2018_2019學年高中數(shù)學第3章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入3.2復數(shù)的四則運算第二課時復數(shù)的乘方與除法運算講義.docx

第二課時復數(shù)的乘方與除法運算問題1：在實數(shù)中，若abc(a0)，則b.反之，若b，則abc.那么在復數(shù)集中，若z1z2z3，有z1(z20)成立嗎？提示：成立問題2：若復數(shù)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)，則如何運算？提示：通常先把(abi)(cdi)寫成的形式，再把分子與分母都乘分母的共軛復數(shù)cdi，化簡后可得結(jié)果，即i(cdi0)對任意復數(shù)z，z1，z2和m，nN*，有 (z)m(z)n(z)mn；(zm)nzmn；(z1z2)nzz.2虛數(shù)單位in(nN*)的周期性i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.3復數(shù)的除法運算及法則把滿足(cdi)(xyi)abi(cdi0)的復數(shù)xyi(x，yR)叫做復數(shù)abi除以復數(shù)cdi的商且xyii.由i，可以看出復數(shù)除法的運算實質(zhì)是將分母化為實數(shù)的過程即分母實數(shù)化虛數(shù)單位i的冪的周期性例1求1ii2i2 014的值思路點撥利用in的性質(zhì)計算，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，還可以利用等比數(shù)列求和來解精解詳析法一：1ii2i2 014i.法二：inin1in2in30(nN*)，1ii2i2 0141(ii2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 009i2 010i2 011i2 012)i2 013i2 0141i1i.一點通等差、等比數(shù)列的求和公式在復數(shù)集C中仍適用，i的周期性要記熟，即inin1in2in30(nN*)1若z，則z2 014z102_.解析：z22i，z2 014z102(i)1 007(i)51(i)1 004(i)3(i)48(i)3ii2i.答案：2i2設z1i4i5i6i12，z2i4i5i6 i12，則z1與z2的關(guān)系為z1_z2(用“”或“”填)解析：z11，z2i45612ii72(i4)181，z1z2.答案：復數(shù)的除法例2計算：(1)(5i2)2；(2).思路點撥解答較為復雜的復數(shù)相乘、除時，一個方面要利用復數(shù)乘、除的運算法則、運算律，另一方面要注意觀察式子中數(shù)據(jù)的特點，利用題目中數(shù)據(jù)的特點簡化運算精解詳析(1)原式(5i2)2i51ii4i4.(2)原式(2i)2i4i.一點通復數(shù)的除法就是分子，分母同乘以分母的共軛復數(shù)，從而使分母實數(shù)化，熟悉以下結(jié)論對簡化運算很有幫助bai(abi)(i)，bai(abi)i.3設復數(shù)z，則復數(shù)z2的實部與虛部的和為_解析：zi1，z2(1i)212i12i.實部為0，虛部為2.因此，實部與虛部的和為2.答案：24若復數(shù)z滿足z(2i)117i(i為虛數(shù)單位)，則z_.解析：z(2i)117i，z35i.答案：35i5化簡：_.解析：原式3ii2i.答案：2i1復數(shù)除法的運算技巧在實際進行的復數(shù)除法運算中，每次都按乘法的逆運算進行計算將十分麻煩我們可以用簡便方法操作：先把兩個復數(shù)相除寫成分式形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復數(shù)，使分母“實數(shù)化”，最后再化簡2注意復數(shù)計算中常用的整體(1)i的性質(zhì)：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)；(2)(1i)22i，i，i；(3)設i，則31，210，2，31.一、填空題1(新課標全國卷改編)設復數(shù)z滿足(1i)z2i，則z_.解析：z1i.答案：1i2設i是虛數(shù)單位，復數(shù)的虛部為_解析：3i.答案：13如果z123i，z2，則_.解析：z123i，z2，i(2i)2(34i)i43i.答案：43i4(浙江高考)已知 i是虛數(shù)單位，計算 _.解析： i.答案：i5i是虛數(shù)單位，i2i23i38i8_.解析：設Si2i23i38i8則iSi22i37i88i9得(1i)Sii2i3i88i98i8i.S44i.答案：44i二、解答題6計算220.解：2202i10(1i)2i1012i.7復數(shù)z，若z20，求純虛數(shù)a.解：z1i.a為純虛數(shù)，設ami(m0)，則z2(1i)22ii0，m4.a4i.8已知1i是實系數(shù)方程x2axb0的一個根(1)求a、b的值；(2)試判斷1i是否是方程的根解：(1)1i是方程x2axb0的根，(1i)2a