高等數(shù)學(xué)II(微積分龔德恩范培華)31導(dǎo)數(shù)的概念.ppt

1,微積分學(xué)的創(chuàng)始人:,德國數(shù)學(xué)家 Leibniz,微分學(xué),導(dǎo)數(shù),描述函數(shù)變化快慢,微分,描述函數(shù)變化程度,都是描述物質(zhì)運(yùn)動的工具,(從微觀上研究函數(shù)),導(dǎo)數(shù)思想最早由法國,數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究,極值問題中提出.,英國數(shù)學(xué)家 Newton,第三章 導(dǎo)數(shù)與微分,2,3.1 導(dǎo)數(shù)的概念,第三章 導(dǎo)數(shù)與微分,3.2 求導(dǎo)法則,3.3 基本導(dǎo)數(shù)公式與高階導(dǎo)數(shù),3.4 函數(shù)的微分,3.5 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡單應(yīng)用,3,3.1 導(dǎo)數(shù)的概念,一、導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景,二、導(dǎo)數(shù)的定義,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,四、單側(cè)導(dǎo)數(shù),4,一、導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景,變速直線運(yùn)動的速度,設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動位置的函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,自由落體運(yùn)動,物理背景,5,平面曲線上切線的概念,割線MQ,切線MT,切點(diǎn),曲線的切線斜率,數(shù)學(xué)背景,6,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線,割線 M N 的極限位置 M T,(當(dāng) 時(shí)),割線 M N 的斜率,切線 MT 的斜率,7,瞬時(shí)速度,切線斜率,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .,共性？,8,二、導(dǎo)數(shù)的定義,9,由定義求導(dǎo)數(shù)（三步法）,10,11,k 0為常數(shù).,如果函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo),反之是否成立？,不成立！,12,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,13,x 軸、或不存在, 反映出點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)值也是三種情況。,y,O,x,x0,y = c,f (x0) = 0,y,O,x,f (x0) = ,x0,O,x,y,x0,y,O,x,x0,f (x0)不存在,f (x0)不存在,切線平行于x 軸：,切線垂直于x 軸：,無切線：,無切線：,曲線 y = f (x) 在點(diǎn) x0 處的切線可能平行于x 軸、垂直于,14,瞬時(shí)速度,切線斜率,類似問題還有:,加速度,角速度,線密度,電流強(qiáng)度,是速度增量與時(shí)間增量之比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限,是電量增量與時(shí)間增量之比的極限,變化率問題,15,16,先求導(dǎo)、后代值！,17,解:,即,通常說成：常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零.,18,練習(xí) 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,解:,即,類似可證得,和差化積,等價(jià)無窮小,或重要極限,19,等價(jià)無窮小代換,解:,20,例如，,21,解:,等價(jià)無窮小代換,22,等價(jià)無窮小替代,故,解:,23,24,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,25,解:,即,故點(diǎn) (3 ,9) 的切線方程為：,即,點(diǎn) (3 ,9) 的法線方程為：,26,解:,27,四、 單側(cè)導(dǎo)數(shù),28,連續(xù)不一定可導(dǎo)！,判斷可導(dǎo)性:,用導(dǎo)數(shù)定義！,29,解,30,逆否命題是？,五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,可導(dǎo)必連續(xù)！,31,解,32, f (x) 在 x = 0 處可導(dǎo),從而,f (0) = 1, f (x) 在 x = 0 處連續(xù), f (0) = a .,例11.,解:,33,由可導(dǎo)性：,故 b = 1, 此時(shí)函數(shù)為,34,35,求,解: 方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義.,方法2 利用求導(dǎo)公式.,練習(xí)1 設(shè),36,內(nèi)容小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo);,5. 已學(xué)