畢業(yè)論文概率論在保險中的應用.doc

概率論在保險中的應用概率論在保險中的應用 摘要摘要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學科學是對隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律進行的演繹和 歸納的科學.隨著社會的不斷發(fā)展,概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識越來越重要.運用抽樣數(shù)據(jù)進行推斷已成為現(xiàn) 代社會一種普遍適用并且強有力的思考方式.本文就概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法和思想,并就其在保險中的應 用進行分析和討論,從中可以看出在經(jīng)濟領域和日常生活中以概率方法和數(shù)理統(tǒng)計的思想解決問題的高效 性,簡捷性和實用性 關鍵詞：概率論,保險,大數(shù)定律 一、概率統(tǒng)計與保險.1 1.概率論的研究對象 1 2.概率論的起源 1 3.概率論與保險的關系 2 二、隨機變量及其分布與保險.2 三、數(shù)字特征與保險.2 四、大數(shù)法則與保險.3 1 切比雪夫大數(shù)法則 .3 2.貝努里大數(shù)法則 3 3.泊松大數(shù)法則 4 4.大數(shù)定律對風險轉(zhuǎn)移的作用 4 5.大數(shù)定律在保險中的適用性 4 五、應用概率進行保險計算.4 六、總結(jié).5 參考文獻.5 山西大同大學畢業(yè)論文（設計） 1 一、概率統(tǒng)計與保險 1.概率論的研究對象 概率論是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學分支.隨機現(xiàn)象是相對于決定性現(xiàn)象而言的,在一定條件下必然 發(fā)生某一結(jié)果的現(xiàn)象稱為決定性現(xiàn)象.例如在標準大氣壓下,純水加熱到 100時水必然會沸騰等.隨機現(xiàn) 象則是指在基本條件不變的情況下,一系列試驗或觀察會得到不同結(jié)果的現(xiàn)象.每一次試驗或觀察前,不能 肯定會出現(xiàn)哪種結(jié)果,呈現(xiàn)出偶然性.例如,擲一硬幣,可能出現(xiàn)正面或反面,在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈 泡,其壽命長短參差不齊等等.隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗.隨機試驗的每一可能結(jié)果稱為 一個基本事件,一個或一組基本事件統(tǒng)稱隨機事件,或簡稱事件.事件的概率則是衡量該事件發(fā)生的可能性 的量度.雖然在一次隨機試驗中某個事件的發(fā)生是帶有偶然性的,但那些可在相同條件下大量重復的隨機試 驗卻往往呈現(xiàn)出明顯的數(shù)量規(guī)律.例如,連續(xù)多次擲一均勻的硬幣,出現(xiàn)正面的頻率隨著投擲次數(shù)的增加逐 漸趨向于 12.又如,多次測量一物體的長度,其測量結(jié)果的平均值隨著測量次數(shù)的增加,逐漸穩(wěn)定于一常 數(shù),并且諸測量值大都落在此常數(shù)的附近,其分布狀況呈現(xiàn)中間多,兩頭少及某程度的對稱性.大數(shù)定律及中 心極限定理就是描述和論證這些規(guī)律的.在實際生活中,人們往往還需要研究某一特定隨機現(xiàn)象的演變情況 隨機過程.例如,微小粒子在液體中受周圍分子的隨機碰撞而形成不規(guī)則的運動（即布朗運動）,這就是隨 機過程.隨機過程的統(tǒng)計特性、計算與隨機過程有關的某些事件的概率,特別是研究與隨機過程樣本軌道 (即過程的一次實現(xiàn))有關的問題,是現(xiàn)代概率論的主要課題.概率論與實際生活有著密切的聯(lián)系,它在自然 科學、技術科學、社會科學、軍事和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中都有廣泛的應用. 2.