高等數(shù)學(xué)下第十一章第八節(jié).ppt

8 一般周期函數(shù)的 傅里葉級(jí)數(shù),定理 設(shè)周期2l 的函數(shù) f(x)滿足收斂定理的條件，則可 展開(kāi)成如下形式的傅里葉級(jí)數(shù)：,其中,n 0 , 1 , 2 , ,n 1 , 2 , 。,證 作變量代換,則F(z)以2 為周期且滿足收斂,定理的條件，可展成傅里葉級(jí)數(shù)：,顯然 l x l z ；,一、周期2l 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),注意到F(z 0) f(x 0)，得,其中系數(shù),(1)周期2l 的奇函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)是正弦級(jí)數(shù),說(shuō)明,n 1 , 2 , 。,(2)周期2l 的偶函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)是余弦級(jí)數(shù),n 0 , 1 , 2 , 。,解 f(x)滿足收斂定理的條件，l 2。,例1(P252) 設(shè) f(x)周期為4，它在2, 2)上的表達(dá)式為,k 0, 將它展成傅里葉級(jí)數(shù)。,n 1 , 2 , 。,(3) 定義在l , l 或0, l 上的函數(shù)也可展成傅里葉級(jí)數(shù)， 只需類(lèi)似地進(jìn)行周期延拓或奇、偶延拓。,例2 設(shè)以4為周期的奇函數(shù) f(x) 滿足收斂定理的條件，,試寫(xiě)出其傅里葉級(jí)數(shù)的形式表達(dá)式。,解 這里 2l 4，l 2， f(x)是奇函數(shù)，傅里葉級(jí)數(shù)為,說(shuō)明：題中 f(x)即使不滿足收斂定理的條件，只要它在0 , 2上可積，也可形式地寫(xiě)出它的傅里葉級(jí)數(shù),但此級(jí)數(shù)不一定收斂于f(x)。,例3,解 實(shí)際上是求 f(x) x 在0, 1上的余弦級(jí)數(shù)的系數(shù)。,0 x 1。,解 作變量代換 z x 10，則 5 x 15 5 z5 ，,例4 將函數(shù) f(x) 10 x (5 x15)展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)。,n 1, 2 , 。,5 z5。,f(x) z F(z)，F(xiàn)(z)是奇函數(shù)。補(bǔ)充定義F(5) 5， 再將F(z)作周期 T 10的周期延拓，顯然延拓后的函數(shù)滿足收斂定理的條件，且在(5 , 5 )內(nèi)收斂于F(z)。,說(shuō)明：為了通過(guò)變量代換 x At B 把定義在a, b上的 函數(shù) f(x)變?yōu)?, 上的函數(shù) F(t) f(At B)，應(yīng)使,利用歐拉公式，可將周期2l 的函數(shù) f(x)的傅里葉級(jí)數(shù),表示為復(fù)數(shù)形式。,二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式,其中,n 1 , 2 , ；,n 1 , 2 , 。,統(tǒng)一起來(lái)：,n 0 , 1 , 2 , 。,其中,小結(jié),(1)周期2l 的函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)：,n 0 , 1 , 2 , 。,其中,(2)周期2 的函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)：,n 0 , 1 , 2 , 。,(3)這里的傅里葉級(jí)數(shù)稱為復(fù)數(shù)形式或指數(shù)形式，以前 的稱為實(shí)數(shù)形式或三角形式，二者是同一事物的不同 表現(xiàn)形式，復(fù)數(shù)形式表示的也是實(shí)函數(shù)