù)集，x與y是兩個(gè)變量，如果對(duì)變量x在D中的每一個(gè)值，按照某種對(duì)應(yīng)法則f，變量y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x)，xD，稱x為自變量，y為因變量，對(duì)應(yīng)法則f為函數(shù)關(guān)系.x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與x對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的全體叫做函數(shù)的值域.,當(dāng)x=x0時(shí)的函數(shù)值記作y0=f(x0). 以前我們學(xué)習(xí)了函數(shù)y=x,y=x-1，y=x2，y=x3等.把形如y=x(為實(shí)數(shù))的函數(shù)叫做冪函數(shù)，還學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)，我們把這些函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).,2.復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù) 我們知道物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的位移y與相位u之間的關(guān)系是y=Asinu，而相位u又是時(shí)間t的函數(shù)u=t+，從而位移y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為y=Asin(t+).,定義 設(shè)y=f(u)是以u(píng)為自變量的函數(shù)，u=(x)是以x為自變量的函數(shù)，如果當(dāng)x在某一數(shù)集內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)u=(x)相應(yīng)的值能使y=f(u)有意義，則稱函數(shù)y=f(x)是y=f(u)和u=(x)的復(fù)合函數(shù)，變量u稱為中間變量.,1.2 函數(shù)的極限,1.x時(shí)函數(shù)的極限 當(dāng)x取負(fù)值且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)的變化趨勢(shì)，叫做x趨向于負(fù)無(wú)窮大，記作x-；當(dāng)x取正值且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)的變化趨勢(shì)，叫做x趨向于正無(wú)窮大，記作x+；當(dāng)x既取負(fù)值又取正值且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)的變化趨勢(shì)，叫做x趨向于無(wú)窮大，記作x.,由上表看出，當(dāng)x+時(shí)，函數(shù)f(x)=x的值無(wú)限接近于0；當(dāng)x-時(shí)，函數(shù)f(x)=2x的值無(wú)限接近于0.,定義1 如果當(dāng)x+時(shí)，函數(shù)f(x)的值無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x+時(shí)的極限，記作,如果當(dāng)x-時(shí)，函數(shù)f(x)的值無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x-時(shí)的極限，記作,定義2 如果當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)的值無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x時(shí)的極限，記作,由于數(shù)列an=n 和數(shù)列bn=n 分別可以看作是上面函數(shù)的自變量 取正整數(shù)時(shí)的特殊情形，因此，我們給出數(shù)列極限的定義.,定義3 如果當(dāng)n時(shí)，數(shù)列an的值無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A叫做數(shù)列an當(dāng)n時(shí)的極限，記作,2.xx0時(shí)函數(shù)的極限,定義4 設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的左右近旁有定義，如果當(dāng)自變量x無(wú)限接近于x0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時(shí)的極限，記作,定義4中，x以任意方式趨向于x0，但有時(shí)只能或只需討論x從x0的左側(cè)無(wú)限接近于x0(記為xx-0)或從x0的右側(cè)無(wú)限接近于x0(記為xx+0)時(shí)函數(shù)f(x)的變化趨勢(shì)，從而給出下面的定義.,定義5 如果當(dāng)x從x0的左側(cè)無(wú)限趨近于x0時(shí)，函數(shù)f(x)的值無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)xx-0時(shí)的左極限，記作,如果當(dāng)x從x0的右側(cè)無(wú)限趨近于x0時(shí)，函數(shù)f(x)的值無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)xx+0時(shí)的右極限，記作,顯然,1.3 極限的運(yùn)算,1.極限的運(yùn)算法則 定理1(四則運(yùn)算法則) 如果極限limxx0f(x)=A，limxx0g(x)=B，則有,定理2(復(fù)合函數(shù)的極限) 如果函數(shù) 且函數(shù)f(u)在u=A處有函數(shù)值存在，則有,由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此，定理1和定理2也適用于數(shù)列的極限.,2.兩個(gè)重要極限,重要極限1,一般地，當(dāng)u(x)0時(shí)，有公式,重要極限2,一般地，當(dāng)u(x)時(shí)，有,在公式,e中，令t=1x， ，則當(dāng)x時(shí)，t0，于是得,1.4 函數(shù)的連續(xù)性,1.函數(shù)連續(xù)性的概念,定義1 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的左右近旁有定義，如果,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，并稱x0為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn).,定義2 若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的左(或右)側(cè)近旁有定義， 且有,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)(或右連續(xù)).,定義3 如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，并稱區(qū)間(a,b)為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，同時(shí)在左端點(diǎn)a右連續(xù)，右端點(diǎn)b左連續(xù)，則稱f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù).,相對(duì)于連續(xù)函數(shù)而言，如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)，則稱f(x)在點(diǎn)x0處間斷，稱點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn).若點(diǎn)x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，則必出現(xiàn)下列情形之一：,2.初等函數(shù)的連續(xù)性 根據(jù)定義1和極限運(yùn)算法則，可推出如下結(jié)論：,1)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商仍然是連續(xù)函數(shù)； 2)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然是連續(xù)函數(shù)； 3)基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都連續(xù)； 4)所有初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)函數(shù).,3.閉區(qū)間