概率論的起源 概率論的起源與賭博問題有關.16 世紀,意大利的學者開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題.17 世 紀中葉,法國數(shù)學家 B.帕斯卡、P.de 費馬及荷蘭數(shù)學家 C.惠更斯基于排列組合方法,研究了一些較復雜的 賭博問題,他們解決了分賭注問題、賭徒輸光問題等.隨著 18、19 世紀科學的發(fā)展,人們注意到在某些生物、 物理和社會現(xiàn)象與機會游戲之間有某種相似性,從而由機會游戲起源的概率論被應用到這些領域中；同時 這也大大推動了概率論本身的發(fā)展.使概率論成為數(shù)學的一個分支的奠基人是瑞士數(shù)學家 J.伯努利,他建 立了概率論中第一個極限定理,即伯努利大數(shù)定律,闡明了事件的頻率穩(wěn)定于它的概率.隨后 A.de 棣莫弗和 P.S.拉普拉斯 又導出了第二個基本極限定理（中心極限定理）的原始形式.拉普拉斯在系統(tǒng)總結(jié)前人工作 的基礎上寫出了分析的概率理論,明確給出了概率的古典定義,并在概率論中引入了更有力的分析工具,將 概率論推向一個新的發(fā)展階段.19 世紀末,俄國數(shù)學家 P.L.切比雪夫、A.A.馬爾可夫、A.M.李亞普諾夫等 人用分析方法建立了大數(shù)定律及中心極限定理的一般形式,科學地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變 量近似服從正態(tài)分布.20 世紀初受物理學的刺激,人們開始研究隨機過程.這方面 A.N.柯爾莫哥洛夫、N.維 納、A.A.馬爾可夫、A.R 辛欽、P.萊維及 W.費勒等人作了杰出的貢獻. 山西大同大學畢業(yè)論文（設計） 2 3.概率論與保險的關系 概率則是研究風險的不確定性在大數(shù)中所呈現(xiàn)的規(guī)律性,而保險學是利用風險的不確定性在大數(shù)中消 失來化解風險的,概率論的研究對象正是保險學建立和發(fā)展的基礎.由此可見,保險學和概率論是密不可分的, 概率論是保險技術的數(shù)理基礎. 二、隨機變量及其分布與保險 隨機變量即用數(shù)量來描述隨機試驗的不同結(jié)果.概率分布是描述隨機變量取值及其對應概率的方式.在 保險經(jīng)營上,隨機變量及其分布指各種損失的數(shù)量及其損失可能性的大小. 例: :某單位有 5 輛汽車投保,發(fā)生事故的車輛數(shù)就是一個隨機變量,可能取值是 0、1、2、3、4、5 六種 結(jié)果,根據(jù)保險公司的統(tǒng)計資料,每種結(jié)果發(fā)生的概率為 發(fā)生事故車輛數(shù)01 2 345 對應概率0.950.040.01000 以上表達方式即為車輛發(fā)生事故次數(shù)的概率分布.在風險估計中,經(jīng)常采用理論概率分布.理論概率分 布是根據(jù)某些隨機現(xiàn)象的性質(zhì)和大量實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)用數(shù)學方法抽象出來的率分布規(guī)律,它可用數(shù)學公式對 隨機現(xiàn)象進行精確的描述.保險經(jīng)營理論中遇到的隨機現(xiàn)象符合于一定形式的理論概率分布或與它近似吻 合,我們可以利用數(shù)字特征來確定理論概率分布,并用它來解決實際問題.例如：確定保費、賠償金、保險 公司盈利的多少及所擔風險的大小等.在保險理論中常用到的理論概率分布有二項分布和正態(tài)分布.二項分 布常用來計算在 n 個投保個體中,正好有 k 個需要賠償?shù)母怕?正態(tài)分布常用于當信息量不足時的近似估計,還 可對二項分布進行近似計算,更重要的是正態(tài)分布是大數(shù)規(guī)律的一般表現(xiàn)形態(tài),是大量社會經(jīng)濟現(xiàn)象的典型 分布.無論保險業(yè)務經(jīng)營,還是保險理論探討都離不開正態(tài)分布. 三、數(shù)字特征與保險 隨機變量的數(shù)字特征可以總體上掌握隨機變量某一側(cè)面的性質(zhì),概率論中最常用的數(shù)字特征有兩個:一 個是數(shù)學期望,一個是方差.期望表征隨機變量的取值水平即平均數(shù),是各事件發(fā)生的結(jié)果與其發(fā)生可能性 乘積之和.在保險經(jīng)營中,常用求數(shù)學期望的方法確定損失期望值,是確定純費率重要的重要依據(jù).對保險人 來說,知道了損失期望值,也就知道了預期損失總額,而保險費的收取,恰是以補償預期損失為基礎的.對被 保險人來說,他可將預期收入與保費相比較,然后作出是否購買保險的決定.方差是描述隨機變量取值離散 程度(相對數(shù)學期望)的一個數(shù)量指標.在保險經(jīng)營中常用方差來衡量企業(yè)所擔風險的大小.方差越小,則期 望損失越穩(wěn)定,企業(yè)對預期損失可有所準備,減少所擔風險.反之,如果方差大,則期望損失穩(wěn)定性差,企業(yè)可 能會遇到難以預測的損失,所擔風險極大. 山西大同大學畢業(yè)論文（設計） 3 四、大數(shù)法則與保險 大數(shù)法則是用來說明大量的隨機現(xiàn)象由于偶然性的相互抵消所呈現(xiàn)的必然數(shù)量規(guī)律的一系列定理的統(tǒng) 稱.在保險中常用到的有切比雪夫大數(shù)法則、貝努里大數(shù)法則、泊松大數(shù)法則. 1 切比雪夫大數(shù)法則 切比雪夫大數(shù)法則定理：設是相互獨立的隨機變量序列, 且服有: n XXXX 321 , .1 1 lim 1 n i i n X n P 切比雪夫大數(shù)法則其意義是對同一隨機變量進行 n 次觀測,所得觀察值的平均值將比較密集地聚集在 它的期望值附近.在保險中其意義是:保險人收取的保險總額與賠償金總額在數(shù)量上應是相等的,從理論上 闡明了保險公司可通過合理收取保費、合理賠償來減少和化解風險.該極限定理運用到保險行業(yè), 相當于 有個投保人或被保險人, 同時投保了個相互獨立的保險標的, 用表示每個標的實際發(fā)生損失的大小, n X 且所有的期望值相等, 即其中為理論上每個 n XXX, 21021 n EXEXEX 投保人應繳納的純保費,為平均每個被保險人實際獲得的賠款金額.當投保人數(shù)足夠多, n i i X n 1 1 時, 實際賠款金額等于理論上的純保費.n 2.貝努里大數(shù)法則 貝努利大數(shù)定律：設是 n 次獨立試驗中事件 A 發(fā)生的次數(shù),p 是事件 A 在每次試驗中發(fā)生的概率, n 則對任意給定的正數(shù),有1 lim n n pp n 此定理表明當 n 很大時,n 重貝努利試驗中事件 A 發(fā)生的頻率幾乎等于事件 A 在每次試驗中發(fā)生的概 率,這個定理以嚴格的數(shù)學形式刻畫了頻率的穩(wěn)定性,因此,在實際應用中,當試驗次數(shù)很大時,便可以用事 件發(fā)生的頻率來代替事件的概率.在保險經(jīng)營中,可利用此定理依據(jù)統(tǒng)計資料(或經(jīng)驗)來估計損失概率.例 如,估計事故率、死亡率等. 證：人的死亡率作一次觀察時是定值,作多次觀察時是隨機變量,而且, n n , n B n p 因此: , , n Enp n Dnpq , ./ n Enp/ n Dnpq n 在車比雪夫不等式中,取,則 a = p,/ n n 2 /pq n 于是對任意給定的正數(shù), 有 2 111 n pq ppn nn 山西大同大學畢業(yè)論文（設計） 4 因而 lim1 n n pp n 3.泊松大數(shù)法則 泊松大數(shù)定律：設,是相互獨立的隨機變量, 1 2 n 1 nn PP (其中),則服從大數(shù)定律.0 nn Pq1 nn Pq n 泊松大數(shù)法則的意義是當試驗次數(shù)很多時,其平均概率與觀察結(jié)果所得的比率非常接近.在保險經(jīng)營中,該 法則說明,盡管各個相互獨立的風險單位的損失概率可能各不相同,但只要投保單位足夠多保險公司可在平 均意義上求出相同的損失概率.即整體上的損失概率可由眾多類別的損失概率平均得到.應用此結(jié)論,可在 保證整體收支平衡的條件下,適當調(diào)整各分類標的費率,使各類費率更加科學. 4.大數(shù)定律對風險轉(zhuǎn)移的作用 保險公司的作用在于分攤風險,它通過集中不同風險的方式來分攤每一個偶然的風險.大數(shù)法則使人們 明白將純粹風險轉(zhuǎn)移到保險公司后,雖然損失依然存在,但不確定性可以因此消除. 5.大數(shù)定律在保險中的適用性 大數(shù)法則不僅適用于保險標的數(shù)量方面,也適用于時間方面,通過再保險還適用于保險人數(shù)量足夠大時 的情況.例如,機動車輛事故保險中,共有一萬輛車投保,其中一小部分將發(fā)生事故,可在“數(shù)量大數(shù)”中求 出損失平均值,也可經(jīng)過長時間的觀察,由大數(shù)法則估計一定時期內(nèi)損失的近似值.又如,某公司承保衛(wèi)星發(fā) 射業(yè)務,保險金額巨大,責任集中,標的僅一個,不能認為是大數(shù),無法通過標的分攤風險,但可通過再保險, 將責任分攤到多個保險公司,應用大數(shù) 法則,則損失的不確定性降低,風險減少.這說明,再保險使大數(shù)法則的作用得到了充分發(fā)揮,有了新的意義. 五、應用概率進行保險計算 例：某保險公司有 m 人參加人身意外傷害保險,每人每年交保費 a 元,如發(fā)生意外事故,可得到 b 元的 賠償.根據(jù)統(tǒng)計資料,已知意外事故率為 p,試分析保險公司盈利情況. 解：根據(jù)隨機變量分布理論,投保人發(fā)生意外事故的人數(shù) X 符合二項分布.則 m 人中正好有 k 個人發(fā)生意 外事故的概率為: ()(1) kkm k m p xkC pp 根據(jù)數(shù)學期望的計算方法,保險公司在每個被保險人身上的期望損失為: 0(1)pbpbp 保險公司的總期望損失是一定的,即, 方差是,由此看出,當賠償金 b 越大時,方差越mbp 22 (1)m b pp 大,保險公司風險也就越大. 要使保險公司盈利,應使保費總收入 ma 大于期望損失 mbp,要使保險公司盈利超過 c 元, 應使： mambpc 山西大同大學畢業(yè)論文（設計） 5 即期望損失： mbpmac 于是要求賠償金： mac b mp 或投保人發(fā)生意外的人數(shù)： mac k b 其可能性是： 0 ()(1) k nnm n m n p xkC pp 六、總結(jié) 其實,我們?nèi)粘＝?jīng)濟生活中到處都有概率的影子,小到天氣預報,大到火箭上天,都離不開概率論.社會 經(jīng)濟現(xiàn)象,它不可能像物理現(xiàn)象、化學現(xiàn)象那樣用實驗的方法,因為這種實驗條件,可以排除一切外在原因 的影響,而單純地表示被研究的因素的作用.而社會經(jīng)濟現(xiàn)象則是眾多人們極其復雜的社會經(jīng)濟活動的結(jié)果,而 且各種因素的影響又是相互交織著的.而每一個別事物現(xiàn)象對被研究的因素的影響,可能又被另一些因素的 影響所掩蓋.因此,只有對事實總體加以概括的說明,才能有助于揭示被研究因素的這種影響,才能得出被研 究的社會經(jīng)濟所具的規(guī)律性.應用概率方法,可以用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、標準差等特征數(shù)用少數(shù) 幾個數(shù)字表達出總體的整個情況,如果要比較兩個或多個事物的差異及其程度時,可以通過上述特征數(shù)的差 異可信程度來說明,這種方法還可以分析影響事物變化的程度,計算出各個因素所產(chǎn)生的影響的大小,對問 題作出論斷.保險業(yè)、金融業(yè)的風險預測便是與概率論休戚相關.概率是投資決策中分散風險的一種策略. 參考文獻: 1中國人民大學數(shù)學教研室.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.北京:中國人民大 學出版社,1995. 2胡炳志.保險數(shù)學M.北京:中國金融出版社,1994. 3李萬軍,宋慧敏.試論保險的數(shù)理基礎J 河南商業(yè)高等?？茖W校學報 2000.11 第 13 卷第 6 期 49-50 4 高洪忠.再論機動車輛保險的精算模型及其應用J.經(jīng)濟數(shù)學，2003 年 1 月 20 日 34 一 40. 5